解析數論/狄利克雷級數

在本節中，我們使用黎曼的複數符號約定

$s=\sigma +it$

定義

定義 5.1:

設 $f$ 為一個算術函式。則與 $f$ 相關的狄利克雷級數是級數

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$,

其中 $s$ 在複數範圍內變化。

收斂性考慮

定理 5.2 (絕對收斂橫座標):

設 $f$ 為一個算術函式，使得與 $f$ 相關的狄利克雷級數相關的絕對值級數

$\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right|$

既不完全發散於任何 $s\in \mathbb {C}$，也不完全收斂於所有 $s\in \mathbb {C}$。則存在一個 $\sigma _{a}\in \mathbb {R}$，稱為絕對收斂橫座標，使得與 $f$ 相關的狄利克雷級數對於所有 $\sigma +it$， $\sigma >\sigma _{a}$ 絕對收斂，而相關的絕對值級數對於所有 $\sigma +it$， $\sigma <\sigma _{a}$ 發散。

證明:

用 $S$ 表示所有滿足以下條件的實數 $\sigma$ 的集合:

$\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right|$

發散。由於假設，該集合既不為空也不等於 $\mathbb {C}$。此外，如果 $\sigma _{0}+it_{0}\notin S$，那麼對於所有 $\sigma >\sigma _{0}$ 和所有 $t$ $\sigma +it\notin S$，因為

$\left|{\frac {f(n)}{n^{s_{0}}}}\right|={\frac {|f(n)|}{n^{\sigma _{0}}}}\geq {\frac {|f(n)|}{n^{\sigma }}}=\left|{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right|$

並根據比較檢驗。因此，$S$ 存在上確界。設 $\sigma _{a}$ 為該上確界。根據定義，對於 $\sigma >\sigma _{a}$，我們有收斂，而如果對於 $\sigma <\sigma _{a}$ 我們有收斂，則根據上述論證，我們會找到一個更低的上界，這與 $\sigma _{a}$ 的定義相矛盾。$\Box$

定理 5.3（條件收斂的橫座標）:

公式

定理 8.4（尤拉乘積）:

設 $f$ 為一個強可乘函式，設 $s\in \mathbb {C}$ 使得相應的狄利克雷級數絕對收斂。那麼對於該級數，我們有公式

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-{\frac {f(p)}{p^{s}}}}}$.

證明:

這是直接從定理 2.11 和 $f$ 是強積性函式 $\Rightarrow$ ${\frac {f(n)}{n^{s}}}$ 也是強積性函式。 $\Box$