澳大利亞課程數學/數學方法/函式與圖形

澳大利亞課程內容

直線與線性關係:

• 確定兩點中點的座標
• 考察正比例和線性相關的變數的例子
• 識別$y=mx+c$ 圖形的特徵，包括其線性性質、截距和斜率或梯度
• 在給定足夠資訊的情況下，找到直線的方程；平行線和垂直線
• 解線性方程。

二次關係回顧:

• 考察二次相關的變數的例子
• 識別$y=x^{2}$、$y=a(x-b)^{2}+c$ 和 $y=a(x-b)(x-c)$ 圖形的特徵，包括其拋物線性質、轉折點、對稱軸和截距
• 使用二次公式和配方求解二次方程
• 在給定足夠資訊的情況下，找到二次方程
• 找到二次函式的轉折點和零點，並理解判別式的作用
• 識別一般二次函式$y=ax^{2}+bx+c$ 圖形的特徵。

反比例:

• 考察反比例的例子
• 識別$y={\frac {1}{x}}$ 和 $y={\frac {a}{x-b}}$ 圖形的特徵，包括其雙曲線形狀和漸近線。

冪與多項式:

• 識別$y=x^{n}$（對於 $n\in \mathbb {N}$、$n=-1$ 和 $n={\frac {1}{2}}$） 圖形的特徵，包括形狀和當 $x\to \infty$ 和 $x\to -\infty$ 時的行為
• 識別多項式的係數和次數
• 從因式展開二次和三次多項式
• 識別$y=x^{3}$，$y=a(x-b)^{3}+c$和$y=k(x-a)(x-b)(x-c)$影像的特徵，包括形狀、截距和當$x\to \infty$和$x\to -\infty$時的行為。
• 在容易得到線性因子的情況下，分解三次多項式。
• 使用技術和代數方法解決三次方程，在容易得到線性因子的情況下。

關係影像:

• 識別$x^{2}+y^{2}=r^{2}$和$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$影像的特徵，包括圓形形狀、圓心和半徑。
• 識別$y^{2}=x$影像的特徵，包括拋物線形狀及其對稱軸。

函式:

• 理解函式的概念，作為集合之間的對映，以及作為根據另一個變數定義一個變數量的規則或公式。
• 使用函式符號、定義域和值域、自變數和因變數。
• 理解函式影像的概念。
• 檢查$y=f(x)+a$和$y=f(x+b)$的平移和影像。
• 檢查$y=cf(x)$和$y=f(kx)$的拉伸和影像。
• 認識函式和關係之間的區別，以及垂直線測試。

線性方程

識別以下方程的斜率和截距

$y=x$ $y=x-2$ $y=-4x$

$y=x+5$ $y=2x-4$ $y=-x+6$

$y=6x-2$ $y=4x+8$ $y=-2x+5$

$y=8x-4$ $y=3x-9$ $y=-2x+12$

在座標系中繪製以下線性方程的圖形

$y=x+1$ $y=x+3$ $y=2x$

$y=0.5x$ $y=x-2$ $y=-x-3$

$y=3x-4$ $y=-0.5x+3$ $y=-3x+5$

$y=-3x-2$ $y=5x+1$ $y=1.5x+3$

直線和線性關係

中點

假設我們有兩個點 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$。這兩點之間的中點由以下公式給出

$(x_{m},y_{m})=({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}})$

例子 求點$(2,4)$ 和 $(7,-1)$ 的中點。 求$x$ 座標 $x_{m}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}$ $\therefore x_{m}={\frac {2+7}{2}}$ $\therefore x_{m}=4{\frac {1}{2}}$ 求$y$ 座標 $y_{m}={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}$ $\therefore y_{m}={\frac {4+(-1)}{2}}$ $\therefore y_{m}=1{\frac {1}{2}}$ 中點的座標是：$(3{\frac {1}{2}},1{\frac {1}{2}})$

求以下各組點的中點的座標

$(2,6)$ 和 $(3,3)$ $(0,5)$ 和 $(2,1)$ $(3,2)$ 和 $(1,0)$

$(4,4)$ 和 $(2,-1)$ $(6,-4)$ 和 $(7,-2)$ $(-5,6)$ 和 $(4,-8)$

$(6,1)$ 和 $(-4,-3)$ $(8,-9)$ 和 $(11,-4)$ $(-15,2)$ 和 $(17,-22)$

線性函式

繪製以下線性函式的圖形，顯示所有關鍵特徵

$y=x+3$ $y=x-2$ $y=2x+4$

$y=0.5x+5$ $y=-x+2$ $y=-0.5x+6$

$y=4-2x$ $y=-0.3x-3$ $y=-6x-8$

雙曲線函式

繪製以下雙曲線函式的圖形，包括所有關鍵細節，包括漸近線

$y={\frac {2}{x}}+1$ $y={\frac {1}{x}}+3$ $y={\frac {2}{x}}-2$

$y={\frac {-4}{x}}+5$ $y=-{\frac {7}{x}}-3$ $y=-{\frac {3}{x}}+2$

$y={\frac {6}{x}}-6$ $y=-{\frac {1.5}{x}}+9$ $y={\frac {4.7}{x}}+1.4$

解決方案

1.1

$(2,6)$ 和 $(3,3)$ $(0,5)$ 和 $(2,1)$ $(3,2)$ 和 $(1,0)$

$(4,4)$ 和 $(2,-1)$ $(6,-4)$ 和 $(7,-2)$ $(-5,6)$ 和 $(4,-8)$