天體動力學/基礎火箭學

本節介紹將涵蓋火箭如何飛行並離開大氣層的基本概念和理論，以及介紹火箭方程。

理想火箭方程

火箭是動量交換裝置，它們透過噴射一些流體（通常是高溫氣體或等離子體）來工作，這些流體透過牛頓第三定律推動火箭。火箭實際上無處不在，從簡單的水瓶火箭，到煙花，再到更復雜的火箭，比如土星五號。下面推導的齊奧爾科夫斯基火箭方程是火箭飛行的基本原理，它顯示了火箭在沒有外力作用的情況下所能達到的最大速度變化，$\Delta V$（ΔV）。

$\Delta V=v_{e}\ln {\left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right)}=I_{SP}g_{0}\ln {\left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right)}$

其中，

• $v_{e}$ 是有效噴射速度（從噴嘴噴出），等於 $I_{SP}g_{0}$.
• $I_{SP}$ 是以秒為單位測量的比衝。它衡量的是固體火箭燃料的效率，具體來說是每單位推進劑重量（在地球上）產生的衝量。
• $g_{0}$ 是地球地面附近的標準重力加速度。
• $m_{0}$ 是火箭發射前（未燃燒時）的質量。通常使用初始總質量（溼質量）。
• $m_{f}$ 是火箭發動機停止燃燒後的質量。通常使用最終總質量（幹質量）。

火箭方程指出，噴射速度越快，火箭的最終速度就越大；但是，由於自然對數的存在，火箭的初始質量會呈指數增長。因此，增加火箭質量並不有利，因為它會產生微不足道的回報，而使用級聯（多個火箭疊放在一起）則更有利。此外，重要的是要說明，認為效率更高的火箭（更高的 $I_{SP}$）在發射時更好，可能是一種誤解，因為如果推動火箭上升的推力過小，火箭可能無法升空。這是因為該方程在沒有外力作用的情況下起作用。

想象一下，一個質量為 $m$ 的火箭或太空中的物體，以速度 $v$ 運動。如果我們取出一小塊質量 $dm$，並以相對火箭速度 $v_{e}$（與飛行方向相反，即與速度反平行）將其丟擲。我們可以預料到太空中的物體速度會發生微小的變化，即 $dv$。由於沒有其他力作用於物體，根據動量守恆定律，丟擲小質量之前和之後物體的動量必須相等。令 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 分別表示丟擲小質量之前和之後的線性動量。

$P_{1}=mv$

$P_{2}=(m-dm)(v+dv)+dm(v+dv-v_{e})$

需要注意的是，這兩個動量都是從靜止觀察者（不在任何一個物體上）的角度測量的，因此小質量的動量中增加了 dv。將這兩個方程設為相等，則方程變為

$mv=(m-dm)(v+dv)+dm(v+dv-v_{e})$

$mv=mv-vdm+mdv-dmdv+vdm+dmdv-v_{e}dm$

經過化簡，

$mdv=v_{e}dm$

值得一提的是，這個方程本身可以推匯出兩個有用的方程，一個是描述一維火箭動力學的微分方程（下面第一個方程），另一個是齊奧爾科夫斯基方程（下面第二個方程）。這兩個方程是透過將 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 之間的時差變得更小而得到的。換句話說，取時間趨於零的極限。

$m(t){\frac {dv}{dt}}={\dot {m}}v_{e}$

$\Delta v=v_{f}-v_{0}=v_{e}\ln {\left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right)}$

儘管火箭方程有其侷限性，但它是一個有用的資源，可以用來解釋未來的主題，例如軌道轉移。然而，為了詳細說明效率可能產生誤導的原因，值得注意的是，在推導過程中，我們找到了$F=ma$方程。因此，火箭在 1D 上的瞬時推力如下所示。可以看出，如果比衝很高，而且火箭發動機效率很高，那麼如果質量流量，${\dot {m}}$，很低，推力無法超過重力和空氣阻力。

$T=v_{e}{\dot {m}}=g_{0}I_{SP}{\dot {m}}$

火箭分級

三級火箭的示例

火箭的推進系統只能由一個燃料箱和一個發動機組成，但是，這樣的系統無法用於進入地球軌道，因為我們需要一個非常長的燃料箱，這在實踐中不可行，因為它會降低發動機的推重比（除了像 Skylon 這樣的假設單級入軌太空梭或 SSTO 設計）。這個問題的解決辦法是新增多個級，每個級都包含一個推進劑箱和一個發動機，以及一個分離系統（有時還包括其他東西，例如電子制導系統或降落傘）。當一級推進劑耗盡時，該部分就會被移除，從而減少機載乾重。分級可以用於以下目的：

• 減少機載乾重
• 使用更適合這種情況的發動機（某些發動機針對特定高度進行了最佳化，因此可以將它們放在不同的級上）

這使得分級成為進入地球軌道及更遠距離的昂貴但有效的方法。也有一些努力正在進行，旨在使級可重複使用，以降低使用這些火箭的成本。