解析數論/常用求和公式

解析數論非常複雜，我們需要先掌握一些基本的求和公式，才能證明該理論中一些最基本的定理。

阿貝爾求和公式

定理 1.1 (阿貝爾求和公式，也稱為阿貝爾恆等式):

設 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是一個數列，並設 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 是一個可微函式，使得 $f'$ 是黎曼可積的。如果我們定義

$A(x):=\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}$,

那麼我們有

$\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{1}^{x}A(y)f'(y)dy$.

注意：我們需要黎曼可積性才能應用微積分基本定理。

證明 1:

我們透過對 $\lfloor x\rfloor$ 進行歸納證明。

1. $\lfloor x\rfloor =1$

首先，在這種情況下，我們有

$\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)=a_{1}f(1)$.

然後，我們有

$A(x)f(x)=a_{1}f(x)=a_{1}f(1)-a_{1}(f(1)-f(x))=a_{1}f(1)+\int _{1}^{x}A(y)f'(y)dy$

由微積分基本定理可知。

2. 歸納步驟

定義 $N:=\lfloor x\rfloor$。我們有

${\begin{aligned}\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)&=\sum _{1\leq n\leq x-1}a_{n}f(n)+a_{N}f(N)\\&=A(x-1)f(x-1)-\int _{1}^{x-1}A(y)f'(y)dy+a_{N}f(N)\end{aligned}}$

根據歸納假設。此外，

${\begin{aligned}-\int _{1}^{x-1}A(y)f'(y)dy&=-\int _{1}^{x}A(y)f'(y)dy+\int _{x-1}^{x}A(y)f'(y)dy\\&=-\int _{1}^{x}A(y)f'(y)dy+\int _{x-1}^{N}A(y)f'(y)dy+\int _{N}^{x}A(y)f'(y)dy\\&=-\int _{1}^{x}A(y)f'(y)dy+A(N-1)\int _{x-1}^{N}f'(y)dy+A(N)\int _{N}^{x}f'(y)dy\\&=-\int _{1}^{x}A(y)f'(y)dy+A(N-1)(f(N)-f(x-1))+A(N)(f(x)-f(N))\end{aligned}}$.

將這些結果整合在一起，我們得到

$\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)=A(x-1)f(x-1)-\int _{1}^{x}A(y)f'(y)dy+A(N-1)(f(N)-f(x-1))+A(N)(f(x)-f(N))+a_{N}f(N)$

從而得到所需的公式。

我們在這裡採用的證明方法是使用歸納法，然後嘗試將歸納假設中的項表示為所需公式中的項。 $\Box$

證明2:

我們透過直接操作左側的項來證明該定理。

定義 $k:=\lfloor x\rfloor$.

${\begin{aligned}\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)&=\sum _{1\leq n\leq x}(A(n)-A(n-1))f(n)\\&=\sum _{1\leq n\leq x}A(n)f(n)-\sum _{0\leq n\leq x-1}A(n)f(n+1)=\sum _{1\leq n\leq x}A(n)f(n)-\sum _{1\leq n\leq x-1}A(n)f(n+1)\\&=\sum _{1\leq n\leq x-1}A(n)(f(n)-f(n+1))+A(k)f(k)\\&=\sum _{1\leq n\leq x-1}A(n)\left(-\int _{n}^{n+1}f'(t)dt\right)+A(x)f(x)-\int _{k}^{x}A(t)f'(t)dt\end{aligned}}$$\Box$

證明 3:

我們使用黎曼-斯蒂爾傑斯積分來證明這個公式。實際上，透過分部積分，我們有

${\begin{aligned}\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)=\int _{0}^{x}f(t)dA(t)&=A(x)f(x)-\int _{0}^{x}A(t)df(t)\\&=A(x)f(x)-\int _{1}^{x}A(t)f'(t)dt\end{aligned}}$.$\Box$

推論 1.2:

$\sum _{y<n\leq x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-A(y)f(y)-\int _{y}^{x}A(t)f'(t)dt$.

證明 1:

我們從黎曼-斯蒂爾傑斯積分的分部積分推匯出這個公式。

${\begin{aligned}\sum _{y<n\leq x}a_{n}f(n)=\int _{y}^{x}f(t)dA(t)&=f(x)A(x)-f(y)A(y)-\int _{y}^{x}A(t)df(t)\\&=f(x)A(x)-f(y)A(y)-\int _{y}^{x}A(t)f'(t)dt\end{aligned}}$$\Box$

證明2:

我們直接操作左側 (LHS)。

定義 $k:=\lfloor x\rfloor$ 以及 $m:=\lfloor y\rfloor$.

