天體力學/軌道確定

天體力學

根據基本的幾何學原理，任何三個點都可以用橢圓擬合。這意味著，如果我們至少有三次對衛星位置的觀測，我們可以確定整個軌道。然而，這個過程並不容易。

雷達

雷達是地球觀測者可以使用的一項強大工具。雷達裝置可以確定衛星的位置和速度，位置採用地心-地平座標系。一旦完成雷達觀測，就可以將座標轉換為地心-赤道座標系，如下所示

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{e}+\mathbf {p}$

其中 r_e 是從地球中心到雷達裝置的位置向量，p 是從雷達裝置到衛星的位置向量。

從位置和速度向量確定

雷達裝置可以測量衛星在單個觀測中的位置和速度。然而，此觀測通常使用地心-地平座標系的極座標系（方位角和仰角）進行。衛星的位置以視線上向量 ρ 表示，速度向量是其導數 ρ'。我們可以透過以下公式找到從地球中心（轉換為地心-地平座標系）的距離

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{e}+\mathbf {\rho }$

我們可以透過以下公式找到速度向量 v

$\mathbf {v} =\mathbf {\rho } '+\mathbf {\omega } _{e}\times \mathbf {r}$

其中 ω_e 是地球的角速度向量。

一旦我們在地心-赤道座標系中獲得了 v 和 r 向量，就可以找到所有經典軌道要素。

從 3 個位置向量確定

如果我們有三個觀測值，每個觀測值代表一個位置向量，我們可以確定衛星的軌道。我們假設所有三個位置向量都是共面的，因為如果不是，它就不是一個合適的軌道，這些方程將無法產生正確的結果。

給定三個位置向量 r₁、r₂ 和 r₃，我們可以應用 吉布斯方法來確定軌道。

吉布斯方法

對於吉布斯方法，我們首先構建三個新的向量 N、D 和 S（不要與地心-地平座標系中的 S 單位向量混淆）。我們按如下方式構建這三個新的向量

$\mathbf {N} =r_{3}\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}+r_{1}\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {r} _{3}+r_{2}\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {r} _{1}$

$\mathbf {D} =\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {r} _{1}$

$\mathbf {S} =(r_{2}-r_{3})\mathbf {r} _{1}+(r_{3}-r_{1})\mathbf {r} _{2}+(r_{1}-r_{2})\mathbf {r} _{3}$

現在，我們可以從這些向量中找到我們的 *p* 和 *e* 量

$p=\mathbf {D} =\mathbf {N}$

N 和 D 始終具有相同的方向，因此

$\mathbf {N} \cdot \mathbf {D} =ND$

$p={\frac {N}{D}}$

$e={\frac {S}{D}}$

現在，我們可以從我們已經擁有的三個向量中確定來自近心點座標系的單位向量 P、Q 和 W

$\mathbf {Q} ={\frac {\mathbf {S} }{S}}$

$\mathbf {W} ={\frac {\mathbf {N} }{N}}$

$\mathbf {P} =\mathbf {Q} \times \mathbf {W}$

現在，我們有了 *p* 和 *e* 值，並且我們也擁有定義軌道的必要近心點單位向量。

確定速度向量

如果我們有三個位置向量，我們可以確定每個位置對應的三個速度向量。如果我們有 D、N 和 S 向量，我們可以定義一個新的向量 B，使得

$\mathbf {B} =\mathbf {D} \times \mathbf {r} _{i}$

其中 *i* 下標對應三個位置向量之一。我們還可以形成一個標量值 *L*，以簡化計算

$L={\sqrt {\frac {\mu }{DN}}}$

現在我們有了 4 個向量和標量 *L*，我們可以找到位置 *i* 處的速度

$\mathbf {v} _{i}={\frac {L}{r_{i}}}\mathbf {B} +L\mathbf {S}$

從 3 次觀測中確定

雷達觀測並不總是可用，但光學觀測通常可用。光學測量通常使用赤經和赤緯座標系進行，因此我們將有 6 個值：α₁、δ₁、α₂、δ₂、α₃、δ₃。我們可以定義三個單位向量 L_i 作為

$\mathbf {L} _{i}={\begin{bmatrix}\cos(\delta _{i})\cos(\alpha _{i})\\\cos(\delta _{i})\sin(\alpha _{i})\\\sin(\delta _{i})\end{bmatrix}}$

利用 **L** 向量，我們可以找到地心赤道位置向量

$\mathbf {r} _{i}=\rho _{i}\mathbf {L} _{i}+\mathbf {r} _{e}$

將此方程與其自身點積，得到第二個方程

$r^{2}=\rho ^{2}+r_{e}^{2}+2\rho \mathbf {L} \cdot \mathbf {r} _{e}$

我們可以求解這兩個方程以找到兩個未知量 ρ 和 r。利用 r，我們可以找到沿著向量 **L** 方向的位置向量 **r**。

尋找速度向量

我們可以使用拉格朗日插值公式來定義 **L** 向量的導數

$\mathbf {L} '={\frac {2t-t_{2}-t_{3}}{(t_{1}-t_{2})(t_{1}-t_{3})}}\mathbf {L} _{1}+{\frac {2t-t_{1}-t_{3}}{(t_{2}-t_{1})(t_{2}-t_{3})}}\mathbf {L} _{2}+{\frac {2t-t_{1}-t_{3}}{(t_{3}-t_{1})(t_{3}-t_{2})}}\mathbf {L} _{3}$

$\mathbf {L} ''={\frac {2}{(t_{1}-t_{2})(t_{1}-t_{3})}}\mathbf {L} _{1}+{\frac {2}{(t_{2}-t_{1})(t_{2}-t_{3})}}\mathbf {L} _{2}+{\frac {2}{(t_{3}-t_{1})(t_{3}-t_{2})}}\mathbf {L} _{3}$

我們可以使用這些值來找到

$\mathbf {v} =\rho '\mathbf {L} +\rho \mathbf {L} '+\mathbf {r} _{e}$

微分軌道修正

我們已經看到，利用少量觀測資料就可以確定一顆衛星的完整軌道。然而，我們進行的初始測量可能會存在誤差。由於我們依賴的觀測資料很少，我們測量中的任何誤差都會被放大，變得更加明顯。但是，如果我們增加觀測次數，就可以利用新的值來改進我們對軌道的原始“估計”。為此，我們使用一種叫做微分軌道修正的方法。