適用數學/矩陣

矩陣

矩陣是一個用括號括起來的數字矩形陣列。在記號意義上，矩陣與數字列表的區別在於矩陣的格式。數字以特定順序排列，使得每個數字在括號之間都有一個確定的位置。矩陣中的每個數字或值稱為元素。

矩陣的主要優勢之一是它的性質，這些性質允許它被操縱並用於許多不同但有用的目的。

矩陣的大小可以不同。這種大小的變化稱為維度。就像房間的尺寸（寬度 x 長度）一樣，矩陣也有維度（行數 x 列數）。因此，一個 2 x 3（讀作 2 行 3 列）矩陣將有 2 行和 3 列。

一個 2 x 3 矩陣的例子

$M={\begin{bmatrix}572&98&302\\1&732&22\\\end{bmatrix}}$

與矩陣相關的另一個術語是地址。就像您的家庭地址一樣，地址描述了矩陣中每個值或元素的位置。地址由矩陣的小寫字母組成，並用行號和列號（按此順序）作為下標。

以 2 x 3 矩陣 M 為例，值的 positions 如下所示

$M={\begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}&m_{13}\\m_{21}&m_{22}&m_{23}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}572&98&302&\\1&732&22\end{bmatrix}}$

$m_{11}=572\quad m_{12}=98\quad m_{13}=302\quad m_{21}=1\quad m_{22}=732\quad m_{23}=22$

方陣是行數和列數相同的矩陣。

例如：2 x 2 或 3 x 3 矩陣都是方陣。

$2x2={\begin{bmatrix}{\color {red}1}&12\\21&{\color {red}2}\end{bmatrix}}\qquad 3x3={\begin{bmatrix}{\color {red}7}&9&30\\1&{\color {red}2}&2\\5&43&{\color {red}6}\end{bmatrix}}$

請注意上面 2 x 2 和 3 x 3 方陣中紅色的數字。這些數字位於主對角線的地址中。方陣的主對角線是從左上角元素到右下角元素的對角線。請注意，只有方陣才可能有主對角線。

矩陣的加減法

要對矩陣進行加法或減法運算，則透過對對應元素進行加法或減法運算來求和或差。

例如，

${\begin{bmatrix}{\color {red}7}&{\color {blue}4}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\color {red}3}&{\color {blue}9}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}10}&{\color {blue}13}\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}{\color {red}a_{11}}&{\color {blue}a_{12}}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\color {red}b_{11}}&{\color {blue}b_{12}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}a_{11}+b_{11}}&{\color {blue}a_{12}+b_{12}}\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}{\color {red}7}&{\color {blue}4}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\color {red}3}&{\color {blue}9}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}4}&{\color {blue}-5}\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}{\color {red}a_{11}}&{\color {blue}a_{12}}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\color {red}b_{11}}&{\color {blue}b_{12}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}a_{11}-b_{11}}&{\color {blue}a_{12}-b_{12}}\end{bmatrix}}$

由於加減法是針對對應項進行的，因此矩陣必須具有相同的維數才能完成任一操作。

考慮這個操作

${\begin{bmatrix}52\\36\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}12&16&5\\\end{bmatrix}}====>{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\\end{bmatrix}}\quad {\color {red}CAN'T\quad BE\quad DONE}$

${\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&?+b_{12}&?+b_{13}\\a_{21}+?&---&---\\\end{bmatrix}}$

現在考慮這些矩陣

${\begin{bmatrix}52&4\\36&18\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}12&16\\34&2\\\end{bmatrix}}====>{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}64&20\\70&20\\\end{bmatrix}}$

矩陣相等性質

交換律

矩陣加法滿足交換律 $A+B=B+A$

${\begin{bmatrix}5&9&0\\1&3&2\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}7&8&3\\4&7&6\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7&8&3\\4&7&6\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}5&9&0\\1&3&2\\\end{bmatrix}}$

