代數/理論

自然數

為了避免混淆或荒謬，數學需要對詞彙進行明確的定義。雖然這適用於任何科學，但在數學中，這是透過概念的抽象來絕對實現的。

然而，上面對數學的完整描述需要時間，而且並不基礎。此外，為了獲得真正的公理化，即從根源構建起來的數學，我們將不得不使用邏輯意義上最強的陳述。這使它們在證明中非常有效，但往往犧牲直觀性。因此，我們將集中精力在後者上，只有在必要時才使用嚴謹性。

為了進行數學運算，我們必須首先找到一種思考數字的方法，這種方法符合上述標準，即明確無誤，同時又是顯而易見和自然的。因此，我們提出了自然數。

直觀地，我們將它們定義為集合 N = { 1, 2, 3, ... }。如果一個數字屬於這個集合，我們就說它是一個自然數。很快我們會發現，即使對於基本的處理，也需要擴充套件這個集合，但這個集合本身就已經有一些有趣的性質了。

如果存在一個集合 A，使得如果我們選擇一個任意數字，稱之為 x，並且 x ∈ N，我們就說 A ⊆ N。換句話說，A 是 N 的子集。

x ∈ A 的意思是 x "在" A 中，或者說 x 是 A 的一個元素。

雖然我們還沒有適當地定義集合、成員資格或包含關係，但我們已經對 N 應該是什麼樣子有了一個感覺。

數學歸納法

數學歸納法的原理

設 A ⊆ N 具有以下性質

(i) $1\in A$

(ii) $n\in A$ 意味著 $n+1\in A$

那麼 A = N

備註

數學歸納法的原理是由“最小元素原理”（2.1）推匯出來的。因為，假設 1.1 成立，並設 B 為 N 中所有不在 A 中的元素的集合。如果 B 有任何元素（即不是空的），那麼它一定有最小的一個。將這個最小元素稱為 n。那麼，根據 (i)， $n\neq 1$ 。因此 n - 1 是一個自然數，並且不在 B 中，因此在 A 中。根據 (ii)， $n=(n-1)+1$ 是一個自然數，並且在 A 中。但現在 n 同時在 A 和 B 中，這是不可能的。因此，B 必須是空的。也就是說，A = N。

這體現了自然數的基本性質，我們進一步定義順序，並將這些數字稱為良序的，主要是因為這個原理。在更嚴謹的術語中，我們將不得不確定一個單獨的公理，稱為歸納公理，它包含了這個性質。然而，就我們目前的目的而言，這已經足夠了。

數學歸納法的原理（修改）

設 A 為一個具有以下性質的自然數集合

(i) 自然數 $n_{0}$ 在 A 中

(ii) 如果 $n\geq n_{0}$ 並且 $n\in A$ ，那麼 $n+1\in A$

那麼 A 包含所有自然數 $n\geq n_{0}$

數字

在本節中，我們將描述一些最常見的數字型別及其一些性質。

數字型別

自然數，N

如前所述，這些只是普通的計數數字 1,2,3,4,...,29...。請注意，該集合中沒有包含零。這在不同的書籍或數學家之間有所不同，可能將零包含為自然數。

自然數的一個重要性質是排序。請注意，自然數帶有一個大小的概念，因此我們可以談論更大或更小的自然數。

整數，Z

整數是指自然數及其負數和零。雖然我們都可能對如何使用整數有一個相當清晰的實際概念，但關於它們究竟是什麼，存在著確切的問題。提到諸如“數軸”之類的東西並不能解決這些問題，因為它嚴重依賴於我們的直覺。

數學家解決這個問題的一種方法是進行人工構建，從而產生具有我們對整數預期特性的一個人工物件。雖然我們在日常數學中不使用這種方法，但它給出了一個精確的定義，我們可以用它來證明我們使用負數的合理性，並且還提供了一個模型，我們可以用它來開發一些新的結構，這些結構在直覺上並不那麼合理。我們不會對整數進行描述，但接下來將簡要描述一個類似的過程，該過程從整數開始，產生有理數。

有理數，Q

有了整數，我們就有一個對加法、乘法和減法封閉的數字系統。下一步是產生一個對除法（除以零除外）也封閉的數字集合。這就是有理數。同樣，我們都應該能夠操作有理數，但它們究竟意味著什麼，存在一些問題。例如，說 ${\frac {2}{3}}={\frac {4}{6}}={\frac {6}{9}}$ 意味著什麼？我們通常希望等號表示兩個事物是相同的，而符號 ${\frac {2}{3}}$ 和 ${\frac {4}{6}}$ 當然並不相同。

