天體力學/N體問題

天體力學

N體問題

牛頓萬有引力定律只考慮了兩個天體，m₁ 和 m₂。然而，在太空中，我們經常需要考慮多個天體。我們可以將這個問題推廣到任意數量的天體，即N 個天體，並建立一個適用於任意數量天體的方程。

所有這些天體一起被稱為天體系統。

在研究N體問題時，重要的是要關注一個特定的天體，其運動是主要研究物件。我們假設這個天體，稱為第i個天體，可以自由移動，而其他N - 1個天體是靜止的。任意天體n 和第i個天體之間的引力由萬有引力定律給出

$\mathbf {F} _{gn}=-{\frac {Gm_{i}m_{n}}{r_{ni}^{3}}}\mathbf {r} _{ni}$

其中r_ni 是天體n 和天體i 之間的距離向量。我們可以用這兩個天體的定位向量表示這個向量

$\mathbf {r} _{ni}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{n}$

第i個天體受到的總引力為

$\mathbf {F} _{g}=-\sum _{k=1}^{N-1}{\frac {Gm_{i}m_{k}}{r_{ki}^{3}}}\mathbf {r} _{ki}$

我們也知道第i個天體對自身產生的引力（自身引力）必須為零。我們還可以定義一個新的力向量F_O，它包含除引力之外的所有可能作用於天體上的力元素。這些元素包括阻力、太陽輻射壓力、磁場壓力和推力（在人造衛星或火箭的情況下）。我們可以將作用在物體上的總力F_T 定義為引力和其他力的總和

$\mathbf {F} _{T}=\mathbf {F} _{gn}+\mathbf {F} _{O}$

回憶牛頓第二定律，N體系統中粒子運動的完整方程為

$m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}=-\sum _{k=1}^{N-1}{\frac {Gm_{i}m_{k}}{r_{ki}^{3}}}\mathbf {r} _{ki}+\mathbf {F} _{O}$

簡化二體問題

運動方程的一般形式不可能求解。在天體力學中，通常只需要考慮兩個天體，此時運動方程求解起來容易得多。對於某些三體系統，也存在解，將在後面的章節中討論。

要解決二體系統中物體的運動問題，可以做出兩個簡化的假設：

1. 這些天體是球形對稱的，可以視為點質量。

2. 除了它們相互之間的引力之外，天體之間不存在外部或內部力。

大型天體的形狀接近球形。由於對稱性，吸引質量點朝向均勻球體的淨引力必須指向球心。殼層定理（也由艾薩克·牛頓證明）指出，即使球體密度隨深度變化（就像大多數天體一樣），這個力的幅度也與所有質量集中在球體中心時相同。由此立即得出，兩個均勻球體之間的吸引力與這兩個球體所有質量集中在其中心時的吸引力相同。

較小的物體，如小行星或航天器，通常具有偏離球形的形狀。但是，這些不規則性產生的引力通常比中心天體的引力小得多。不規則形狀與完美球形之間的差異也隨著距離的增加而減小，並且大多數軌道距離與小型軌道天體直徑相比非常大。因此，在某些應用中，可以忽略形狀不規則性，而不會對精度產生重大影響。

行星以不同的速度自轉，因此由於離心力的作用，它們可能略微呈扁球形。對於這種扁球形，引力吸引力會略微偏離均勻球體的引力吸引力。這種現象對於人工地球衛星來說非常明顯，特別是那些處於低軌道的衛星。在更遠的距離上，這種扁率的影響變得可以忽略不計。太陽系中行星的運動如果視為點質量，則可以以足夠的精度計算。

兩個點質量物體，質量分別為m₁ 和 m₂，相對於某個慣性參考系的定位向量分別為r₁ 和 r₂，它們受到的引力為

$m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$

$m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$

其中 $\mathbf {r}$ 是質量 1 相對於質量 2 的相對位置向量，表示為

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$

(請注意，這兩個圖在 M1、M2、R1 和 R2 的大小寫方面有誤導性，但更重要的是，圖二中 r 向量的方向指向相反的方向)

分別除以它們的質量，並將第二個方程從第一個方程中減去，得到第一個物體相對於第二個物體的加速度的運動方程

${\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$

其中 μ 是引力引數，等於

$\mu =G(m_{1}+m_{2})$

在許多應用中，可以做出第三個簡化假設

3. 與中心天體相比，軌道天體的質量可以忽略不計。在數學上，m₁ >> m₂，所以 μ = G (m₁ + m₂) ≈ Gm₁。

這個假設對於解決簡化的二體問題並不必要，但它簡化了計算，特別是在地球軌道衛星和行星繞太陽執行的情況下。即使是木星的質量也比太陽小 1047 倍，這將導致 μ 值的誤差為 0.096%。值得注意的例外包括地球-月球系統（質量比為 81.3）、冥王星-卡戎系統（質量比為 8.9）和雙星系統。

在這些假設下，二體情況的微分方程可以完全用數學方法求解，得到的軌道遵循開普勒行星運動定律。所有行星的軌道都是繞太陽執行的開普勒軌道，精度很高。微小的偏差是由於行星之間引力相互作用較弱，以及在水星的情況下，由於廣義相對論。人造衛星繞地球的軌道，在相當大的程度上，是開普勒軌道，但由於太陽、月球的引力以及地球的扁率，存在著微小的擾動。在需要對所有引力及非引力作用力（如太陽輻射壓和阻力）進行數值積分的高精度應用中，開普勒軌道概念至關重要，並且被廣泛使用。

引力引數

一個天體的標準引力引數 μ 是引力常數和兩個天體總質量的乘積。它可以表示為 μ = G(m₁ + m₂)。當一個天體遠大於另一個天體時，我們可以說 μ = G (M + m) ≈ GM。它的 SI 單位是 m³⋅s^-2，雖然 km³⋅s^-2 也常用。對於太陽系中的幾個天體，μ 的精度比 G 或 M 更高。