代數/第1章/數軸
| ------------------------ | 代數 第1章：初等算術 第1節：數軸 |
算術運算 |
1.1：數軸
數的概念是所有現代數學的基礎。數字有很多用途，主要用於計數和測量事物。本節將涵蓋數的概念，以及數學中看到的不同型別的數及其用途。
我們許多人認為“數”的概念是理所當然的。
數是一個抽象的概念，通常用於計數或測量事物。儘管如此，取決於它們的使用場景，它們可能用於許多不同的目的。數僅僅是我們頭腦中的一個想法，是我們談論和書寫的東西，但除此之外我們從未真正見過。為此，我們使用稱為數字的符號來表示這些數，例如“5”或“五”。我們也可以透過舉起5根手指、敲擊桌子5次或跳躍5次來表示這個數。這些只是表示數字5的一些方法。
一般來說，數是一個想法，而數字是我們表達這個想法的方式。數表示所謂的量。這是某一組物體中事物的多少，例如“六”個棒棒糖、“七”片披薩、“二十五”美元或“一百”個千年。為了表示這些量，我們可以說6個棒棒糖、7片披薩、25美元或100個千年。
數可以用多種方式表示。我們可能用來表示這些數的符號和記法的集合被稱為數系。數系以一致的方式使用數字或其他符號。例如，在最早的文明中，人們被認為依賴於數手指或一組棍棒和卵石。目前尚不清楚最早的數系是什麼，但很早以前，人們就開始使用符號組，|，||，|||，||||，等等來表示數字。這些符號至今仍用作記號，|，||，|||，||||，以及||||分別表示1、2、3、4和5。
數的最古老、最有用的應用之一是時間。我們使用時間來跟蹤事件序列的順序，比較事件的持續時間或它們之間的時間間隔，以及量化事物變化的速度。有很多方法可以跟蹤時間，從跟蹤太陽昇起和落下來記錄時間的史前部落，到骨骼和樹木上的標記。
在舊石器時代晚期，狩獵和漁業社會在尼羅河谷和非洲許多地區發展起來。來自這些古代文明的一個有趣的發現是在剛果民主共和國愛德華湖發現的一塊刻有雕刻的骨頭。這塊骨頭被稱為伊尚戈骨，上面刻有多個刻痕，表明了一種模式。這塊骨頭的確切用途尚不清楚，但從數學的角度來看，這可以看作是一種記號系統。
這塊骨頭有幾個獨立的標記。一組標記有11、13、17和19四個組；另一組有11、21、19、9；第三組有7組3、6、4、8、10、5、5。
我們今天使用的數系被稱為印度-阿拉伯記數系統，顧名思義，它是由印度人在公元3世紀之前創造的，這個數系在1000年後由義大利數學家萊昂納多·斐波那契引入西方世界。然後，這個數系被阿拉伯人推廣，因此得名。
該系統中的所有數字都由數字0、1、2、3、4、5、6、7、8和9組成。數字是用這些數字寫成的，並將它們放置在特定的位置。設計該系統的印度數學家曾說過，“從一個位置到另一個位置，每個數字都是前一個數字的十倍。”例如，數字三用符號“3”表示，而數字二百萬用數字“2”後跟六個零表示。
如你所知，我們根據位值排列數字中的數字。當數字由三個以上的數字組成時，我們有時會使用逗號將數字分成三組。這三組數字稱為節。在印度-阿拉伯數系中，第一節中的位置值分別是個位、十位和百位。
數字中的每個其他節也包含個位、十位和百位。當我們從右到左讀取數字時，請注意每個位置的值都是前一個位置的十倍。
數的順序是我們用來將數字從“最小”到“最大”或從數軸上的“左”到“右”排列的方法。數軸上越靠右的數字，“越大”。
數軸是一條顯示所有數字的直線，左側遞減，右側遞增。典型的數軸顯示所有整數（整數），但它可以包含兩個數字之間的數字，例如一半或3.7。
從上面可以看出，數有很多種類。目前，我們將要討論的數字是整數、小數、分數、負數和零。
數字的大小是它在數軸上到零的距離。
在本節的其餘部分，我們將逐一介紹此數字表示的所有特徵。
比較兩件事物的字典定義是將它們相互關聯地看待。對於本課程，能夠比較數字或能夠知道一個量是否等於、小於或等於另一個量是很好的。在數學中，我們用於比較數字的符號是“>”，表示“大於”，“<”，表示“小於”，“=”，表示“等於”。
| 符號 | 解釋 | 示例 |
|---|---|---|
| 當兩個值相等時，我們使用“=”符號。 | 2 + 3 = 5 | |
