算術課程/多項式方程

多項式方程

一個方程是一個變數的表示式，使得

$f(x)=Ax^{n}+Bx^{(n-1)}+x^{1}+x^{0}=0.$多項式用於求解方程理論。

求解多項式方程

求解多項式方程包括找到所有使 f(x) = 0 的變數 x 的值。

一階方程

一個變數 x 的一階多項式方程的一般形式為

Ax + B = 0

重寫上面的方程

$x+{\frac {B}{A}}=0$

$x=-{\frac {B}{A}}$

二階方程

一個變數 x 的二階多項式方程的一般形式為

1. $Ax^{2}+Bx+C=0$
2. $Ax^{2}+C=0$
3. $Ax^{2}-C=0$

求解方程

方法 1

$Ax^{2}+Bx+C=0$

$x^{2}+{\frac {B}{A}}x+{\frac {C}{A}}=0$

$x=-\alpha \pm \lambda$

其中

$\alpha =-{\frac {B}{2A}}$

$\beta =-{\frac {C}{A}}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

根據 $\lambda$ 的值，該方程將具有以下根

一個實根

$-\alpha =-{\frac {B}{2A}}$

兩個實根

$-\alpha \pm \lambda$

$-{\frac {B}{2A}}\pm {\sqrt {\frac {B^{2}-4AC}{2A}}}$

兩個復根

$-\alpha \pm j\lambda$

$-{\frac {B}{2A}}\pm j{\sqrt {\frac {B^{2}-4AC}{2A}}}$

方法 2

$ax^{2}+b=0$

$x^{2}+{\frac {b}{a}}=0$

$x=\pm {\sqrt {{b}{a}}}$

$x=\pm j{\sqrt {\frac {b}{a}}}$

方法 3

$ax^{2}-b=0$

$x^{2}-{\frac {b}{a}}=0$

$x=\pm {\sqrt {\frac {b}{a}}}$

$x=\pm {\sqrt {\frac {b}{a}}}$