天體動力學/飛行時間

天體動力學

偏心異常

偏心異常，E，是在軌道幾何中心測量的一個角度，該角度位於近地點和衛星位置在半長軸a的輔助圓上的投影之間。

因為繞軌道執行的物體的的位置與其真異常沒有直接關係，所以必須引入其他角度引數來確定飛行時間。偏心異常定義為

$\tan {\frac {E}{2}}={\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}\tan {\frac {\nu }{2}}$

偏心異常下的軌道方程為

$r=a(1-e\cos E)$

平均異常是繞軌道執行的物體在特定時間內在一個半長軸與其軌道半長軸相同的圓形軌道中執行的角度。回憶一下平均運動的公式

$M=nt=t{\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}$

偏心異常和平均異常之間的關係用開普勒方程表示

$M=E-e\sin E$

飛行時間

從開普勒方程中，從近地點開始的時間為

$t={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}(E-e\sin E)$

更一般地

$t-t_{0}={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}(E-E_{0}-e\sin(E-E_{0}))$

非橢圓軌道

雙曲線軌道

雙曲線軌道的開普勒方程為

$M=e\sinh H-H$

其中H是雙曲線異常，類似於偏心異常

$\tanh {\frac {H}{2}}={\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}}\tan {\frac {\nu }{2}}$

請注意，這些方程使用了雙曲正弦和正切函式。

拋物線軌道

拋物線軌道的從近地點開始的時間可以透過巴克方程表示

$t={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {D^{3}}{3}}\right)$

其中拋物線異常，D為

$D=\tan {\frac {\nu }{2}}$