| 當一個值大於另一個值時，我們使用“>”符號。 | 40 > 39 | |
| 當一個值小於另一個值時，我們使用“<”符號。 | 14 < 17 |
在下圖中，我們看到7比3大4。簡單來說，這可以表示為“7-3 = 4”。
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提示 如果你忘記了哪個數字放在哪裡，請記住以下幾點 大 > 小 小端總是指向較小的數字，大端總是指向較大的數字。 |
數軸也可以用作比較數字的工具，這非常簡單。要做到這一點，只需要知道兩個簡單的基本事實。
- 在數軸上的任意兩個數中，右邊的數更大。
- 在數軸上的任意兩個數中，左邊的數更小。
最常用的數字系統被稱為計數數，更專業的術語是自然數。這些數字是1、2、3、4，依此類推。這些數字是我們學習計數時使用的數字，正如名稱所示（例如，“桌子上有六支鉛筆”），以及用於排序事物（例如，“這是籃子裡第四小的球”）。對於大數字，使用逗號將數字分成每三位一組。
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例1.1：如何寫出“三千五百二十二”這個數字？ 在這個例子中，數字3在千位，數字5在百位，2在十位，2在個位。 |
我們瞭解如何計數自然數。但是當我們不處理整數部分時會發生什麼？大多數時候，你會遇到“不可數”物件的例項，或者不能表示為一組物件的事物。
自然數用於對一組中的事物進行計數，但在大多數情況下，我們感興趣的是測量那些數量不精確到“一”或“三百”甚至“一百萬”的事物。我們可以“計數”諸如布料上的洞的數量、用於建造柵欄的木板數量以及湖中的石頭數量。但是，我們無法“計數”諸如桶中水量或物體的重量等事物。相反，需要使用特殊的工具來確定這些數量，例如用於長度的尺子、用於重量的天平以及用於時間的秒錶。
小數可以認為是數軸上刻度之間找到的數字。它們通常用一個小數點符號來識別，通常是“.”，它放在數字之間（儘管有些國家使用逗號“，”代替）。這個符號右邊的數字表示刻度之間的部分。例如，數字12.5位於數字12和13之間。它大於12，但小於13。數字12.3也大於12，但它也小於12.5。
分數也是可以在數軸上刻度之間找到的數字。它們也表示與小數相同的概念，包含整體的一部分的值，但它們是表達該概念的不同方式。
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注意！ 與你可能被教導的不同，你不應該在數字中的“，”後面讀作“and”。 還應該注意的是，在一些國家，“，”和“.”的位置互換。因此，在美國，“1,523.99”在其他地方可能寫成“1.523,99”。 |
縱觀數學史，有一些概念即使是最偉大的學者也難以接受，而這些概念如今卻被我們視為理所當然，其中一些是當今的年輕人很容易理解的。這兩個主要例子是“負”數的概念和數字零。
數學的起源在於計數事物，例如一個人擁有的綿羊數量。如果你有兩隻綿羊，你會數它們為“一、二”。邏輯上，這意味著你不能要求別人“借給你三隻綿羊”，因為在你已經有的兩隻綿羊之後，你沒有更多的綿羊可以再給出去。
負數是數軸左側的數字。換句話說，這些數字小於零。想象一個小於零的數字可能很困難。如果你有一盤餅乾，每個人都把它們全部拿走直到沒有為止，很難想象你能再拿走任何餅乾。
零表示沒有數量的值，例如，如果一個人有零頂帽子，這意味著他們沒有帽子。零位於正數和負數之間，位於-1和1之間的一半。數字零既不是正數也不是負數，但它是偶數。
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零的歷史 很久以前，零的概念是不存在的。然而，這個概念最初是由巴比倫人、古代印度人和幾個中美洲部落在不同時期提出的，儘管這個數字主要充當佔位符而不是一個實際的數字。零作為一個數字，據認為早在公元628年就在印度被引入，載於婆羅摩笈多算術，該著作是由數學家婆羅摩笈多提出的。 然而，一些國家仍然沒有使用零，這意味著數學運算變得極其困難。 |