代數/第 1 章/算術

數軸

代數 第 1 章: 初等算術 第 2 節: 算術運算

小數和分數的運算

1.2: 算術運算

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算術是在數量上執行某些運算的過程。在本節中，我們將介紹四則運算：加法、減法、乘法和除法，以及這些運算之間的關係。

數字組

為了理解涉及數字的運算，我們將首先討論“運算”的含義以及它們出現的數字組。

在運算中，我們取一個或多個感興趣的數字，並對它們執行一個過程以獲得一個新數字，即該運算的結果。一個由兩個數字組成的組可以透過給定的運算組合在一起以產生第三個數字。

四則運算

數學中的四則運算將兩個不同的值轉換成一個新值。這些包括

加法: +

值的組合。

減法: -

從另一個值中減去一個值。

乘法: ×

重複加法。

除法: ÷

重複減法。

這四種運算通常稱為算術運算。它們被認為是所有數學的基礎。

加法

定義加法

$\ 1+1=2$

定義數字一是相當困難的任務，但我們都對“一”有一個很好的直覺理解。“一”是具有或想到單個數量的屬性。例如，想想你有一美元、一蒲式耳土豆或一光年。從這裡我們可以遞迴地（即與最後一個相關）定義自然數，為我們擁有的每個新的“一”數量分配一個新名稱

1	1	一
2	1 + 1	二
3	1 + 1 + 1	三
⋮	⋮	⋮
n	1 + 1 + … + 1	n 個“一”

示例 1.1: 現在我們已經使用數字“一”命名了數字，我們可以將加法定義為計算我們有多少個“一”的過程。 例如， $\ 5+3=(1+1+1+1+1)+(1+1+1)=8$

在上面，注意我們用括號表示數字 5 和 3 作為 1 的重複加法，然後將它們加在一起。因此，加法運算意味著我們將數字組合在一起以得到最終結果。

3 + 2 = 5 用蘋果，教科書中流行的選擇。

執行加法

加法是數學運算，解釋了我們在集合中組合在一起的物體總數。在加法中，被加在一起的數字稱為加數或項，最終結果稱為和。

示例 1.2: 託尼和亞倫的阿姨來探望。她給了兩個男孩每人 25 顆彈珠。託尼在探望期間從亞倫那裡贏了 12 顆彈珠。他們玩完後，託尼有多少顆彈珠？ $\ 25+12=37$

加法有幾個重要的性質。其中一個性質是，你新增數字的順序不會影響最終結果。請參考上面蘋果的圖。就像我們將 3 個蘋果新增到 2 個蘋果的組中會導致總共 5 個蘋果一樣，我們將 2 個蘋果新增到 3 個蘋果的組中也會導致總共 5 個蘋果。

加法問題

減法

定義減法

減法 是我們用來描述如何從一個數字中“減去”一個或多個數字的術語。這個術語在兩種情況下使用。第一種是回答“少了多少？”的問題，第二種是回答“需要多少？”的問題。

它也可以被定義為計算初始數量的個體，然後從中刪除一些數量。

示例 1.3：我們可以將減法定義為計算我們刪除了多少個個體的過程。 $\ 5-3=(1+1+1+1+1)-(1+1+1)=2$ 表示 5 個個體刪除 3 個個體，留下 2 個個體。

我們要從中減去的那個數字被稱為被減數。被減去的數字被稱為減數。得到的數字被稱為差。

執行減法

減法問題

乘法

乘法 是重複加法的一種簡寫方式（即一種更快的方式）。例如

示例 1.4：我們可以將乘法定義為重複加法的過程。 $\ 5\cdot 3=15$ 這意味著將 '3' 加 5 次；或將 '5' 加 3 次。 $\ 5\cdot 3=3+3+3+3+3=15$

乘法問題

請注意，在某些地區和情況下，最好使用交叉符號 ($\times$) 或字母 "x" 來代替點。大多數地區使用點而不是交叉符號，因為交叉符號看起來像字母 "x"。

乘法表

乘法表 顯示了一組兩個數字的乘積。以下是涉及 1 到 12 的數字的乘積。

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

除法

除法 是乘法的逆運算。

示例 1.5：我們可以將除法定義為尋找相等組數的過程。 $\ {\frac {6}{3}}=2$ 此示例詢問如果 6 是 1+1+1+1+1+1，而 3 是 1+1+1，那麼我們可以將 6 分成多少組 3？答案當然為 2，因為 $\ 6=1+1+1+1+1+1=(1+1+1)+(1+1+1)=3+3$；兩組 3。

除法問題

逆運算

逆運算 會撤銷之前運算所做的操作，它們是彼此完全相反的。

涉及零的運算

1. 1 + 0 = 1
2. 1 * 0 = 0
3. 0 / 1 = 0
4. 1 / 0 = 未定義

除法是第一個出現問題的運算。在之前定義的所有運算（加法、減法和乘法）中，我們可以對我們選擇的任意一對數字執行運算。但是，在除法中，我們不能除以零。在本書的整個過程中，甚至在你在所有數學中的學習過程中，都會對這個事實有很多論述。