天體動力學/運動常數

天體動力學

比能和角動量

角動量、動能和重力勢能都與軌道物體的質量成正比。然而，在軌道力學中，討論比角動量和比能更方便，它們分別是單位質量的角動量和能量。因此，在相同軌道上的兩個物體可能具有非常不同的質量，但它們將具有相同的比角動量和相同的比能（當然，假設兩個物體的質量與中心物體的質量相比可忽略不計）。在本篇文章中，除非另有說明，否則“角動量”和“能量”將指它們的比值。

角動量守恆

我們已經有兩個用於分析軌道的基本向量：位置向量 r 和速度向量 v。我們從基本的牛頓力學知道，速度向量是位置向量的導數

${\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v}$

以及

${\dot {r}}=v$

從我們之前推導的運動方程開始，我們可以推匯出物體的角動量。

${\ddot {\mathbf {r} }}+{\frac {\mu }{r^{3}}}\mathbf {r} =0$

我們用位置向量 r 對等式兩邊進行叉積運算

$\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\frac {\mu }{r^{3}}}\mathbf {r} =0$

第二項抵消，因為我們知道 r × r = 0。

$\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=0$

作為旁註，考慮以下導數，它是使用微積分中的乘積法則得到的

${\frac {d}{dt}}(\mathbf {x} \times {\dot {\mathbf {x} }})={\dot {\mathbf {x} }}\times {\dot {\mathbf {x} }}+\mathbf {x} \times {\ddot {\mathbf {x} }}$

第一項抵消，因為叉積中的兩個向量相同。我們剩下的是結果

${\frac {d}{dt}}(\mathbf {x} \times {\dot {\mathbf {x} }})=\mathbf {x} \times {\ddot {\mathbf {x} }}$

我們可以將上述結果代入方程，得到

${\frac {d(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})}{dt}}=0$

由於導數為零，我們知道結果必須是一個常數。我們可以對兩邊積分，引入積分常數向量 h

[角動量向量]

$\mathbf {r} \times \mathbf {v} =\mathbf {h}$

由於我們知道 h 是一個常數，這個方程表明角動量在軌道系統中是守恆的。這個常數被稱為軌道的 角動量，在以後的計算中非常重要。

h 的含義

h 是一個垂直於 r 和 v 的向量。r 和 v 都位於同一個平面內，稱為 軌道平面。整個軌道都位於這個平面內。但是，向量 h 垂直於軌道平面，這意味著它垂直於軌道平面。標量值 h 是該向量的模，定義為

$h=|\mathbf {h} |$

h 的其他定義

模值 h 可以從模值 r 和 v 中推匯出，如下所示

$h=rv\cos \phi$

$h=rv\sin \gamma$

其中 γ 是向量 r 和 v 之間的夾角，φ 是 γ 的餘角。φ 被稱為衛星的 飛行角。γ 被稱為 天頂角。

能量守恆

類似於角動量，我們可以推匯出能量守恆方程。我們不是在兩邊對位置向量 r 進行叉乘，而是可以對速度向量 v 進行點乘

${\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}+{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\frac {\mu }{r^{3}}}\mathbf {r} =0$

我們知道 r 的二階導數與 v 的一階導數相同

$\mathbf {v} \cdot {\dot {\mathbf {v} }}+{\frac {\mu }{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}=0$

一般而言，點積的結果是

$\mathbf {x} \cdot {\dot {\mathbf {x} }}=x{\dot {x}}$

我們可以將這個結果應用到我們的方程中

$v{\dot {v}}+{\frac {\mu }{r^{3}}}r{\dot {r}}=0$

根據鏈式法則，我們知道

${\frac {d}{dt}}{\frac {v^{2}}{2}}=v{\dot {v}}$

以及

${\frac {d}{dt}}{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}$

將這些結果代入我們的方程，我們得到

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}\right)=0$

為了推廣該方程，必須新增一個額外的常數項c

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}+c\right)=0$

再次，導數等於零，所以我們知道函式具有一個常數值。我們對兩邊進行積分，並將我們的新的積分常數稱為系統的能量

${\mathcal {E}}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}+c$

動能

從經典力學來看，第一項可以被識別為運動物體的比動能

[動能]

${\mathcal {E}}_{k}={\frac {v^{2}}{2}}$

它表示將物體從靜止狀態加速到其當前速度所需的功量。

勢能

第二項和第三項合起來表示運動物體的比勢能

[勢能]

