算術課程/數字型別/複數

複數

複數及其共軛複數是一個具有以下一般形式的數

Z = a + i b

Z = a - i b

數學運算

兩個複數的加法

$(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d).\$

$(a+ib)+(a-ib)=2a.\$

兩個複數的減法

$(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d).\$

$(a+ib)-(a-id)=2ib.\$

兩個複數的乘法

$(a+ib)\times (c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$

$(a+ib)\times (a-ib)=a^{2}+b^{2}.\$

兩個複數的除法

${\frac {(a+ib)}{(c+id)}}={\frac {(ac-bd)+i(ad+bc)}{(c+id)^{2}}}$

${\frac {(a+jb)}{(a-jb)}}={\frac {a^{2}-b^{2}}{(a-jb)^{2}}}$

平方根

a + bi（其中 b ≠ 0）的平方根是$\pm (\gamma +\delta i)$，其中

$\gamma ={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}$

以及

$\delta ={\frac {|b|}{b}}{\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}.$

這可以透過對$\pm (\gamma +\delta i)$ 平方得到 a + bi 來看出。 這裡${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ 稱為 a + bi 的模，而實部為非負的平方根稱為主平方根。

共軛

$z$ 及其共軛 ${\bar {z}}$ 在複平面上的幾何表示

複數 z = x + yi 的複共軛 定義為 x − yi。它表示為 ${\bar {z}}$ 或 $z^{*}\,$。在幾何上，${\bar {z}}$ 是 z 關於實軸的“反射”。特別地，兩次共軛給出原始複數：${\bar {\bar {z}}}=z$.

可以使用共軛提取複數的實部和虛部

$\operatorname {Re} \,(z)={\tfrac {1}{2}}(z+{\bar {z}}),\,$

$\operatorname {Im} \,(z)={\tfrac {1}{2i}}(z-{\bar {z}}).\,$

此外，複數為實數當且僅當它等於其共軛。

共軛在標準算術運算中是可分配的

${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}},\,$

${\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}},\,$

${\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}\,$

非零複數 z = x + yi 的倒數由下式給出：

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}.$

該公式可用於計算以直角座標表示的複數的乘法逆。反演幾何是幾何學的一個分支，研究的是比關於直線反射更一般的反射，它也可以用複數來表示。

極座標形式

圖 2：幅角 φ 和 模 r 確定了阿根圖上的一個點；$r(\cos \phi +i\sin \phi )$ 或 $re^{i\phi }$ 是該點的 *極座標* 表示式。

絕對值和幅角

除了使用 x 和 y 座標之外，另一種對複平面上的點進行編碼的方法是使用點 P 到原點 O（座標為 (0, 0)）的距離，以及透過 P 和 O 的直線的角度。這個想法導致了複數的極座標形式。

複數 z = x+yi 的 *絕對值*（或 *模* 或 *幅值*）是

$\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,$

如果 z 是一個實數（即 y = 0），那麼 r = |x|。一般來說，根據畢達哥拉斯定理，r 是表示複數 z 的點 P 到原點的距離。

z 的 *幅角* 或 *相位* 是它與實軸的角度，記為 $\arg(z)$。與模量一樣，幅角也可以從直角座標形式 $x+iy$ 中找到：

$\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{undefined }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\end{cases}}$

φ 的值可以改變任何 2π 的倍數，仍然給出相同的角度（注意使用的是弧度）。因此，arg 函式有時被認為是多值的。通常，如上所示，在區間 $(-\pi ,\pi ]$ 中選擇主值。區間 $[0,2\pi )$ 中的值透過新增 $2\pi$ 獲得（如果值是負數）。原點的極角是未定義的，但通常使用值 0。

r 和 φ 共同給出另一種表示複數的方法，即極座標形式，因為模數和幅角的組合完全指定了平面上的點的位置。從極座標形式恢復原始的直角座標透過稱為三角形式的公式完成

$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ).\,$

使用尤拉公式，可以寫成

$z=re^{i\varphi }.$

使用 cis 函式，這有時縮寫為

$z=r\ \operatorname {cis} \ \varphi .\,$

在角度表示法中，通常在電子學中用於表示幅度為 r，相位為 φ 的相量，寫成

$z=r\angle \varphi .\,$

極座標形式下的乘法、除法和乘方

2+i（藍色三角形）和 3+i（紅色三角形）的乘法。紅色三角形旋轉以匹配藍色三角形的頂點，並拉伸 √5 倍，即藍色三角形斜邊的長度。

將複數表示為極座標形式的相關性在於，乘法、除法和乘方的公式比使用笛卡爾座標系的公式更簡單。給定兩個複數 z₁ = r₁(cos φ₁ + isin φ₁) 和 z₂ =r₂(cos φ₂ + isin φ₂)，乘法的公式為

$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).$

換句話說，絕對值相乘，輻角相加，得到乘積的極座標形式。例如，乘以i對應於逆時針旋轉四分之一圈，得到i ² = −1。右邊的圖片說明了

$(2+i)(3+i)=5+5i\,$

由於 5+5i 的實部和虛部相等，因此該數的輻角為 45 度，或 π/4（弧度）。另一方面，它也是紅色和藍色三角形在原點處的角度之和，分別為 arctan(1/3) 和 arctan(1/2)。因此，公式

${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}$

成立。由於 arctan 函式可以高度有效地逼近，因此像這樣的公式（稱為 Machin 類公式）用於對 π 進行高精度逼近。

類似地，除法由下式給出

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).$

這也暗示了對具有整數指數的複數進行冪運算的棣莫弗公式

$z^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).$

z 的n 次根由下式給出

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)$

對於任何滿足 0 ≤ k ≤ n − 1 的整數 k。這裡 ${\sqrt[{n}]{r}}$ 是正實數 r 的通常的（正）n 次根。雖然正實數 r 的n 次根被選擇為滿足 cⁿ = x 的正實數 c，但沒有自然的方法來區分複數 z 的一個特定的n 次根。因此，z 的n 次根被認為是一個多值函式（在 z 中），而不是一個普通的函式 f，其中 f(z) 是一個唯一定義的數字。像

${\sqrt[{n}]{z^{n}}}=z$

（對正實數成立）的公式，一般不適用於複數。

棣莫弗公式

在數學中，棣莫弗公式，以亞伯拉罕·棣莫弗命名，指出對於任何複數（尤其是對於任何實數）x 和整數 n，它滿足

$\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,$

該公式很重要，因為它將複數（i 代表虛數單位）和三角學聯絡起來。表示式 cos x + i sin x 有時縮寫為 cis x。

透過展開左側，然後在假設 x 為實數的情況下比較實部和虛部，可以推匯出 cos (nx) 和 sin (nx) 關於 cos x 和 sin x 的有用表示式。此外，可以使用該公式的推廣來找到單位根的顯式表示式，即滿足 zⁿ = 1 的複數 z。

推導

雖然從歷史上看，棣莫弗公式的證明早於尤拉公式，但我們可以很容易地從尤拉公式推匯出棣莫弗公式。

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,$

以及整數冪的指數定律

$\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}.\,$

然後，根據尤拉公式，

$e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx).\,$