解析數論/字元和狄利克雷字元

定義，基本性質

定義 4.1

設 $G$ 為有限群。G 的字元是指函式 $f:G\to \mathbb {C}$，滿足

1. $\forall \sigma ,\tau \in G:f(\sigma \tau )=f(\sigma )f(\tau )$ 且
2. $\exists \rho \in G:f(\rho )\neq 0$.

引理 4.2:

設 $G$ 為有限群，設 $f:G\to \mathbb {C}$ 為字元。則

$\forall \sigma \in G:|f(\sigma )|=1$.

特別地，$\forall \sigma \in G:f(\sigma )\neq 0$.

證明:

由於 $G$ 是有限的，每個 $\sigma \in G$ 都有有限階 $n:=\mathrm {ord} (\sigma )$。此外，設 $\rho \in G$ 使得 $f(\rho )\neq 0$；則 $f(\rho )=f(\sigma )f(\sigma ^{-1}\rho )$，因此 $f(\sigma )\neq 0$。因此，我們可以進行約分，得到

$|f(\sigma )|=|f(\sigma ^{n+1})|=|f(\sigma )|^{n+1}\Rightarrow |f(\sigma )|=1$.$\Box$

引理 4.3:

令 $G$ 為有限群，令 $f,g:G\to \mathbb {C}$ 為特徵。則函式 $h:G\to \mathbb {C} ,h(\tau ):=f(\tau )\cdot g(\tau )$ 也是一個特徵。

證明:

由於 $\mathbb {C}$ 是一個域，因此沒有零因子，所以有 $h(\sigma \tau )=f(\sigma \tau )g(\sigma \tau )=f(\sigma )g(\sigma )f(\tau )g(\tau )=h(\sigma )h(\tau )\neq 0$,

$\Box$

引理 4.4:

令 $G$ 為有限群，令 $f:G\to \mathbb {C}$ 為一個特徵。則函式 $g:G\to \mathbb {C} ,g(\tau ):={\frac {1}{f(\tau )}}$ 也是一個特徵。

證明: 這是顯然的，因為根據之前的引理，我們有 $\forall \tau \in G:f(\tau )\neq 0$。$\Box$

之前的三個引理（或者只是第一個引理，加上一些來自初等群論的引理）證明了以下定義的合理性。

定義 4.5

令 $G$ 為有限群。則群

$\{f:G\to \mathbb {C} |f{\text{ is a character }}\}=\mathrm {Hom} (G,\mathbb {C} ^{\times })$

稱為 $G$ 的特徵群。

所需的代數

我們需要群論中的以下結果

引理 4.6

令 $G$ 為一個有限阿貝爾群，令 $H\leq G$ 為其一個階為 $n\in \mathbb {N}$ 的子群，再令 $\tau \in G\setminus H$ 使得 $k\in \mathbb {N}$ 是滿足 $\tau ^{k}\in H$ 的最小正整數。則群

$N:=\{\tau ^{n}\sigma |\sigma \in H\}$

是 $G$ 的包含 $H$ 的子群，其階為 $k\cdot n$.

證明:

由於 $G$ 是 $H$ 的陪集的不交併，$N$ 是不交併 $\bigcup _{j=0}^{n-1}\tau ^{j}H$，因為 $\rho H=H\Leftrightarrow \rho \in H$ 且 $\tau ^{l}H=\tau ^{m}H\Leftrightarrow \tau ^{l-m}\in H\Leftrightarrow k|(l-m)$。因此，$N$ 的基數等於 $k\cdot n$。

此外，如果 $\tau ^{l}\sigma ,\tau ^{m}\rho \in N$，那麼 $\tau ^{l}\sigma (\tau ^{m}\rho )^{-1}=\tau ^{l-m}\sigma \rho ^{-1}\in N$，因此 $N$ 是一個子群。$\Box$