解析數論/算術函式

在本章中，我們將建立算術函式的基本理論。該理論將在後面的章節中得到應用，特別是在第 9 章中。

定義

定義 2.1:

一個算術函式是一個函式 $f:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$.

定義 2.2（重要的算術函式）:

1. 克羅內克函式：$\delta (n):={\begin{cases}1&n=1\\0&n\neq 1\end{cases}}$
2. 尤拉的totient函式：$\varphi (n):=\left|\{1\leq k\leq n|\gcd(k,n)=1\}\right|$
3. 莫比烏斯 $\mu$-函式：$\mu (n):={\begin{cases}0&{\text{ there exists }}m\in \mathbb {N} {\text{ such that }}m^{2}|n\\(-1)^{r}&n{\text{ is product of }}r{\text{ pairwise different prime numbers}}\\1&n=1\end{cases}}$
4. 馮·曼戈爾特函式：$\Lambda (n):={\begin{cases}\log(p)&\exists p{\text{ prime}},k\in \mathbb {N} :n=p^{k}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
5. 單項式：$I_{k}(n):=n^{k}$
6. 不同素數因子的個數：$\omega (n):=r,n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$, $k_{1},\ldots ,k_{r}\in \mathbb {N}$
7. 帶重數的素因子之和：$\Omega (n):=k_{1}+\cdots +k_{r},n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$，$k_{1},\ldots ,k_{r}\in \mathbb {N}$
8. 劉維爾函式：$\lambda (n):=(-1)^{\Omega (n)}$

練習

• 練習 2.1.1：計算 $\varphi (20)$，$\varphi (17)$ 和 $\varphi (22)$。
• 練習 2.1.2：計算 $\mu (4278)$。提示：$4278=2\cdot 3\cdot 23\cdot 31$。
• 練習 2.1.3：計算 $\Lambda (49)$，保留三位小數。提示：使用泰勒展開。
• 練習 2.1.4：證明對於每個 $n\in \mathbb {N}$ 和 $k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}\in \mathbb {N}$，$\mu (n+4k_{1})\mu (n+4k_{2}+1)\mu (n+4k_{3}+2)\mu (n+4k_{4}+3)=0$。

卷積和算術函式環

定義 2.3:

令 $f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ 為算術函式。則$f$ 和 $g$ 的卷積定義為函式

$f*g(n):=\sum _{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)$.

在下述定理中，我們將證明算術函式構成一個阿貝爾 么半群，其中么半群運算由卷積給出。此外，由於兩個算術函式的和也是一個算術函式，因此算術函式構成一個交換環。事實上，正如我們也將看到的那樣，它們構成一個整環。

定理 2.4（算術函式的阿貝爾么半群性質）:

1. 卷積是可交換的，即 $f*g=g*f$。
2. 卷積是結合的，即 $f*(g*h)=(f*g)*h$。
3. 函式 $\delta$ 來自定義 2.2 是卷積的單位元，即 $\delta *f=f$。

證明:

1.:

${\begin{aligned}f*g(n)&=\sum _{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{d|n}f(\psi (d))g\left(\psi \left({\frac {n}{d}}\right)\right)\\&=\sum _{d|n}f\left({\frac {n}{d}}\right)g(d)=g*f(n)\end{aligned}}$,

其中 $\psi (d):={\frac {n}{d}}$ 是從 $n$ 的因子集到自身的雙射。

2.:

${\begin{aligned}f*(g*h)=f*(h*g)&=\sum _{d_{1}|n}f(d_{1})\left(\sum _{d_{2}|{\frac {n}{d_{1}}}}g\left({\frac {n}{d_{1}d_{2}}}\right)h(d_{2})\right)\\&=\sum _{d_{1}|n}\sum _{d_{2}|{\frac {n}{d_{1}}}}f(d_{1})g\left({\frac {n}{d_{1}d_{2}}}\right)h(d_{2})\\&=\sum _{d_{2}|n}\sum _{d_{1}|{\frac {n}{d_{2}}}}f(d_{1})g\left({\frac {n}{d_{1}d_{2}}}\right)h(d_{2})\end{aligned}}$,

其中最後一個等式來自於恆等函式

$Id:\left\{(d_{1},d_{2}):d_{2}|n,d_{1}{\big |}{\frac {n}{d_{2}}}\right\}\to \left\{(d_{1},d_{2}):d_{1}|n,d_{2}{\big |}{\frac {n}{d_{1}}}\right\}$

是雙射。但是

$\sum _{d_{2}|n}\sum _{d_{1}|{\frac {n}{d_{2}}}}f(d_{1})g\left({\frac {n}{d_{1}d_{2}}}\right)h(d_{2})=(f*g)*h$