${\begin{aligned}\sum _{y<n\leq x}a_{n}f(n)&=\sum _{y<n\leq x}(A(n)-A(n-1))f(n)\\&=\sum _{y<n\leq x}A(n)f(n)-\sum _{y-1<n\leq x-1}A(n)f(n+1)\\&=\sum _{y<n\leq x-1}A(n)(f(n)-f(n+1))-A(m)f(m)+A(k)f(k)\\&=\sum _{y<n\leq x-1}A(n)-\left(\int _{n}^{n+1}f'(t)dt\right)-A(y)f(y)+A(x)f(x)-\int _{y}^{m}A(t)f'(t)dt-\int _{k}^{x}A(t)f'(t)dt\end{aligned}}$$\Box$

練習 1.1.1 和 1.1.5 中提供了另外兩種證明。

我們注意到，對於定理 1.1，歸納法和直接操作是更快的證明方法，而推論 1.2 從定理 1.1 或黎曼-斯蒂爾傑斯積分中更容易證明。

練習

• 練習 1.1.1：從定理 1.1 證明推論 1.2。提示：$\sum _{y<n\leq x}a_{n}f(n)=\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)-\sum _{1<n\leq y}a_{n}f(n)$.
• 習題 1.1.2: 計算 $\sum _{n=1}^{N}n^{3}$。提示：使用 $a_{n}=n$，$f(x)=x^{2}$，應用阿貝爾求和，將所得積分分成 $A(t)$ 為常數的片段。然後應用類似的過程。
• 習題 1.1.3: 證明極限 $\lim _{n\to \infty }\left(-\log(n)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)$ 存在。這個極限被稱為尤拉-馬歇羅尼常數。提示：使用 $a_{n}=1$ 和 $f(x)={\frac {1}{x}}$。
• 習題 1.1.4: 從推論 1.2 證明定理 1.1。
• 習題 1.1.5: 使用關於 $\lfloor x\rfloor$ 的歸納法證明推論 1.2。

尤拉求和公式

定義 1.3:

對於 $x\in \mathbb {R}$，我們定義

$\{x\}:=x-\lfloor x\rfloor$.

定理 1.4 (尤拉求和公式):

令 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 為可微函式，使得 $f'$ 是黎曼可積的。那麼

$\sum _{y<n\leq x}f(n)=\{x\}f(x)-\{y\}f(y)+\int _{y}^{x}f(t)dt+\int _{y}^{x}\{t\}f'(t)dt$.

證明:

我們從推論 1.2 證明定理，設定 $a_{n}=1$ 並使用分部積分（分部積分使用微積分基本定理證明）。

事實上，

${\begin{aligned}\sum _{y<n\leq x}f(n)&=\lfloor x\rfloor f(x)-\lfloor y\rfloor f(y)-\int _{y}^{x}\lfloor t\rfloor f'(t)dt\\&=\lfloor x\rfloor f(x)-\lfloor y\rfloor f(y)-\int _{y}^{x}tf'(t)dt+\int _{y}^{x}\{t\}f'(t)dt\\&=\{x\}f(x)-\{y\}f(y)+\int _{y}^{x}f(t)dt+\int _{y}^{x}\{t\}f'(t)dt\end{aligned}}$,

其中，最後一行我們對積分 $\int _{y}^{x}tf'(t)dt$ 使用了分部積分。$\Box$

推論 1.5:

練習

1. 證明推論 1.5。

尤拉-麥克勞林公式

定理 1.6（尤拉-麥克勞林公式）:

定義函式 $\rho (x):={\frac {1}{2}}-x$ 和 $\sigma (x):=\int _{0}^{x}\rho (y)dy$。則對於任何二階連續可微函式 $f$，使得 $f''$ 是黎曼可積的，我們有

$\sum _{y<n\leq x}f(n)=\int _{x}^{y}f(t)dt+\rho (y)f(y)-\rho (x)f(x)+\sigma (x)f'(x)-\sigma (y)f'(y)+\int _{x}^{y}\sigma (t)f''(t)dt$.

證明 1:

我們透過直接計算來證明這個定理。

${\begin{aligned}\end{aligned}}$

證明2:

我們從尤拉求和公式出發來證明這個定理。