>______________ ${\begin{bmatrix}12&17&3\\5&10&8\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}12&17&3\\5&10&8\\\end{bmatrix}}$

結合律

矩陣加法滿足結合律。 $A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)$

${\begin{bmatrix}4&7\\1&8\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}3&18\\24&7\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&8\\14&6\\\end{bmatrix}}={\Bigg (}{\begin{bmatrix}4&7\\1&8\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}3&18\\24&7\\\end{bmatrix}}{\Bigg )}+{\begin{bmatrix}1&8\\14&6\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&7\\1&8\\\end{bmatrix}}+{\Bigg (}{\begin{bmatrix}3&18\\24&7\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&8\\14&6\\\end{bmatrix}}{\Bigg )}$

${\begin{bmatrix}4&7\\1&8\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}3&18\\24&7\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&8\\14&6\\\end{bmatrix}}={\Bigg (}{\begin{bmatrix}7&25\\25&15\\\end{bmatrix}}{\Bigg )}+{\begin{bmatrix}1&8\\14&6\\\end{bmatrix}}\qquad \quad ={\begin{bmatrix}4&7\\1&8\\\end{bmatrix}}+{\Bigg (}{\begin{bmatrix}4&26\\38&13\\\end{bmatrix}}{\Bigg )}$

>_________${\begin{bmatrix}8&33\\39&21\\\end{bmatrix}}\qquad \quad \quad =\qquad \qquad {\begin{bmatrix}8&33\\39&21\\\end{bmatrix}}\qquad \qquad \quad ={\begin{bmatrix}8&33\\39&21\\\end{bmatrix}}$

加法單位元

零矩陣是加法單位元矩陣 'O'。

零矩陣 是一個所有元素都為零的矩陣。 $O={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\\end{bmatrix}}$

任何矩陣加到矩陣 'O' 上，都會保持它本身的值。

加法單位元的例子 $A+O=A$

${\begin{bmatrix}7&4\\6&9\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7&4\\6&9\\\end{bmatrix}}$

加法逆元

需要兩個矩陣才能形成一對逆元。 兩個矩陣是加法逆元，如果它們的和是零矩陣。 當矩陣的加法逆元包含每個元素的相反值時，就會發生這種情況。 $A+(-A)=O$

${\begin{bmatrix}{\color {red}8}&{\color {red}2}&{\color {red}-1}\\{\color {red}-6}&{\color {red}9}&{\color {red}-3}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\color {blue}-8}&{\color {blue}-2}&{\color {blue}1}\\{\color {blue}6}&{\color {blue}-9}&{\color {blue}3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}8}+{\color {blue}-8}&{\color {red}2}+{\color {blue}-2}&{\color {red}-1}+{\color {blue}1}\\{\color {red}-6}+{\color {blue}6}&{\color {red}9}+{\color {blue}-9}&{\color {red}-3}+{\color {blue}3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}$

乘法單位矩陣

一個乘法單位矩陣，通常用字母 I 表示，是一個方陣，其主對角線上的所有元素的值為 1，其餘元素的值為 0。

$I_{2x2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad I_{3x3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

任何矩陣乘以單位矩陣都會保留其原始元素。 $AxI=A$

$A={\begin{bmatrix}6&15&9\\23&5&43\\\end{bmatrix}}\quad \quad I={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$ ${\displaystyle }$

見矩陣乘法

$AI={\begin{bmatrix}(6)(1)+(15)(0)+(9)(0)&(6)(0)+(15)(1)+(9)(0)&(6)(0)+(15)(0)+(9)(1)\\(23)(1)+(5)(0)+(43)(0)&(23)(0)+(5)(1)+(43)(0)&(23)(0)+(5)(0)+(43)(1)\\\end{bmatrix}}$