因此具有結合律。

3.:

$\delta *f(n)=\sum _{d|n}\delta (d)f\left({\frac {n}{d}}\right)=f(n)$$\Box$

定理 2.5:

算術函式環是一個整環。

證明：令 $f,g\neq 0$ 為算術函式，並令 $n,k\in \mathbb {N}$ 是使 $f(n)\neq 0$，$g(k)\neq 0$ 成立的最小值。 那麼

$f*g(nk)=\sum _{d|nk}f(d)g\left({\frac {nk}{d}}\right)=f(n)g(k)$.$\Box$

現在我們將確定算術函式環的單位。

定理 2.6:

令 $f$ 為算術函式。 則 $f$ 可逆（關於卷積）當且僅當 $f(1)\neq 0$.

證明:

首先假設 $f(1)=0$。 那麼對於任何算術函式 $g$，$f*g(1)=0\neq 1=\delta (1)$.

現在假設 $f(1)\neq 0$。 那麼 $g$ 由遞迴公式給出

$g(1)=f(1)^{-1}$,

$g(n)=-f(1)^{-1}\sum _{d|n \atop d<n}g(d)f\left({\frac {n}{d}}\right)=g(n)-f(1)^{-1}g*f(n)$, $n>1$

是 $f$ 的逆（因此是 *唯一* 逆），因為 $f*g(1)=f(1)g(1)=1$，並且對於 $n>1$，透過歸納法有

${\begin{aligned}f*g(n)&=f*g(n)-f(1)^{-1}f*g*f(n)\\&=f*g(n)-f^{-1}\sum _{d|n \atop d<n}f*g(d)f\left({\frac {n}{d}}\right)=0\end{aligned}}$

$\Box$

練習

• 練習 2.2.1:
• 練習 2.2.2:

積性函式

定義 2.7:

一個算術函式 $f:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ 被稱為 **積性函式** 如果它滿足

1. $\forall n,k\in \mathbb {N} :\gcd(n,k)=1\Rightarrow f(nk)=f(n)f(k)$，並且
2. $f(1)=1$.

定理 2.8:

設 $f,g$ 是積性算術函式。那麼 $f*g$ 是積性函式。

證明:

設 $\gcd(k,n)=1$。那麼

$f*g(kn)=\sum _{d|(kn)}f(d)g\left({\frac {kn}{d}}\right)=\sum _{d_{1}|k \atop d_{2}|n}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {kn}{d_{1}d_{2}}}\right)$,

由於函式 $\theta (d):=(\gcd(d,n),\gcd(d,k))$ 是從 $nk$ 的因數到 $n$ 的因數和 $k$ 的因數的笛卡爾積的雙射；這是因為乘法是其逆運算。

$\gcd(d,n)\gcd(d,k)=d$，$(\gcd(d_{1}d_{2},n),\gcd(d_{1}d_{2},k))=(d_{1},d_{2})$.

嚴格地證明這一點本身就是一個練習。但由於 $f$ 和 $g$ 的乘法性，

$\sum _{d_{1}|k \atop d_{2}|n}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {kn}{d_{1}d_{2}}}\right)=\sum _{d_{1}|k \atop d_{2}|n}f(d_{1})g\left({\frac {k}{d_{1}}}\right)f(d_{2})g\left({\frac {n}{d_{2}}}\right)=f*g(k)\cdot f*g(n)$.

此外，$f*g(1)=f(1)g(1)=1$.$\Box$

由於$\delta$是可乘的，我們得出結論，可乘函式在具有卷積的算術函式中形成一個阿貝爾子么半群。不幸的是，我們沒有子環，因為兩個可乘函式的總和 *從不* 是可乘的（看看$n=1$）。

定理 2.9:

令$f$為一個可乘函式，使得$\sum _{j=1}^{\infty }f(j)$絕對收斂。那麼

$\sum _{j=1}^{\infty }f(j)=\prod _{p{\text{ prime}}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }f(p^{k})\right)$.

