代數/第 0 章/什麼是數學？
0.1: 什麼是數學？
在全世界學校教授的所有科目中，數學可能是最令人生畏和厭惡的一門學科。
那麼，我們先從什麼是數學開始吧。是什麼讓數學與其他學科，例如語言或歷史，如此不同？更重要的是，你為什麼需要了解任何關於數學的知識呢？
數學是一個如此廣泛而龐大的研究領域。要定義它非常困難。
數學是對模式的研究——尋找模式並解釋為什麼存在這樣的模式。模式無處不在：形狀（這個的面積是多少？那個的體積是多少？）、計數（有多少種方法可以做到這一點？有多少個是那個？）等等。
一個特別有趣的模式類別是數字的模式。例如，整數看起來很簡單，但實際上並非如此：1、2、3……每個人都知道它們是什麼，每個人都熟悉它們的加法和乘法。但其中隱藏著微妙而深刻的模式。例如，我們可以看看當我們反覆加 2 時形成的數字。2、4、6、8……我們可以看看當我們反覆加 3 時形成的數字：3、6、9、12……很容易看出每個數字都至少落在這些序列中的一個序列中，但它落在幾個序列中，以及哪些序列中呢？例如，12 在序列 2、4、6、8、10、12……中；3、6、9、12……；4、8、12……；6、12……；以及 12……中。哪些數字只落在一個序列中？這些數字有一個特殊的名稱，素數，因為它們只能被 1 和它們本身整除。尋找素數是一個極其棘手的問題，並構成了保護您在網際網路上隱私的機制。前幾個素數是 2、3、5、7、11、13、17、19、23 和 29。 有多少個素數呢？ 3 和 5 相差 2，5 和 7 也一樣，11 和 13，以及 17 和 19。 有多少對這樣的素數呢？
關於這些簡單序列，我們可以提出各種問題，其中一些問題會導致關於數字結構的非常深刻的陳述。
但是為什麼會有這樣的模式呢？為什麼必須有無限多個素數呢？我們可以想象這個數字流只是停止了，也許在數十億甚至上百億個素數之後，也許有太多素數，人們將永遠無法計算出它們——但為什麼這不可能呢？為什麼如果你想象那樣，那麼如果你非常有想象力，你會發現這很荒謬呢？
提出關於純模式的問題是數學，回答為什麼必須那樣也是數學。
數學是一種提出猜想和定理的藝術——關於模式的猜測。它涉及解釋諸如素數之類的模式（有多少個素數？）。有太多猜想和定理，尤其是在幾何學中。
猜想和定理在數學中很重要。它們說明了什麼可以做到，什麼做不到。這些都是發現，由那些觀察模式並找到關於這些模式的規則的人發現的。例如，當我們乘以 2 時形成的數字被稱為偶數。關於它們有特殊的規則。例如，如果你把兩個偶數加在一起，你會得到另一個偶數。這就是所謂的定理。它是一個關於模式的發現。
數學是對邏輯的研究——證明猜想。它涉及說明為什麼猜想和定理是正確的。
這在幾何學中很重要。事實上，許多數學家想要證明很多事情，甚至直到今天。關於模式，還有許多猜想尚未得到證明。
現在，你為什麼想知道關於數學的知識呢？很簡單。因為它很有趣，因為它很有意思。
要為像數學這樣廣泛的學科給出確切的定義並不容易。它不僅僅是數字的研究，而是利用我們所知道的知識，認識到模式，並將所有這些知識組織成我們可以用它來工作和理解的東西。在數學的歷史上，人們已經用多種方法來組織數字，現在最常見的方法是十進位制系統，但即使在今天，我們仍然使用其他幾種方法。當人類還只是遊牧民族時，他們不需要數字，氏族中的人數很少，他們唯一要擔心的是食物和日常生活。隨著我們開始定居下來，建立營地、城鎮，最終建立城市和帝國，我們需要新的方法來談論數字。羊群裡有幾隻羊？部落裡有幾個人？到下一個城鎮有多遠？所有這些都是我們需要數字來進行溝通並理解他人所說的話的事情。我們用數字和數量來描述無數事物以理解它們的含義。
數學的很大一部分是發現。在我們定義了數字以及我們如何測量長度之後，數學無處不在，只等著被揭示。矩形的面積始終是長度乘以寬度 ()，但直到我們有了數字來定義我們的長度和寬度，它才無法被發現。體積、素數和倍數都是數學的一部分，它們只是在等待被發現。現在發現的東西要複雜得多，但它們仍然存在。
數學研究常常將我們帶到一個無法繼續前進的境地，這時就需要一點發明創造。虛數就是一個例子，你將在本書後面的章節中學習到它們。為了使數學運算有效，我們需要創造出虛數。虛數在現實世界中並不存在，但它們必須存在才能解釋我們物理世界中發生的一些現象。我們發明了它們，以便使數學能夠以一種可以解釋我們觀察到的模式的方式起作用。
數學是我們將抽象思維應用於第一個領域。數字不同於字母；字母發出聲音，當我們把它們組合在一起時，它們會組成一個代表名詞、動詞或其他詞性的詞。每個數字代表不同的數量，更令人困惑的是，兩個 3 不會組成 6，而是 33。很容易看出你左手上的 3 根手指和右手上的 4 根手指加在一起是 7，這就是為什麼你經常看到小學生用這種方式加減的原因。即使我們越來越習慣於加減運算，簡單的加減運算，比如 1 到 9 之間的數字相加，通常是透過記憶來完成，而不是在腦海中想象 5 個東西和 8 個東西，我們記住了 8 + 5 = 13。為了讓你更清楚地認識到數字是抽象的，請用詞語來定義字母 B。現在嘗試用不使用數字來定義數字 6。