解析數論/部分分式分解

存在性定理

定理 2.1（部分分式分解的存在性定理）:

設 $f,g$ 是唯一分解域上的多項式，且設 $g=\prod _{j=1}^{n}p_{j}^{k_{j}}$，其中 $p_{j}$ 是不可約的。那麼我們可以寫成

${\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+\sum _{j=1}^{n}\sum _{l=1}^{k_{j}}{\frac {a_{l,j}(x)}{p_{j}(x)^{l}}}$,

其中 $a_{l,j}$ 是度數嚴格小於 $p_{j}$ 的多項式，而 $q$ 是一個多項式。右側的項被稱為 ${\frac {f}{g}}$ 的部分分式分解。

證明:

我們用歸納法對 $n$ 進行證明。對於 $n=1$，該命題為真，因為根據帶餘除法，我們可以寫成

$f(x)=q_{1}(x)p_{1}(x)+r(x)$

其中 $\deg(r)<\deg(p_{1})$，得到

${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {q_{1}(x)}{p_{1}(x)^{k_{1}-1}}}+{\frac {r(x)}{g(x)}}$,

我們已經將分母的次數降低了一次（後面的加數已經滿足了要求的條件）。重複此過程，最終我們將得到分母為1，從而得到一個多項式。

現在假設對 $n\in \mathbb {N}$ 成立，並假設 $g=\prod _{j=1}^{n+1}p_{j}^{k_{j}}$。寫成 $G=\prod _{j=1}^{n}p_{j}^{k_{j}}$ 和 $H=p_{n+1}^{k_{n+1}}$。由於不可約性，$\gcd(G,H)=1$。因此，我們找到多項式 $S,T$ 使得 $1=SG+TH$。然後

${\frac {f}{g}}={\frac {f(SG+TH)}{g}}={\frac {fSG}{g}}+{\frac {fTH}{g}}$.

根據歸納假設，最後一項的每個加數都可以寫成所需的格式。$\Box$

技術

無論我們的多項式分數 ${\frac {f}{g}}$ 多麼複雜，我們都可以使用簡單的技巧在有限的時間內給出部分分式分解。這種方法，為了簡單起見，與上面給出的構造性存在證明不同，步驟如下：

1. 將多項式 $g$ 分解成不可約因子。
2. 使用帶餘數的除法，將 $f$ 除以 $g$，簡化為 $\deg(f)<\deg(g)$ 的情況（所得多項式 $q$ 被允許出現在定理 2.1 的公式中）。
3. 求解定理 2.1 中給出的方程，以求得 $a_{l,j}$ （這等同於求解一個線性方程組，即乘以 $g$，然後比較係數）。

定理 2.2:

上述演算法總是終止，並給出 ${\frac {f}{g}}$ 的部分分式分解。

證明：根據定理 2.1，在步驟三中，我們確實獲得了可以求解的線性方程組。因此可以得出結論：演算法終止且結果正確。$\Box$