類比電子學/電流鏡/Wilson

類比電子學

Wilson 電流鏡

Wilson 電流鏡，以發明這種電路的工程師 George Wilson 命名，被廣泛認為是解決簡單 BJT 電流鏡的有限 β 誤差的巧妙且優雅的解決方案。

為了使其正常工作，需要滿足以下條件

Q1 和 Q2 必須匹配，以便在相同的基極電流下，它們的集電極電流相等
所有三個電晶體具有相同的共射極電流增益 β

由於 Q1 和 Q2 具有相同的發射極電壓（接地）和相同的基極電壓（因為它們連線在一起），因此基極電流相同。我們將此電流稱為 I_B

[W1]

I_{B1}=I_{B2}=I_{B}\,

從上面的條件 1，我們可以說 Q1 和 Q2 中的集電極電流是相同的（I_C）

[W2]

I_{C1}=I_{C2}=I_{C}\,

現在，從基本的 BJT 方程，我們知道 Q3 的基極電流由下式給出

[W3]

I_{B3}={\frac {I_{O}}{\beta }}

類似地，發射極電流也是已知的

[W4]

I_{E3}={\frac {\beta +1}{\beta }}I_{O}

從圖和 KCL 可以明顯看出，以下內容是正確的

[W5]

I_{E3}=I_{C2}+I_{B1}+I_{B2}\,

從方程 W1 和 W2 代入，我們得到

[W6]

I_{E3}=I_{C}+2I_{B}\,

鑑於 I_C=βI_B（條件 2 和基本的 BJT 方程），我們有

[W7]

I_{E3}=I_{C}+2{\frac {I_{C}}{\beta }}=I_{C}\left(1+{\frac {2}{\beta }}\right)=I_{C}\left({\frac {2+\beta }{\beta }}\right)

從方程 W4 代入 I_E3

[W8]

I_{O}\left({\frac {\beta +1}{\beta }}\right)=I_{C}\left({\frac {2+\beta }{\beta }}\right)

重新排列以使 I_C 成為主體，我們有

[W9]

I_{C}=I_{O}\left({\frac {\beta +1}{\beta +2}}\right)

現在，讓我們考慮參考電流 I_REF。透過 KCL，然後從 W2 代入，

[W9]

I_{REF}=I_{C1}+I_{B3}=I_{C}+I_{B3}\,

從 W3 和 W9，我們現在有

[W10]

I_{REF}=I_{O}\left({\frac {\beta +1}{\beta +2}}\right)+{\frac {I_{O}}{\beta }}=I_{O}\left({\frac {\beta +1}{\beta +2}}+{\frac {1}{\beta }}\right)\,}

重新排列，

[W11]

I_{O}={\frac {I_{REF}}{\left({\frac {\beta +1}{\beta +2}}+{\frac {1}{\beta }}\right)}}

最後，透過簡單的分數加法和因式分解進行簡化，我們得到

[W12]

I_{O}={\frac {I_{REF}}{1+{\frac {2}{\beta \left(\beta +2\right)}}}}

很明顯，如果 β 很大，那麼 β(β+2) 很大，上面表示式中的分母接近 1，輸出電流 I_O 接近參考電流 I_REF

[W13]

\lim \limits _{\beta \to \infty }\left({I_{O}}\right)=I_{REF}

然而，由於二次項的存在，即使 β 的值遠低於簡單的電流鏡，也能獲得非常好的近似值。例如，對於 β 值為 50 的電晶體，理論上可以預期電流偏差約為 0.75 μA。對於 β 值為 150，電流偏差降至 87 nA。

需要注意的是，威爾遜電流鏡不是一個恆流源。如果電源電壓 V_CC 發生變化，輸出電流也會發生變化。假設參考電流 I_REF 由連線到電源電壓的電阻提供。假設所有電晶體的 v_BE 為 0.7 V。現在，Q1 和 Q2 的基極電壓為 0.7 V，因為發射極接地。因此，Q3 的基極電壓為 (0.7+0.7)=1.4 V。這意味著參考電流由下式給出

[W14]

