適用數學/計數技巧
階乘，用n！表示，其中n是一個介於 1 到無窮大之間的數字，是從 1 開始到n 的連續自然數的乘積。數字 0 是一個例外。0！的值為 1。階乘在許多方面都有應用，從它們在方程式中的使用到解決文字問題。它們最實用的應用是透過計算事件結果的數量。例如，它可以生成比賽可能的結果，以及賽跑者有多少種可能的第一、第二、第三名等等的組合。
n 階乘
對於任何整數n，它的階乘是小於或等於它的所有自然數的乘積。例如
7！ = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
階乘背後的代數公式如下
n！ = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ... x 1
排列是指給定值的所有可能結果。例如，如果你有三種顏色（紅色 [r]、綠色 [g] 和黃色 [y]），並被要求找到它們的可能排列，你會發現 6 種可能的排列：rgy、ryg、gyr、gry、yrg、ygr。
在排列中，組中物件的順序很重要。使用上面的相同示例，我們有三種不同的顏色（紅色 [r]、綠色 [g] 和黃色 [y]）。如果我們只給出紅色 [r]，那麼只有一種排列方式：紅色。但是，當引入綠色 [g] 時，現在有兩種排列這些顏色的方式：rg 或 gr。現在，當引入第三種顏色（黃色 [y]）時，現在有六種可能的結果，如上所述。這三種顏色的排列數量等於 3 x 2 x 1，等於 6。這也等於 3 的階乘
3！ = 3 x 2 x 1 = 6
n 個專案的排列的一般公式是
n x (n - 1) x (n - 2) x (n - 3) x ... x 1
如上所述，這也稱為n 階乘，寫成這樣
n！
但是，如果你不想對整組物品進行排序怎麼辦？假設你需要從 8 個物品中選擇 3 個物品的順序。基本計數原理是實現這一點的一種方法。
第一件事：8 種可能性
第二件事：7 種可能性
第三件事：6 種可能性
此示例中的排列數量為336。換句話說，有 8 個物品，我們按順序從中選擇 3 個。336 來自 8 種可能性 x 7 種可能性 x 6 種可能性。
如上所述，階乘也可以用來求排列。可以將排列的數量除以未使用的排列數量。使用上面的示例，有 8 個物品，其中 3 個排列無關緊要。對於大量的物件，使用此通用公式很有用
nPr = n！ / (n-r)！
用文字表示，這個代數公式如下：從n 個物品中取r 個物品的排列數量是 ___ 。
因此，在上面使用的示例中，從 8 個物品中取 3 個物品將得到
8P3 = 8！ / (8-3)！ = 8！ / 5！ = 336
1. 從 6 個人中，一所高中所有學生有多少種方法可以投票選出返校節國王和王后？
換句話說，這個問題要求我們從 6 個物品中選擇和排列 2 個物品。因此，第一步是在我們的 nPr 公式中用 6 代替n，用 2 代替 r
6P2 = 6！ / (6-2)！ = 6！ / 4！ = (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (4 x 3 x 2 x 1) = 6 x 5 = 30
因此，有 30 種方法可以投票選出返校節國王和王后。
2. 你有 10 個相框要掛在你的臥室牆上；但是，你只有足夠的空間掛 5 個相框。你有多少種方法可以在你的牆上掛任何 5 個相框？
10P5 = 10！ / (10-5)！ = 10！ / 5！ = (10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30,240
因此，你有 30,240 種方法可以選擇要掛在牆上的照片。
如果你注意到，在上面的兩個示例中，選擇的事物數量等於除以兩個階乘後剩下的因子數量。例如，在示例 1 中，我們投票選出 2 個人，因此在除以階乘後，剩下 2 個因子：6 x 5。
當對物品進行分組並且分組的順序無關緊要時，這被稱為組合。通常，當順序無關緊要時，選擇事物的方法較少。假設我們有 4 個不同的字母：A、B、C 和 D。有 24 種不同的方法可以按順序排列這 4 個字母（排列）。但是，對於字母來說，它們都是相同的組合。
24 種排列：ABCD、ACDB、ADBC、ACBD、ADCB、ABDC、BACD、BADC、BDCA、BDAC、BCAD、BCDA、CDAB、CDBA、CBAD、CBDA、CABD、CADB、DABC、DACB、DBCA、DBAC、DCAB、DCBA
1 種組合：ABCD
之前用於排列的公式可以改變並用來求組合的數量
(排列所有物品的方法) / (排列未選擇物品的方法) = 排列的數量
為了將此公式更改為求組合的數量，排列的數量將除以排列所選物品的方法的數量。這是因為在組合中，順序無關緊要。
(排列所有物品的方法) / (排列所選物品的方法) x (排列未選擇物品的方法) = 組合的數量
因此，求從n 個物品中取r 個物品的組合的代數公式是
nCr = n！ / r！ x (n - r)！
例如，從 8 個物品中取 4 個物品的組合數量是
8C4 = 8！ / 4!(8-4)！ = 70
那麼，你如何知道是使用排列還是組合？你需要決定的第一件事是順序是否重要。如果重要，那麼需要排列來解決問題。但是，如果順序無關緊要，那麼組合是應該使用的方法。
1. 勞倫想為她的農場買 4 只小狗。寵物店有 12 只小狗可供選擇。她有多少種方法可以從這 12 只小狗中選擇 4 只？
第一步是決定是使用排列公式還是組合公式來解決問題。由於順序無關緊要，因此應該使用組合方法。
組合方法如下
12C4 = 12！ / 4!(12-4)！ = 12！ / 4!(8!)
= (12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (4 x 3 x 2 x 1)(8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1)
= (12 x 11 x 10 x 9) / (4 x 3 x 2 x 1) = 495
因此，有 495 種不同的方法可以從 12 只小狗中選擇 4 只。