天體力學/軌道基礎

天體力學

軌跡方程

軌跡方程，它給出軌道的形狀，表示為

[軌跡方程]

r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {B}{\mu }}\cos \nu }}

其中B是積分常數，ν（希臘字母nu）是半長軸和位置向量r之間的角度。

圓錐曲線

讓我們稍微偏離軌道的理論，並討論圓錐曲線。人們通常熟悉圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線），這些曲線是從研究初等代數中得來的。但是，大多數人不熟悉圓錐曲線的形式是在標準笛卡爾座標系中。如果我們使用極座標系，我們可以看到所有的圓錐曲線都有類似的方程格式。我們可以概括地說，所有圓錐曲線都有以下極座標方程

[圓錐曲線方程]

r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}

這裡，r是半徑，θ是角度。當θ圍繞圓圈移動時，r的值會發生變化，結果產生的點會建立所需的圓錐曲線。變數p被稱為引數，變數e被稱為偏心率。我們將討論這些變數，並描述它們如何與下面的軌跡方程相關。

引數

比較軌跡方程和圓錐曲線方程，我們可以看到

p={\frac {h^{2}}{\mu }}

變數p是圓錐曲線大小的度量。較大的p表示軌道更大。我們可以看到軌道的尺寸與衛星的角動量成正比。由於這種關係，我們可以大致瞭解到，衛星的速度越快，產生的軌道就越大。

偏心率

e的值，即偏心率，決定了軌道將採用的形狀。此表顯示了e的各種值，以及由此產生的圓錐曲線的形狀

e	形狀
$e=0$	圓形
$e<1$	橢圓形
$e=1$	拋物線形
$e>1$	雙曲線形

檢視我們的圓錐曲線方程和軌跡方程，我們可以看到

e={\frac {B}{\mu }}

我們知道B只是一個積分常數，它不對應任何自然量。我們可以直接計算e，而無需先計算B。我們可以透過以下公式將e與衛星的能量和角動量聯絡起來

e={\sqrt {1+{\frac {2{\mathcal {E}}h^{2}}{\mu ^{2}}}}}

我們也可以使用半長軸的長度a將e和p聯絡起來

p=a(1-e^{2})

偏心率向量

我們還可以定義一個偏心向量 e，表示為

[偏心向量]

\mathbf {e} ={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}-{\frac {\mathbf {r} }{r}}

該向量具有以下性質

e=|\mathbf {e} |

並且 e 指向近心點（下面將介紹）。

軌道

我們可以看到，軌道方程的形式是圓錐曲線，由於這種形式，實際上可以有各種圓錐曲線形狀的軌道。下面我們將討論其中的一些。

橢圓軌道

橢圓軌道是偏心率 e < 1 的軌道。橢圓軌道是最常見的軌道之一，幾乎所有繞太陽執行的天體都具有橢圓軌道。

我們從 p 的方程知道，衛星的速度會影響軌道的尺寸。我們還從 p 和 e 之間的關係方程知道，速度可以影響軌道的形狀。因此，將衛星送入特定的軌道，需要賦予衛星與該軌道對應的正確速度。橢圓軌道是由低於逃逸速度的速度產生的軌道。逃逸速度，我們將在下面討論，是指衛星擺脫主焦點的引力並形成拋物線或橢圓軌道的速度。

有一個特定的速度被稱為圓周速度，在該速度下，橢圓軌道會變成完美的圓形。除圓周速度之外，所有其他速度，只要低於逃逸速度，都會產生橢圓軌道。

可以透過將適當的值代入軌道方程來建立所需的圓錐曲線，然後求解動能，來計算這些速度的值。這裡將省略推導過程。

示例：地球的軌道

地球的軌道是橢圓的，儘管兩個焦點距離相對較近，使得地球的軌道幾乎是圓形的。因為太空是真空，沒有明顯的阻力或摩擦，地球的速度是恆定的，因此地球的軌道也是恆定的。從數學上來說，地球永遠不會螺旋狀地落入太陽。