I_{REF}={\frac {V_{CC}-1.4}{R_{REF}}}

因此，輸出電流也將取決於電源電壓。將恆流源用作參考電流將確保輸出電流恆定。

輸出電阻

讓我們考慮右側的小訊號模型。電晶體已被替換為小訊號 T 型模型，然後被繪製成一個大訊號 BJT，並行連線了小訊號輸出電阻 r_o。有關詳細資訊，請參見此處。Q1 和 Q2 中的輸出電阻出現在此模型中，但它們被灰顯，因為它們在分析中沒有作用。參考電流在小訊號模型中被停用，這意味著 Q3 的基極僅連線到 Q1 的集電極。

我們將透過在輸出端施加一個電壓 v_x 並找出該電壓與流過輸出端的電流 i_x 之間的關係來找到電流鏡的輸出電阻 R_o。首先，請注意，基極電流流出Q3 的基極，因此 Q3 的集電極和發射極電流相反（這些電流僅出現在大訊號 BJT 中，與 i_C3 和 i_E3 不同，儘管 i_B3 在兩者中是相同的）。這只是為了從分析中去除負號。如果它們不相反，分析仍然會得到相同的結果。

首先，回想一下，Q1 和 Q2 是匹配的，因此集電極電流相同，基極電流也相同。我們把這些電流簡稱為 i。此外，Q1 的集電極電流等於 Q3 的（向外）基極電流。這導致了以下表達式

i_{C1}=i_{C2}=i_{B3}=i\,

從共發射極方程，我們也知道基極電流

i_{B1}=i_{B2}={\frac {i}{\beta }}

從共發射極方程，我們也可以給出大訊號 BJT 在 Q3 中的集電極和發射極電流。這些電流如示意圖所示。從 KCL，我們也可以證明，在 Q2 的集電極-基極連線處，

i_{E3}=i_{B1}+i_{B2}+i_{C2}={\frac {2i}{\beta }}+i

i_{E3}=i\left(1+{\frac {2}{\beta }}\right)

Q1 或 Q2 的基極-發射極電壓 v_be1 由發射極中的（大訊號）電流乘以大訊號基極-發射極電阻給出，在 T 型模型中通常用 r_e 表示

v_{be1}=\left(\beta +1\right){\frac {i}{\beta }}r_{e}=i\left({\frac {\beta +1}{\beta }}\right)r_{e}

在 Q3 大訊號集電極/輸出電阻結點處的 KCL（密切注意電流方向）表明，Q3 輸出電阻中的電流 i_ro3 由下式給出

i_{ro3}=i\left(1+{\frac {2}{\beta }}\right)+i\left(\beta +1\right)

i_{ro3}=i\left(\beta +2+{\frac {2}{\beta }}\right)

根據歐姆定律，我們可以計算出輸出電阻上的電壓

v_{ro3}=i\left(\beta +2+{\frac {2}{\beta }}\right)r_{o}

因此，電壓 v_x 由該電壓和 Q1 或 Q2 的基極-發射極電壓之和給出

v_{x}=i\left({\frac {\beta +1}{\beta }}\right)r_{e}+i\left(\beta +2+{\frac {2}{\beta }}\right)r_{o}

電流 i_x 可以使用 Q3 輸出電阻頂部的 KCL 找到

i_{x}=i_{ro3}-\beta i=i\left(2+{\frac {2}{\beta }}\right)

輸出電阻 R_o 定義如下

R_{o}={\frac {v_{x}}{i_{x}}}

在消去 i 的因子後，得到一個有點凌亂的方程

R_{o}={\frac {\left({\frac {\beta +1}{\beta }}\right)r_{e}+\left(\beta +2+{\frac {2}{\beta }}\right)r_{o}}{2+{\frac {2}{\beta }}}}

現在，r_e 由方程 $r_{e}={\frac {\beta }{\beta +1}}{\frac {1}{g_{m}}}$ 給出。有關此內容的更多詳細資訊，請參見 T 型模型頁面。請注意，涉及 β 的兩個分數抵消，只剩下 ${\frac {1}{g_{m}}}$ 。由於 g_m 通常約為 20mS，因此該項約為 50Ω。考慮到這將新增到涉及 β（約為 100）乘以 r_o（約為 50kΩ）的項，因此該項無關緊要。現在，我們可以寫出非常好的近似值，