本節以嚴格的標準數學語言描述了計算機程式中排序的邏輯系統。許多結果是顯而易見的，一些符號可能會在各種計算機科學教科書中找到。任何發現以下內容有任何缺陷的人都可以改進它。

第一作者在這裡應用的數學很複雜，但並不複雜。

注意：對這些證明的傳統方法依賴於略微不穩定的假設。它採用了一種稱為“迴圈不變式”的裝置，該裝置是在底層程式結構方面定義的。以這種方式構建的證明可以在大多數優秀的演算法教科書中找到。

基本概念

不可能對一個無序集合進行排序；但是排序通常並不關注集合，而是關注序列。那麼，讓我們精確地定義一下我們可以排序的序列，以及可能產生的結果。設S為任何具有全序關係的集合 ( $\mathbb {Z}$ , $Q$ , $\mathbb {R}$ ...) 設A為該集合的有限子集。設J為 $\mathbb {N}$ 的有限子集，即自然數。現在繪製一個函式 $\phi :J\rightarrow S$ 。集合J誘匯出所謂的置換群 Sym(J)，即所有從J到J的雙射的集合。現在設 $\Phi \equiv \{\mu \in Sym)J):\phi \circ \mu$ 。稍微思考一下就會讓讀者明白，這裡描述的集合正是序列元素的所有可能排列。當然， $\phi _{\mu }=\phi _{\lambda }$ 是可能的，如果恰好一個置換交換索引，使得函式的值在索引處沒有改變；但這不是我們關注的主要問題。正如我們所看到的， $\Phi$ 中只有一個函式是遞增的。（當 x ≥ y 意味著 f(x) ≥ f(y) 時，函式是遞增的）。