證明：令$p_{1},p_{2},p_{3},\ldots =2,3,5,\ldots$為所有素數的有序序列。對於所有$m_{1},\ldots ,m_{r},r\in \mathbb {N}$，我們有

$S_{f,r,m_{1},\ldots ,m_{r}}:=\sum _{d|\left(p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{r}^{m_{r}}\right)}f(d)=\sum _{0\leq k_{1}\leq m_{1}}\cdots \sum _{0\leq k_{r}\leq m_{r}}f\left(p_{1}^{k_{1}}\right)\cdots f\left(p_{r}^{k_{r}}\right)=\prod _{l=1}^{r}\left(\sum _{k=0}^{m_{l}}f(p_{l}^{k})\right)$

由於 $f$ 的乘法性，對於每個 $r$，我們依次令 $m_{1}\to \infty$，...，$m_{r}\to \infty$，然後 $r\to \infty$。根據定義和規則 $x_{n}\to x\Rightarrow yx_{n}\to yx$，可知等式右邊收斂於

$\prod _{l=1}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }f(p_{l}^{k})\right)$.

我們斷言

$\lim _{r\to \infty }\lim _{m_{1}\to \infty }\cdots \lim _{m_{r}\to \infty }S_{f,r,m_{1},\ldots ,m_{r}}=\sum _{j=1}^{\infty }f(j)$.

事實上，選擇 $N\in \mathbb {N}$ 使得

$\sum _{j=N+1}^{\infty }|f(j)|<\epsilon$.

那麼根據算術基本定理，存在 $R\in \mathbb {N}$ 和 $M_{1},\ldots ,M_{R}\in \mathbb {N}$，使得

$\forall j\in \{1,\ldots ,N\}:j|p_{1}^{M_{1}}\cdots p_{R}^{M_{R}}$.

根據三角不等式，對於 $T>R$，$L_{1}>M_{1},\ldots ,L_{R}>M_{R}$ 和 $L_{R+1},\ldots ,L_{T}$ 是任意數，則

${\begin{aligned}\left|S_{f,T,L_{1},\ldots ,L_{T}}-\sum _{j=1}^{\infty }f(j)\right|&\leq \left|\sum _{d|\left(p_{1}^{L_{1}}\cdots p_{T}^{L_{T}}\right) \atop d\leq N}f(d)-\sum _{j=1}^{N}f(j)\right|+\left|\sum _{d|\left(p_{1}^{L_{1}}\cdots p_{T}^{L_{T}}\right) \atop d>N}f(d)-\sum _{j=N+1}^{\infty }f(j)\right|\\&<0+\epsilon .\end{aligned}}$

由此很容易得出結論。

剩下要證明的是左側的乘積與乘法順序無關。但這很明顯，因為如果序列 $(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 的排列方式不同，證明過程完全相同，左側仍然保持不變。 $\Box$

定義 2.10:

如果算術函式 $f:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ 滿足以下條件，則稱其為 **完全積性函式**

1. $\forall n,k\in \mathbb {N} :f(nk)=f(n)f(k)$，以及
2. $f(1)=1$.

等效地，完全積性函式是一個從 $\mathbb {N}$ 到 $\mathbb {C} ^{\times }$ 的么半群同態。

定理 2.11:

令 $f$ 為一個強積性函式，使得 $\sum _{j=1}^{\infty }f(j)$ 絕對收斂。那麼

$\sum _{j=1}^{\infty }f(j)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-f(p)}}$.

證明:

根據定理 2.9，我們有

$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)=\prod _{p{\text{ prime}}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }f(p^{k})\right)$.

由於強積性和等比數列，後面的表示式等於

$\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-f(p)}}$.$\Box$

練習

• 練習 2.3.1：令 $h$ 為一個算術函式，使得對於所有 $m,n\in \mathbb {N}$ $h(nm)=h(n)+h(m)$，令 $s\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$。證明函式 $f(n):=\exp(\log(s)h(n))$ 是積性的。

貝爾級數

定義 2.12:

令 $f$ 為一個算術函式。那麼對於一個素數 $p$，模 $p$ 的貝爾級數 是形式冪級數

$f_{p}(x):=\sum _{j=0}^{\infty }f(p^{j})x^{j}$.

示例 2.13:

我們將在此計算一些重要算術函式的貝爾級數。

我們注意到，一般來說，對於一個完全積性函式 $f$，我們有

$f_{p}(x)=\sum _{j=0}^{\infty }f(p)^{j}x^{j}={\frac {1}{1-f(p)x}}$.