$AI={\begin{bmatrix}6&15&9\\23&5&43\\\end{bmatrix}}$

乘法逆矩陣

如果矩陣 $AxB=I$ 其中 I 是單位矩陣，那麼 A 和 B 互為乘法逆矩陣。

$A={\begin{bmatrix}-1&0&2\\4&1&-1\\2&0&1\\\end{bmatrix}}\quad \quad B={\begin{bmatrix}-0.2&0&0.4\\1.2&1&-1.4\\0.4&0&0.2\\\end{bmatrix}}$

$AB={\begin{bmatrix}(-1)(-0.2)+(0)(1.2)+(2)(0.4)&(-1)(0)+(0)(1)+(2)(0)&(-1)(0.4)+(0)(-1.4)+(2)(0.2)\\(4)(-0.2)+(1)(1.2)+(-1)(0.4)&(4)(0)+(1)(1)+(-1)(0)&(4)(0.4)+(1)(-1.4)+(-1)(0.2)\\(2)(-0.2)+(0)(1.2)+(1)(0.4)&(2)(0)+(0)(1)+(1)(0)&(2)(0.4)+(0)(-1.4)+(1)(0.2)\\\end{bmatrix}}$ $AB=I={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

因此，矩陣 A 和 B 互為乘法逆矩陣。

矩陣乘法

回到乘法單位矩陣

矩陣的另一個有用屬性稱為標量。標量是一個位於單個矩陣外部的數字。要將標量應用於矩陣，只需將矩陣的每個條目乘以標量。

例如，

${\color {red}3}{\begin{bmatrix}3&9&15\\1&7.5&2\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}({\color {red}3})3&({\color {red}3})9&({\color {red}3})15\\({\color {red}3})1&({\color {red}3})7.5&({\color {red}3})2\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}9&27&45\\3&22.5&6\\\end{bmatrix}}$

要將兩個矩陣相乘，必須注意它們的維數。矩陣 A 和 J 只有當 A 的列數等於 J 的行數時才能相乘。另一個提示是，一個 a x j 矩陣和一個 j x b 矩陣的乘積是一個 a x b 矩陣。請注意，第一個矩陣的列數**必須**等於第二個矩陣的行數 (j = j)。

首先，我們將看看如何測試我們是否可以將矩陣相乘。

考慮矩陣 Q 和 R。

$Q=2\quad x\quad {\color {red}3}\qquad \quad \qquad R={\color {red}3}\quad x\quad 2\qquad {\color {red}3\ columns}={\color {red}3\ rows}$

由於矩陣 Q 的列數等於矩陣 R 的行數，因此這兩個矩陣可以相乘。這將產生一個 2 x 2 矩陣。

$Q={\begin{bmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}7}&{\color {red}9}\\3&5&1\\\end{bmatrix}}\qquad x\qquad R={\begin{bmatrix}{\color {red}8}&9\\{\color {red}3}&5\\{\color {red}4}&6\\\end{bmatrix}}$

將 Q 和 R 相乘。

在這個過程中，你可能會發現你的手指和心算加法非常有用。你可以用你的左食指來跟蹤矩陣 Q 中的行，用你的右食指來跟蹤矩陣 R 中的列。要將矩陣相乘，請將矩陣 Q 中對應行的連續項和矩陣 R 中列的連續項的乘積加起來。

$QR={\begin{bmatrix}{\color {red}q_{11}}&{\color {red}q_{12}}&{\color {red}q_{13}}\\{\color {red}q_{21}}&{\color {red}q_{22}}&{\color {red}q_{23}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {blue}r_{11}}&{\color {blue}r_{12}}&\\{\color {blue}r_{21}}&{\color {blue}r_{22}}\\{\color {blue}r_{31}}&{\color {blue}r_{32}}\\\end{bmatrix}}=$ $QR={\begin{bmatrix}1&7&9\\3&5&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}8&9\\3&5\\4&6\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1)(8)+(7)(3)+(9)(4)&(1)(9)+(7)(5)+(9)(6)\\(3)(8)+(5)(3)+(1)(4)&(3)(9)+(5)(5)+(1)(6)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}65&98\\43&58\\\end{bmatrix}}$