因此，我們重新定義了對分數相等的理解。讓我們考慮第二位整數非零的整數有序對集合；即

$\mathbb {Q} '=\{(x,y):a,b\in \mathbb {Z}$ 並且 $b\neq 0\}$

（有序對只是一個對，其中指定了哪個先來，哪個後。）我們希望這些有序對代表有理數，但以多對一的方式。因此，我們透過以下方式重新定義這些有序對的相等性：

$(a,b)\equiv (c,d)$ 當且僅當 ad = bc

（將此讀作 (a,b)等價於 (c,d)。）這對應於分數相等的通常定義。然後，我們可以認為一個有理數由一個整數有序對集合表示，這些集合彼此等價。當兩個有序對等價時，它們恰好代表同一個有理數。然後，我們可以繼續根據有序對定義加法、減法、乘法和除法的通常運算。例如：

(a,b) + (c,d) = (ad+bc,bd)

我們將透過對每個數字取一個有序對，然後將這些有序對相加來定義有理數的加法。然而，仍然存在一個問題。我們需要確保（無需檢查每種情況），例如，因為 $(2,3)\equiv (4,6)\equiv (6,9)$ ，那麼也有

$(2,3)+(5,6)\equiv (4,6)+(5,6)\equiv (6,9)+(5,6)$

什麼是順序？

同樣，當我們試圖找到一種方法，基於已經建立的加法概念和對順序的直觀理解，來定義一個數字比另一個數字大的意義。我們該如何排列這些數字呢？

對於 **N**，這很簡單。我們說，如果 a、b 是自然數，如果存在一個自然數 c 使得 a + c = b，則 a < b。根據歸納原理，我們可以按以下方式對 **N** 進行排序：1、2、3、…，就像我們之前根據直覺所做的那樣。

對於 **Z**，我們遇到了一個問題，從哪裡開始呢？由於歸納原理不適用於整個 **Z**，我們必須把它寫成 …、-1、0、1、…，在兩邊都留下“…”。但是，之前的定義依然適用。

對於 **Q**，很明顯 ${\frac {1}{2}}$ > ${\frac {1}{3}}$ ，但 ${\frac {1}{6}}$ 不在 **N** 中，因此我們的定義失敗。新的定義將是

定義：(Q 上的順序) 設 a、b 是有理數，則如果存在一個正有理數 c 使得 a + c = b，則 a < b。

如果一個有理數 c 等價於一個有理數 ${\frac {n}{m}}$ ，其中 n 和 m 都是自然數，則我們稱有理數 c 為正數。換句話說，如果 c = ${\frac {p}{q}}$ ，則當 pq 是一個自然數時，c 為正數。一個簡單的練習是證明這些是等價的。（注意：如果每個語句都蘊涵另一個語句，則這些語句是等價的。）

任何一個集合，對於其中的任意兩個元素，我們都能明確地說 a < b、a > b 或 a = b，這樣的集合被稱為全序集。

最小元性質

自然數的任何非空子集都有一個最小元。“任何非空子集”意味著我們所取的子集至少應該包含一個元素。

任何具有最小元性質的集合被稱為良序集。因此 **N** 是良序的，如上所述，而 **Z** 和 **Q** 則不是。

自然數的順序性質

(i) 不存在最大的自然數。

(ii) 存在一些自然數是最近鄰的，也就是說它們之間不存在任何嚴格介於它們之間的自然數。

尚未完成…

證明

定義

證明只不過是一種數學論證，旨在說服讀者相信某個事實。然而，直觀證明不同於歸納證明。前者指的是一個可以被認為是日常經驗中可觀察到的常數的事實（例如，當將兩支試管的牛奶倒入一個燒杯時，如果我們再將最終的體積分成兩支試管，我們應該再次得到滿的試管（幾乎）。這解釋了為什麼 ½+½ 仍然是 1。由於這只是從直覺/觀察/經驗中推斷出來的，因此可以被認為是直觀證明）。後者，歸納證明，是一種將許多直觀證明組合起來以獲得所需結果的證明型別。例如，我們知道倒入兩支試管的牛奶在燒杯中得到了兩個單位，所以如果試管的體積可以被視為一個單位體積，那麼 n 支這樣的試管將在燒杯中得到總共 n 個單位的牛奶。數學證明本身基於自然邏輯和哲學。現代數學通常假設大多數證明是絕對的，雖然並非沒有道理。這使得他們能夠使用純粹的歸納推理來解決複雜的問題。然而，這一切的基礎仍然是自然哲學和邏輯。這反映在牛頓對他作品相對抽象的數學處理的標題中，被命名為“自然哲學原理”。