特別地，在這種情況下，貝爾級數定義了一個函式。

1. 克羅內克德爾塔函式

$\delta _{p}(x)=\sum _{j=0}^{\infty }\delta (p^{j})x^{j}=1$

2. 尤拉 φ 函式（我們使用引理 9.？）

${\begin{aligned}\varphi _{p}(x)&=\sum _{j=0}^{\infty }\varphi (p^{j})x^{j}\\&=\sum _{j=0}^{\infty }\varphi (p^{j})x^{j}\\&=1+\sum _{j=1}^{\infty }(p^{j}-p^{j-1})x^{j}\\&={\frac {1+x}{1-px}}\end{aligned}}$

3. 莫比烏斯 $mu$ 函式

$\mu _{p}(x)=\sum _{j=0}^{\infty }\mu (p^{j})x^{j}=1-x$

4. 馮·曼戈爾特函式

$\Lambda _{p}(x)=\sum _{j=0}^{\infty }\Lambda (p^{j})x^{j}=\sum _{j=0}^{\infty }\log(p)x^{j}$

5. 單項式

$(I_{k})_{p}=\sum _{j=0}^{\infty }p^{kj}xj={\frac {1}{1-p^{k}x}}$

6. 不同的素數因子的個數

$\omega _{p}(x)=\sum _{j=1}^{\infty }x^{j}={\frac {1}{1-x}}-1$

7. 包含重數的素數因子數量

${\begin{aligned}\Omega _{p}(x)&=\sum _{j=1}^{\infty }jx^{j}\\&={\frac {1}{x}}\sum _{j=0}^{\infty }(x^{j})'\\&={\frac {1}{x}}\left(\sum _{j=0}^{\infty }x^{j}\right)'\\&={\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1-x}}\right)'\\&=-{\frac {1}{x}}{\frac {1}{(1-x)^{2}}}\end{aligned}}$

8. 黎曼函式

$\lambda _{p}(x)=\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j}x^{j}={\frac {1}{1+x}}$

定理 2.14 (貝爾級數和卷積的相容性):

令 $f,g$ 為算術函式，$p$ 為素數。那麼

$f_{p}\cdot g_{p}=(f*g)_{p}$.

證明:

${\begin{aligned}f_{p}(x)g_{p}(x)&=\left(\sum _{j=0}^{\infty }f(p^{j})x^{j}\right)\left(\sum _{j=0}^{\infty }g(p^{j})x^{j}\right)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}\left(\sum _{j=0}^{k}f(p^{j})g(p^{k-j})\right)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}(f*g)(p^{k})\end{aligned}}$$\Box$

在乘法情況下，我們有以下定理

定理 2.15 (唯一性定理):

令 $f,g$ 為乘法函式。那麼

$f=g\Leftrightarrow f_{p}=g_{p}$.

證明: $\Rightarrow$ 非常明顯; $\Leftarrow$: $f_{p}(x)=g_{p}(x)$ 作為形式冪級數等同於說 $\forall k\in \mathbb {N} :f(p^{k})=g(p^{k})$。如果現在 $n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$，那麼

$f(n)=f(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}})=f(p_{1}^{k_{1}})\cdots f(p_{r}^{k_{r}})=g(p_{1}^{k_{1}})\cdots g(p_{r}^{k_{r}})=g(n)$

由於 $f$ 和 $g$ 的乘法性。 $\Box$

在第 9 章中，我們將使用 Bell 級數來獲得數論函式的方程。

導數

定義 2.16:

設 $f$ 是一個算術函式。那麼 $f$ 的導數定義為函式

$f'(n):=f(n)\log(n)$.

定理 2.17（導數規則）:

設 $f,g$ 是算術函式。我們有以下規則

1. $(f+g)'=f'+g'$
2. $(f*g)'=f'*g+f*g'$
3. $(f^{-1})'=-f'\cdot (f*f)^{-1}$ 如果 $f$ 可逆，即 $f(1)\neq 0$

注意， $f^{-1}$ 不是 $f$ 的逆函式（這本身也沒什麼意義，因為 $f$ 運算不能是滿射的，因為 $\mathbb {C}$ 是不可數的），而是卷積逆。

證明:

1. 容易驗證。

2.:

${\begin{aligned}(f*g)'(n)&=(f*g)(n)\log(n)\\&=\sum _{d|n}f(d)g(n/d)(\log(d)+\log(n/d))\\&=\sum _{d|n}f(d)g(n/d)\log(d)+\sum _{d|n}f(d)g(n/d)\log(n/d)\end{aligned}}$

3.

我們有 $\delta '=0$ 和 $(f*f^{-1})=\delta$。因此，由 2.

$0=(f*f^{-1})'=f'*f^{-1}+f*(f^{-1})'$.

與 $f^{-1}$ 卷積，並使用 $f^{-1}*f^{-1}=(f*f)^{-1}$ 得到所需的公式。 $\Box$

需要注意的是，鏈式法則在這裡意義不大，因為 $f$ 運算可能會對映到任何地方，而不是 $\mathbb {N}$，因此 $g\circ f$ 通常來說沒什麼意義。

進一步閱讀

• terrytao.wordpress.com: Derived multiplicative functions