BASIC 程式設計/規範 BASIC/最小 BASIC

示例程式

最小 BASIC 的示例程式將出現在這裡。

數值積分

介紹

存在兩種情況，需要用數值方法計算定積分的值。其中一個是計算由一組實驗資料定義的曲線下的面積，另一個是計算已知數學函式的定積分，但沒有已知的積分。前者通常是科學和工程實驗工作中的響應函式的情況，而後者通常是物理、數學和工程實際研究的情況。

獨立於此，用於積分目的的數值方法的開發（屬於應用數學部門的領域）是基於它所產生的簡單想法，即如果$y(x)=f(x)$ 是 $x$ 的實值（復值情況可以透過將其分離為實部和虛部來類似地處理）連續函式，定義在區間 $(a,b)$ 中，它的定積分，

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{x=a}^{x=b}\lim _{\delta x\rightarrow 0}f(x)\delta x=\lim _{\delta x\rightarrow 0}\sum _{x=a}^{x=b}f(x)\delta x\approx \sum _{x=a}^{x=b}f(x)\Delta x$,

可以近似地計算為在區間 $(a,b)$ 中的某些給定點上計算的乘積 $f(x)\Delta x$ 的有限和。

在實驗資料的情況下，測量函式值的點集通常不是規律分佈的（即，點不是等間隔的），因此必須以以下形式計算定積分的值

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{{x_{0}}=a}^{x_{1}}f(x)dx+\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx+...+\int _{x_{n-2}}^{x_{n-1}}f(x)dx+\int _{x_{n-1}}^{x_{n}=b}f(x)dx$,

可以近似地計算為

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx f({x_{0}}=a)({x_{1}}-{x_{0}})+f({x_{1}})({x_{2}}-{x_{1}})+...+f({x_{n-2}})({x_{n-1}}-{x_{n-2}})+f({x_{n-1}})({x_{n}}-{x_{n-1}})$,

或者

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx f({x_{1}})({x_{1}}-{x_{0}})+f({x_{2}})({x_{2}}-{x_{1}})+...+f({x_{n-1}})({x_{n-1}}-{x_{n-2}})+f({x_{n}}=b)({x_{n}}-{x_{n-1}})$.

在第一種情況下，對於單調遞增（遞減）函式，積分值被低估（高估），因為在每次評估中取的 $f(x)$ 在每個子區間內總是最低（最高），因此構成了積分值的絕對下界（上界），而在第二種情況下，對於單調遞減（遞增）函式，積分值被高估（低估），因為在每次評估中取的 $f(x)$ 在每個子區間內總是最高（最低），因此構成了積分值的絕對上界（下界）。

根據微積分中的中值定理，定積分的值也可以計算為

$\int _{a}^{b}f(x)dx=f(\gamma )(b-a)$,

對於 $(a,b)$ 中的某個值 $\gamma$ ，其中 $f(\gamma )$ 代表 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 中的平均值，因此，將一組實驗資料的定積分計算為

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{{x_{0}}=a}^{x_{1}}f(x)dx+\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx+...+\int _{x_{n-2}}^{x_{n-1}}f(x)dx+\int _{x_{n-1}}^{x_{n}=b}f(x)dx$,

$\int _{a}^{b}f(x)dx=f(\gamma _{(0,1)})({x_{1}}-{x_{0}})+f(\gamma _{(1,2)})({x_{2}}-{x_{1}})+...+f(\gamma _{(n-2,n-1)})({x_{n-1}}-{x_{n-2}})+f(\gamma _{(n-1,n)})({x_{n}}-{x_{n-1}})$,

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {f({x_{0}})+f({x_{1}})}{2}}({x_{1}}-{x_{0}})+{\frac {f({x_{1}})+f({x_{2}})}{2}}({x_{2}}-{x_{1}})+...+{\frac {f({x_{n-2}})+f({x_{n-1}})}{2}}({x_{n-1}}-{x_{n-2}})+{\frac {f({x_{n-1}})+f({x_{n}})}{2}}({x_{n}}-{x_{n-1}})$.