${\mathcal {E}}_{p}=-{\frac {\mu }{r}}+c$

它表示將物體從給定參考距離移動到其當前與中心體距離所需的功量。參考距離由方程中的c項定義。例如，為了定義地球表面具有零勢能，c將被設定為等於μ/r₀，其中r₀是地球的半徑。在這種情況下，地球半徑以下的物體將具有負勢能，而地球半徑以上的物體將具有正勢能。然而，最方便的是將參考距離設定為無窮大，這將使勢能的表示式簡化為

${\mathcal {E}}_{p}=-{\frac {\mu }{r}}$

這將導致全域性負的勢能值。這可能看起來很違反直覺，但計算將大大簡化。

總機械能

因此，系統的總比機械能表示式變為

[總機械能]

${\mathcal {E}}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}$

這個量對於確定軌道的形狀很重要，將在下一章中詳細討論。

從牛頓定律推導開普勒定律

現在已經定義了運動常數，就可以從牛頓運動定律和萬有引力定律推匯出開普勒定律。

第一定律

如前所述，受限二體問題中物體的運動方程為

${\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\mathbf {r}$

將兩邊與角動量向量進行叉積運算

${\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =-{\frac {\mu }{r^{3}}}\mathbf {r} \times \mathbf {h}$

由於向量 h 不會隨時間變化，左側等效於

${\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} ={\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} +{\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {h} }}={\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} )$

同時，左側變為

$-{\frac {\mu }{r^{3}}}\mathbf {r} \times (\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\mathbf {r} ({\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} )-{\dot {\mathbf {r} }}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} )\right)$

$={\frac {\mu }{r^{3}}}\left({\dot {\mathbf {r} }}r^{2}-\mathbf {r} r{\dot {r}}\right)$

$=\mu \left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{r}}-{\frac {\mathbf {r} {\dot {r}}}{r^{2}}}\right)$

$=\mu {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {B} \right)$

其中 B 是一個積分常數。因此，方程變為

${\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {B}$

將兩邊與 r 進行點積運算

$\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} )=\mu r+\mathbf {B} \cdot \mathbf {r}$

回顧三重向量積的性質

$\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} )=\mathbf {h} \cdot (\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})=\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} =h^{2}$

該方程變為

$h^{2}=\mu r+Br\cos \nu$

重新排列該方程

[軌跡方程]

$r(\nu )={\frac {h^{2}/\mu }{1+B/\mu \cos \nu }}$

該方程與以一個焦點為中心的圓錐曲線的極座標方程相同

$r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos \theta }}$

其中 *e* 是圓錐曲線的偏心率，*p* 是圓錐曲線的半正弦長。對於橢圓

$p=a(1-e^{2})$

其中 *a* 是半長軸。

這個推導表明，除了橢圓軌道之外，天體還可以具有拋物線或雙曲線軌跡（這兩種軌跡將在稍後討論）。因此，一般來說，開普勒第一定律變為

天體在引力場中的軌跡是一個圓錐曲線，中心天體位於一個焦點

第二定律

角動量向量

$||\mathbf {h} ||=||\mathbf {r} \times \mathbf {v} ||=rv\cos \phi$

其中 φ 是飛行路徑角，*v*cosφ 是速度向量垂直於位置向量的分量。根據極座標微積分，這可以重新表示為

$v\cos \phi =r{\dot {\nu }}$

因此，角動量方程變為

$h=r^{2}{\frac {d\nu }{dt}}$

回顧微積分，極座標形式的面積微元為

$dA={\frac {r^{2}d\nu }{2}}$

組合這些方程得到

[開普勒第二定律]

${\frac {dA}{dt}}={\frac {h}{2}}$

已知角動量在限制性二體問題中是恆定的，所以這是開普勒第二定律的數學表達。該方程對拋物線和雙曲線軌跡以及橢圓軌跡都成立。

第三定律

由於第三定律只涉及閉合軌道，因此它僅適用於橢圓軌道。前一部分的結果可以改寫為

$dA={\frac {h}{2}}dt$

對兩邊進行一次完整軌道的積分，得到

$\pi ab={\frac {h}{2}}T$

其中 πab 是整個橢圓所包圍的面積，T 是軌道週期。半短軸可以用半正弦直線和半長軸來表示

$b={\sqrt {a^{2}(1-e^{2})}}={\sqrt {ap}}$

回顧角動量與半正弦直線的關係

$p={\frac {h^{2}}{\mu }}$

將這些方程組合起來，並簡化後得到軌道週期的表示式

[橢圓軌道的週期]

$T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}$

可以簡化為開普勒第三定律

[開普勒第三定律]

$T^{2}\propto a^{3}$