代數/第 1 章/算術

數軸

代數 第 1 章：初等算術 第 2 節：算術運算

小數和分數的運算

1.2：算術運算

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算術是對數量進行特定運算的過程。在本節中，我們將介紹算術運算的四種方法：加法、減法、乘法和除法，以及這些運算之間的關係。

數字組

為了理解涉及數字的運算，我們將首先討論“運算”的含義以及它們在其中的數字組。

在一個運算中，我們取一個或多個感興趣的數字，並對它們執行一個過程以得到一個新數字，即該運算的結果。一個包含兩個數字的組可以透過給定的運算組合在一起以產生第三個數字。

四則運算

數學中的四則運算需要兩個不同的值，並將它們轉換為一個新值。這些包括

加法：+

值的組合。

減法：-

從另一個值中減去一個值。

乘法：×

重複加法。

除法：÷

重複減法。

這四種運算通常被稱為算術運算。它們被認為是所有數學的基礎。

加法

定義加法

$\ 1+1=2$

定義數字一是一項相當困難的任務，但我們都對“一”有一個很好的直覺。一是指具有或想到一個單一數量的性質。例如，想想你有一美元、一蒲式耳土豆或一光年。從這裡，我們可以遞迴地（即，與最後一個相關）定義自然數，方法是為我們擁有的每個新的數字一分配一個新名稱。

1	1	一
2	1 + 1	二
3	1 + 1 + 1	三
⋮	⋮	⋮
n	1 + 1 + … + 1	n 個一

示例 1.1：現在，我們已經使用數字一命名了數字，我們可以將加法定義為計算我們有多少個一的的過程。 例如， $\ 5+3=(1+1+1+1+1)+(1+1+1)=8$

在上面，請注意，我們將數字 5 和 3 表示為括號中 1 的重複加法，然後我們將它們加在一起。因此，加法運算意味著我們將這些數字加在一起以獲得最終結果。

3 + 2 = 5，用蘋果來表示，這是教科書中常用的例子。

執行加法

加法是數學運算，它解釋了我們在集合中加在一起的物體的總數量。在加法中，被加在一起的數字稱為加數或項，最終結果稱為和。

示例 1.2：託尼和亞倫的阿姨來探望他們。她給了每個男孩 25 個彈珠。託尼在探望期間從亞倫那裡贏得了 12 個彈珠。他們玩完後，託尼有多少個彈珠？ $\ 25+12=37$

加法有幾個重要的性質。其中一個性質是，你加數字的順序不會影響最終結果。請參考上面蘋果的圖。就像我們將 3 個蘋果新增到 2 個蘋果組中會導致總共 5 個蘋果一樣，我們將 2 個蘋果新增到 3 個蘋果組中也會導致總共 5 個蘋果。

加法問題

減法

定義減法

減法是我們用來描述如何從另一個數字中“減去”一個或多個數字的術語。這個術語用於兩種情況。第一種是回答“少多少”的問題，第二種是回答“還需要多少”的問題。

它也可以定義為計算最初的數量一併從中刪除一些數量。

示例 1.3：我們可以將減法定義為計算我們刪除了多少個一的的過程。 $\ 5-3=(1+1+1+1+1)-(1+1+1)=2$ 表示從 5 個一中刪除 3 個一，留下 2 個一。

我們從中減去的數字稱為被減數。被減去的數字稱為減數。結果數字稱為差。

執行減法

減法問題

乘法

乘法是重複加法的簡寫（即更快地寫出某些東西的方法）。例如

示例 1.4：我們可以將乘法定義為重複加法的過程。 $\ 5\cdot 3=15$ 這意味著將 '3' 加 5 次；或將 '5' 加 3 次。 $\ 5\cdot 3=3+3+3+3+3=15$

乘法問題

請注意，在某些地區和情況下，最好使用十字元號（$\times$）或字母“x”而不是點。大多數地區使用點而不是十字元號，因為十字元號看起來像字母“x”。

乘法表

乘法表顯示了一組兩個數字的乘積。以下是涉及 1 到 12 的數字的乘積。

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

除法

除法是乘法的逆運算。

示例 1.5：我們可以將除法定義為找到相等組數的過程。 $\ {\frac {6}{3}}=2$ 此示例詢問如果 6 是 1+1+1+1+1+1，而 3 是 1+1+1，那麼我們可以將 6 分成多少組 3？答案當然是 2，因為 $\ 6=1+1+1+1+1+1=(1+1+1)+(1+1+1)=3+3$；兩組三。

除法問題

逆運算

逆運算撤消了先前運算所做的操作，它們是彼此的完全相反。

涉及零的運算

1. 1 + 0 = 1
2. 1 * 0 = 0
3. 0 / 1 = 0
4. 1 / 0 = 未定義

除法是第一個出現問題的運算。在所有先前定義的運算（加法、減法和乘法）中，我們可以對我們選擇的任何一對數字執行運算。但是，在除法中，我們不能除以零。在本教材的整個過程中，甚至在你對所有數學的學習過程中，都會談到這個事實。