代數/對數

對數（通常稱為“對數”）是函式在日常生活中的一種特定例項。對數通常用於測量地震、恆星距離、經濟學以及整個科學界。它基本上回答了這樣一個問題：為了得到這個結果，我需要將這個底數提高到什麼次方？

對數

為了理解對數，我們需要回顧指數方程。請回答以下問題

1 4 的 3 次方是多少？

2 3 的 4 次方是多少？

3

$2^{5}=$

4

$5^{2}=$

就像有方法說和寫“4 的 3 次方”或“$4^{3}\!$”，也有特定的方法說和寫對數。

例如，“4 的 3 次方等於 64” 可以寫成：$4^{3}=64\!$

然而，它也可以寫成

$\log _{4}(64)=3\$

一旦你記住，指數的底數是被提高到冪的數，對數的底數是對數後面的下標，剩下的就順理成章了。我喜歡在將對數形式轉換為指數形式時，從底數畫一條箭頭（無論是心理上還是實際的）到指數，再到乘積。因此，在對數示例中，我會從 2 到 5 到 32 （一旦我加上約定），就會得到：$2^{5}=32\!$

因此，當你被給定一個對數來求解時，只需記住如何將其轉換為指數方程。以下是一些練習題，答案在底部。

對數的性質

以下性質源自對數的定義。

基本性質

對於所有實數 $a,b,c,d,y>0$ 且 $b\neq 1,d\neq 1$，我們有

1. $\log _{b}(y^{a})=a\log _{b}(y)$
2. $\log _{b}(b^{a})=a$
3. $\log _{b}(ac)=\log _{b}(a)+\log _{b}(c)$
4. $\log _{b}(a/c)=\log _{b}(a)-\log _{b}(c)$
5. $\log _{b}(a)={\frac {\log _{d}(a)}{\log _{d}(b)}}\quad$ （換底公式）。

證明

我們對等式$b^{c}=a$兩邊取以d為底的對數。

$\log _{d}(b^{c})=\log _{d}(a)$.

接下來，注意這個等式的左邊與上面性質1中的左邊相同。我們應用這個性質

$c\log _{d}(b)=\log _{d}(a)$

將c移到等式左邊得到

$c={\frac {\log _{d}(a)}{\log _{d}(b)}}$

最後，由於$c=\log _{b}(a)$

$\log _{b}(a)={\frac {\log _{d}(a)}{\log _{d}(b)}}$

例子

這個公式允許我們在計算器上計算以e或10以外的底的對數。例如，

$\log _{3}(12)={\frac {\log _{10}(12)}{\log _{10}(3)}}=2.262$

求解以下對數

1

$\log _{3}(81)=$

2

$\log _{6}(216)=$

3

$\log _{4}(64)=$

4 使用計算器求值（保留5位小數）

$\log _{4}(6)=$

求解以下對數的y值

5 $\log _{3}(y)=3$

y=

6 $\log _{5}(y)=4$

y=

7 $\log _{9}(y)=4$

y=

更多屬性

對數是指數函式的逆運算，就像除法是乘法的逆運算一樣。例如，就像我們有

$5\times 6=30$

和

$30/6=5$

我們也有

$7^{3}=343$

和

$\log _{7}343=3$

更一般地說，如果 $a^{b}=x$，那麼 $\log _{a}x=b$。同樣，如果 $f(x)=a^{x}$，那麼 $f^{-1}(x)=\log _{a}x$，因此如果將兩個方程繪製成圖表，則每個方程都是另一個方程關於直線 $y=x$ 的反射。（在這兩個方程中，*a* 被稱為*底*。）

因此，$a^{\log _{a}b}=b$ 和 $\log _{a}a^{b}=b$.

對數的常見底數是 10 ($\log _{10}x$ 被稱為*常用對數*) 和 *e* ($\ln x$ 被稱為*自然對數*)，其中 *e* = 2.71828182846...

自然對數通常寫成 $\ln x$ 或 $\ln(x)$ (ln 是拉丁語中自然對數的縮寫)，有時也寫成 $\log _{e}x$ 或 $\log _{e}(x)$。當 x 是一個數學表示式時，建議使用括號形式（例如 $\ln(6x+1)$）。

對數通常縮寫為 logs。

歧義

記號 $\log x$ 可能指的是 $\ln x$ 或 $\log _{10}x$，具體取決於國家和語境。例如，在英語系學校中，$\log x$ 通常指的是 $\ln x$，而它在義大利語和法語系學校或英語系數論家眼中指的是 $\log _{10}x$。因此，此記號僅應在語境明確的情況下使用。

對數的性質

1. $\log _{a}x+\log _{a}y=\log _{a}x*y$
2. $\log _{a}x-\log _{a}y=\log _{a}{\frac {x}{y}}$
3. $\log _{a}x^{b}=b\times \log _{a}x$

證明
$\log _{a}x+\log _{a}y=\log _{a}x*y$

$\log _{a}x+\log _{a}y$

$\log _{a}x=b$ 和 $\log _{a}y=c$

$\ a^{b}=x$ 和 $\ a^{c}=y$

$\ xy=a^{b}a^{c}$

$\ xy=a^{(b+c)}$

$\log _{a}xy=b+c$

並用 b 和 c 替換（如上）

$\log _{a}xy=\log _{a}x+\log _{a}y$

換底公式

$\log _{y}x={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}$ 其中 *a* 是任何正數，不同於 1。通常，*a* 是 10（對於常用對數）或 *e*（對於自然對數）。

證明
$\log _{y}x=b$

$\ y^{b}=x$

將兩邊設為 $\log _{a}$

$\log _{a}y^{b}=\log _{a}x$

$\ b\log _{a}y=\log _{a}x$

$\ b={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}$

用第一行中的 $\ b$ 替換

$\log _{y}x={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}$

底數與指數互換公式

$a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}$ 其中 a 或 c 不能等於 1。

證明

$log_{a}b={\frac {1}{log_{b}a}}$ 根據上面的換底公式。

注意 $a=c^{log_{c}a}$。 然後

$a^{log_{b}c}$ 可以改寫為

$({c^{log_{c}a}})^{log_{b}c}$ 或者透過指數規則可以寫成

$c^{{log_{c}a}*{log_{b}c}}$

使用上面提到的逆規則，它等於

$c^{{log_{c}a}*{\frac {1}{log_{c}b}}}$

根據換底公式

$c^{log_{b}a}$