由於一些我們將在後面看到的理由，這等效於假設在不同點之間有一個分段線性插值函式，並且如此計算出的積分值對於線性函式是精確的（即，斜率以恆定速率變化的函式），儘管對於斜率以非恆定速率增長的函式（即，它的二階導數在所考慮的區間內嚴格為正），它被低估了，並且對於斜率以非恆定速率減小的函式（即，它的二階導數在所考慮的區間內嚴格為負），它被高估了。如此計算出的值構成比之前提出的上下界更好的近似值，並且在函式的二階導數（可以透過二階差分或中心差分從實驗資料中計算得到）在子區間之間改變符號的情況下，由於近似平均值的誤差抵消，該值預計接近實際值。

對於數學函式，我們擁有更多關於函式的資訊，因為不僅可以計算函式在任何給定點的值，還可以計算一階、二階和更高階導數，且具有任意精度。

讓我們詳細闡述一些數學結果，從簡單到更復雜的方法。

數值方法開發的主要主題，以及穩定性研究（即，如果一個方法收斂），是方法的收斂速度，它研究需要多少次評估以及近似誤差（對於非迭代方法），或者需要多少次迭代以及誤差在每次迭代中如何最小化（對於迭代方法）。

在穩定性研究中，正如我們之前看到的，函式$f(x)$在區間$(a,b)$內定義的定積分的值，

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{x=a}^{x=b}\lim _{\delta x\rightarrow 0}f(x)\delta x=\lim _{\delta x\rightarrow 0}\sum _{x=a}^{x=b}f(x)\delta x\approx \sum _{x=a}^{x=b}f({x_{k}})\Delta {x_{k}}$,

可以近似地計算為在區間 $(a,b)$ 中的某些給定點上計算的乘積 $f(x)\Delta x$ 的有限和。

在極限 $\Delta x\rightarrow \delta x\rightarrow 0$ 中，有限和趨於無窮積分，因此收斂性得到保證。

在收斂速度研究中，我們感興趣的是提高近似值的精度，同時保持子區間的數量，並且計算複雜度的增加很小。

通常使用的方法是在每個子區間內使用函式 $f(x)$ 的值進行多項式近似，使用子區間內幾個點的函式值提供的資訊。

讓我們考慮等間距點的例子（儘管這個限制很容易解除）

根據定義，

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{x=a}^{x=b}\lim _{\delta x\rightarrow 0}f(x)\delta x=\lim _{\delta x\rightarrow 0}\sum _{x=a}^{x=b}f(x)\delta x\approx \sum _{x=a}^{x=b}f({x_{k}})\Delta {x_{k}}=\sum _{x=a}^{x=b}f({x_{k}})({x_{j+1}}-{x_{j}})$,

其中 $k$ 表示子區間，${x_{k}}$ 是每個子區間 $({x_{j}},{x_{j+1}})$ 中的任意數，其中 $j=0,1,2,...,n-1$，以及 ${x_{0}}=a,{x_{n}}=b$，並且 $\Delta {x_{k}}=({x_{j+1}}-{x_{j}})$，其中 $k=1,2,...,n$，以及 $j=k-1$.

微積分中值定理告訴我們，如果

$\int _{a}^{b}f(x)dx$

如果 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上的定積分，則在 $(a,b)$ 中存在一個值 $\gamma$，使得

$\int _{a}^{b}f(x)dx=f(\gamma )(b-a)$.

此外，根據定義，如果

$\int _{a}^{b}f(x)dx$

是 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上的定積分，那麼它也可以理解為由以下各個部分的貢獻組成：

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{{x_{0}}=a}^{x_{1}}f(x)dx+\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx+...+\int _{x_{n-2}}^{x_{n-1}}f(x)dx+\int _{x_{n-1}}^{x_{n}=b}f(x)dx$

其中 ${x_{0}}=a,{x_{1}},{x_{2}},...,{x_{n-2}},{x_{n-1}},{x_{n}}=b$ 是任意值。

現在，對每個部分應用均值定理，得到結果

$\int _{a}^{b}f(x)dx=f(\gamma _{({x_{0}},{x_{1}})})({x_{1}}-{x_{0}})+f(\gamma _{({x_{1}},{x_{2}})})({x_{2}}-{x_{1}})+...+f(\gamma _{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})({x_{n-1}}-{x_{n-2}})+f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})({x_{n}}-{x_{n-1}})$,

這個結果是精確的。

在每個子區間大小相等的情況下，即 $({x_{1}}-{x_{0}})=({x_{2}}-{x_{1}})=...=({x_{n-1}}-{x_{n-2}})=({x_{n}}-{x_{n-1}})=\Delta x$，則表示式簡化為

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\left(f(\gamma _{({x_{0}},{x_{1}})})+f(\gamma _{({x_{1}},{x_{2}})})+...+f(\gamma _{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})+f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})\right)\Delta x$.

