代數/方程理論

方程理論

數學中的一個基本學科，它處理求解給定數學表示式根的方法。假設 f(x) 是 x 的函式，m 是函式範圍內的常數。現在如果 :-

         f(x)=m 

，則只有有限個 x 值可以滿足給定表示式。當然，對於三角方程來說，這並不成立，三角方程會產生無限多個根，但通常只取角度的主值。

二次方程的解

理論上，n 次多項式方程可以分解成 n 個因式。讓我們考慮多項式方程:-

$F(x)=x^{n}+ax^{n-1}+bx^{n-2}.................$  where a,b are constants..Let F(x)=0 for some value of x.

讓我們假設 F(x)=(x-m)(x-n)(x-o)(x-p).................. 其中 m,n 被稱為方程 F(x) 的根。現在如果我們乘以這些因子，我們得到：- $F(x)=x^{n}-(m+n+o......)x^{n-1}+(mn+no+.........)x^{n-2}................+mnop......$ 與多項式比較，

 Sum of roots=-a
 Sum of roots taken two at a time=b
 ..............................
 ..............................
 Sum of roots taken k at a time=$(-1)^{k}$(co-efficient of the (k+1)st term)

這個恆等式是由韋達發現的，並以他的名字命名。因此，我們有 n 個方程來求解 n 個根。現在考慮一個 2 次方程，稱為二次方程。設 m,n 是方程的根。設方程為：-

    $ax^{2}+bx+c=0$  where a,b,c are constants

這也可以寫成：- $x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {c}{a}}=0$ 除以 a

從上面的論述我們知道：-

$m+n={\frac {-b}{a}}$
$mn={\frac {c}{a}}$
also 
$(m-n)^{2}=(m+n)^{2}-4mn$
Hence:-
$m-n=((m+n)^{2}-4mn)^{1/2}$
$m-n=({\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4c}{a}})^{1/2}={\frac {(b^{2}-4ac)^{1/2}}{a}}$
Solving the above simultaneous equations,we get
$m={\frac {-b+(b^{2}-4ac)^{1/2}}{2a}}$ and $n={\frac {-b-(b^{2}-4ac)^{1/2}}{2a}}$