天體力學/基本定律

天體力學

牛頓運動定律

第一定律（慣性定律）

運動中的物體傾向於以相同的速度和方向保持運動，除非受到外力的作用。靜止的物體傾向於保持靜止，除非受到外力的作用。

第二定律（力定律）

物體速度的變化率（加速度）與其所受的力成正比，並且與力的方向相同。

第三定律

對於每一個作用力，總會有一個大小相等、方向相反的反作用力。

第二定律通常用方程$F=ma$表示，其中$a$是物體的加速度，$m$是物體的質量，而$F$是施加的力的大小。但是，第二定律還規定，加速度有一個與之相關的方向，並且該方向與施加力的方向相同。我們必須使用向量重新編寫此方程以考慮力和加速度的方向。我們可以將其改寫為${\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}$，其中粗體表示該量已被向量化。我們不會具體定義這些向量包含的專案，因為正如我們很快將看到的那樣，這在很大程度上取決於問題。

在太空中，物體從未受到單個力的作用：宇宙中所有物體的引力都起著一定的作用。但是，由於引力對物體的作用力隨著距離的平方而減小，因此非常遙遠的物體產生的力可以忽略不計，通常可以忽略不計。但是，考慮一個圍繞地球執行的衛星：該衛星受到來自地球的引力影響，來自月球的引力影響，以及在較小程度上來自太陽的引力影響。我們可以將這些力加在一起，得到第二定律更一般的形式

[牛頓第二定律]

$\sum \mathbf {F} =m\mathbf {a}$

第三定律也產生了一個有趣的結果，並且這個結果將影響許多計算。在太空旅行中，有兩種型別的運動：動力運動和無動力運動。在動力裝置（例如火箭）中，為了使物體“向前推動”，它必須以相等的力量向後推動某物。在火箭的情況下，燃燒的燃料被推向火箭的尾部，以使火箭主體向前移動。根據第三定律，任何動力航天器將具有非恆定質量，這將在我們的計算中引入額外的複雜性。如果我們有兩個物體，1 和 2，它們相互推動，我們可以說物體 1 對物體 2 的作用力的大小相等，但方向相反，與物體 2 對物體 1 的作用力相反。換句話說，我們可以說

[牛頓第三定律]

$\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$

我們將在本書中使用這些定律。

牛頓萬有引力定律

牛頓萬有引力定律是另一個常見的定律，也是天體力學研究中最重要的定律之一。用最簡單的形式來說，萬有引力定律是

[萬有引力定律]

$\mathbf {F} _{g}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}$

我們知道，萬有引力定律是有方向性的，也就是說，萬有引力使兩個物體沿它們之間的直線相互吸引。下圖顯示了兩個物體M₁和M₂透過作用在其重心之間的直線上的萬有引力相互吸引

作用在M₁上的力表示為F₁₂，作用在M₂上的力表示為F₂₁。我們從牛頓運動第三定律知道，這兩個力的大小必須相等，但方向相反

$\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$

由於力的方向很重要，我們也對萬有引力定律方程進行了向量化

$\mathbf {F} _{g}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}$

其中，**r** 是兩個天體之間的距離向量，而 *r* 是兩者之間的標量距離。**F**_g 是重力作用的力向量。

萬有引力常數

大寫的 *G* 被稱為 **萬有引力常數**。它等於

$G=6.67428\times 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{-1}\ {\mbox{s}}^{-2}\,$

意義

儘管牛頓萬有引力定律與相對論相比並不精確，但它經常被使用，因為它在大多數情況下提供了很好的結果。這個定律的一個簡單結果是逃逸速度的概念，這將很快推匯出。逃逸速度的概念表明，它不是一種力，也不是一種需要達到的高度來逃脫行星或軌道天體的引力影響。

有幾種方法可以推匯出逃逸速度，但最一般的方法是使用牛頓萬有引力定律和基本微積分。

假設一個質量為 $m_{2}$ 的物體，沿徑向遠離質量為 $m_{1}$ 的行星運動。因此，方程可以用一維表示。

$F_{g}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}$

如果該物體離開主天體一小段距離 $dr$，並且回想一下功能是力乘以沿直線移動的距離，那麼移動該物體所需的少量功是

$dW=Fdr=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}dr$

重力從這裡延伸到宇宙中的任何其他地方，該物體不受重力作用的唯一可能方法是它距離無限遠。假設該物體從距離行星 $a$ 的地方移動。那麼，將它從 $a$ 移動到無窮遠所需的功是

$W=-\int _{a}^{\infty }{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}dr=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{a}}$

如上所述，這是移動該物體所需的功。因此，為了使該物體移動這個距離，它需要至少具有相同的動能。

${\frac {1}{2}}m_{2}v_{0}^{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{a}}$

$v_{0}={\sqrt {\frac {2Gm_{1}}{a}}}$

因此，逃逸速度等於 $v_{0}$.

開普勒行星運動定律

第一定律

行星的軌道是一個橢圓，太陽位於該橢圓的一個焦點上。

第二定律

連線行星和太陽的直線在相等的時間內掃過相等的面積。

第三定律

行星週期的平方與其到太陽平均距離的立方成正比。

正如我們從代數中所知，橢圓是由兩個焦點構成的圓錐曲線，其中橢圓到每個焦點的距離之和相等。太陽位於一個焦點上，或者任何被繞行的物體，而另一個焦點是一個虛構的點，位於空間中。重要的是要提到開普勒定律也適用於圓形軌道，它是橢圓軌道的特例。

這張圖是一個橢圓軌道，太陽位於一個焦點上。我們將包含中心物體的焦點稱為主焦點，而另一個沒有物理意義的焦點稱為副焦點。

這張圖演示了開普勒第二定律。

正如我們所看到的，為了使連線行星（虛線）的直線掃過相等的面積三角形，當行星離太陽越遠，它必須移動得越慢。當行星離太陽越近，它必須移動得越快，以便在相等的時間內掃過相等的面積。這與牛頓運動定律和萬有引力定律完全吻合，在那裡，在主焦點附近，力更大，因此加速度更大，因此速度也更大。

舉個類似的例子，考慮一個彈跳球。球在弧形的最高點運動最慢，並隨著它向下運動朝向地球，速度不斷增加。當地球遠離太陽時，萬有引力使行星減速。當行星朝太陽移動時，萬有引力使行星加速。

開普勒第三定律可以透過比較太陽系天體的平均距離和它們的軌道週期與地球的軌道週期來輕鬆地說明。用天文單位和年表示，軌道週期等於半長軸的三次方根。

天體	半長軸（AU）	軌道週期（年）
水星	0.39	0.24
金星	0.72	0.62
地球	1.00	1.00
火星	1.67	1.88
穀神星	2.77	4.60
木星	5.20	11.86
土星	9.58	29.46
天王星	19.23	84.32
海王星	30.10	164.79
冥王星	39.26	247.68
鬩神星	68.01	560.9
塞德娜	518.57	≈11400