這樣，求初始定積分就簡化為求平均值

$f(\gamma _{({x_{0}},{x_{1}})}),f(\gamma _{({x_{1}},{x_{2}})}),...,f(\gamma _{({x_{n-2}},{x_{n-1}})}),f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})$.

在第一次近似中，只有一個點，

$f(\gamma _{({x_{0}},{x_{1}})})\approx f({x_{i}}_{({x_{0}},{x_{1}})}),f(\gamma _{({x_{1}},{x_{2}})})\approx f({x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})}),...,f(\gamma _{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})\approx f({x_{i}}_{({x_{n-2}},{x_{n-1}})}),f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})\approx f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})$,

其中 ${x_{i}}$ 是 $x$ 在每個子區間中的中間值，從而得到

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(f({x_{i}}_{({x_{0}},{x_{1}})})+f({x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})})+...+f({x_{i}}_{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})+f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})\right)\Delta x$.

在第二種近似中，只有兩個點，

$f(\gamma _{({x_{0}},{x_{1}})})\approx {\frac {f({x_{0}})+f({x_{1}})}{2}},f(\gamma _{({x_{1}},{x_{2}})})\approx {\frac {f({x_{1}})+f({x_{2}})}{2}},...,f(\gamma _{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})\approx {\frac {f({x_{n-2}})+f({x_{n-1}})}{2}},f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})\approx {\frac {f({x_{n-1}})+f({x_{n}})}{2}}$,

其中 ${x_{n-1}},{x_{n}}$ 是每個子區間的開頭和結尾處的 $x$ 值，這會導致

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(f({x_{0}})+2f({x_{1}})+...+2f({x_{n-1}})+f({x_{n}})\right)\Delta x/2$.

在第三種近似中，只有三個點，

$f(\gamma _{({x_{0}},{x_{1}})})\approx {\frac {f({x_{0}})+f({x_{i}}_{({x_{0}},{x_{1}})})+f({x_{1}})}{3}},f(\gamma _{({x_{1}},{x_{2}})})\approx {\frac {f({x_{1}})+f({x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})})+f({x_{2}})}{3}},...,f(\gamma _{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})\approx {\frac {f({x_{n-2}})+f({x_{i}}_{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})+f({x_{n-1}})}{3}},f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})\approx {\frac {f({x_{n-1}})+f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{n}})}{3}}$,

其中 ${x_{n-1}},{x_{i}},{x_{n}}$ 分別是每個子區間的開始、中間和結束處的 $x$ 的值，這將導致

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(f({x_{0}})+f({x_{i}}_{({x_{0}},{x_{1}})})+2f({x_{1}})+f({x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})})+2f({x_{2}})+...+2f({x_{n-2}})+f({x_{i}}_{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})+2f({x_{n-1}})+f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{n}})\right)\Delta x/3$.

在第四個近似中，雖然仍然使用函式$f(x)$ 在每個子區間的開始、中間和結束處進行評估，但可以使用以下結果：如果 $f(\gamma ^{-})$ 和 $f(\gamma ^{+})$ 是對 $f(\gamma )$ 的估計，那麼它們的算術平均數 $\left(f(\gamma ^{-})+f(\gamma ^{+})\right)/2$ 也是另一個估計，至少具有相同的精度，甚至可能更好。

因此，將第一個和第二個近似結果加起來，然後除以 2，

$f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})\approx {\frac {f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+{\frac {f({x_{n-1}})+f({x_{n}})}{2}}}{2}}={\frac {f({x_{n-1}})+2f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{n}})}{4}}$,

這導致了以下結果

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(f({x_{0}})+2f({x_{i}}_{({x_{0}},{x_{1}})})+2f({x_{1}})+2f({x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})})+2f({x_{2}})+...+2f({x_{n-2}})+2f({x_{i}}_{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})+2f({x_{n-1}})+2f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{n}})\right)\Delta x/4$.

將第一個和第三個近似結果加起來，然後除以 2，

$f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})\approx {\frac {f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+{\frac {f({x_{n-1}})+f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{n}})}{3}}}{2}}={\frac {f({x_{n-1}})+4f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{n}})}{6}}$,

這導致了以下結果

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(f({x_{0}})+4f({x_{i}}_{({x_{0}},{x_{1}})})+2f({x_{1}})+4f({x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})})+2f({x_{2}})+...+2f({x_{n-2}})+4f({x_{i}}_{({x_{n-2}},{x_{n-1}})})+2f({x_{n-1}})+4f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{n}})\right)\Delta x/6$.

在實踐中，如果只在一個區間內進行三次評估，就不能做得更好，但即使在一個區間內，獲得的結果也足夠簡單和準確。

讓我們透過一個例子來說明這種情況。

假設我們想要計算函式 $f(x)=exp(x)$ 在區間 $(0,1)$ 的定積分，我們知道它的精確值是 $F(x)|_{0}^{1}=\int _{0}^{1}exp(x)dx=exp(x)|_{0}^{1}=exp(1)-exp(0)=2.71828-1.00000=1.71828$.

為了保持問題的簡單性，我們只用一個區間進行計算，即 ${x_{0}}=a=0.0$，${x_{n}}=b=1.0$ 和 $x_{i}=0.5$.

因此，我們有

第一次近似

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx f(x_{i})(b-a)=exp(0.5)(1.0-0.0)=1.64872$

這等於相對誤差為

$error={\frac {1.64872-1.71828}{1.71828}}\times 100=-4.04823\%$.

第二次近似

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {f(x_{a})+f(x_{b})}{2}}(b-a)={\frac {exp(0.0)+exp(1.0)}{2}}(1.0-0.0)=1.85914$

這等於相對誤差為

$error={\frac {1.85914-1.71828}{1.71828}}\times 100=+8.19774\%$.

第三次近似

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {f(x_{a})+f(x_{i})+f(x_{b})}{3}}(b-a)={\frac {exp(0.0)+exp(0.5)+exp(1.0)}{3}}(1.0-0.0)=1.78900$

這等於相對誤差為

$error={\frac {1.85914-1.71828}{1.71828}}\times 100=+8.19774\%$.

第四次近似，第一項和第二項（線性展開）

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {f(x_{a})+2f(x_{i})+f(x_{b})}{4}}(b-a)={\frac {exp(0.0)+2\times exp(0.5)+exp(1.0)}{4}}(1.0-0.0)=1.75393$

這等於相對誤差為

$error={\frac {1.75393-1.71828}{1.71828}}\times 100=+2.07475\%$.

第四次近似，第一項和第三項（二次展開）

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {f(x_{a})+4f(x_{i})+f(x_{b})}{6}}(b-a)={\frac {exp(0.0)+4\times exp(0.5)+exp(1.0)}{6}}(1.0-0.0)=1.71886$

這等於相對誤差為

$error={\frac {1.71886-1.71828}{1.71828}}\times 100=+0.0337589\%$.

如果需要更高的精度，可以類似地引入 $f(x)$ 在 $x_{i}$ 附近的展開式中的高階項，或者在之前考慮的其中一種方法中將積分步長減半。

讓我們考慮在展開式中考慮高階項的情況，即：

$f(\gamma _{({x_{n-1}},{x_{n}})})\approx {\frac {f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+{\frac {f({x_{n-1}})+f({x_{i}}_{1/4})+f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{i}}_{3/4})+f({x_{n}})}{5}}}{2}}={\frac {f({x_{n-1}})+f({x_{i}}_{1/4})+6f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{i}}_{3/4})+f({x_{n}})}{10}}$,

這導致了以下結果

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(f({x_{0}})+f({x_{1/4}}_{({x_{0}},{x_{1}})})+6f({x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})})+f({x_{3/4}}_{({x_{0}},{x_{1}})})+2f({x_{1}})+...+2f({x_{n-1}})+f({x_{1/4}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+6f({x_{i}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{1/4}}_{({x_{n-1}},{x_{n}})})+f({x_{n}})\right)\Delta x/10$.

讓我們透過一個例子來說明這種情況。

假設我們想要計算函式 $f(x)=exp(x)$ 在區間 $(0,1)$ 的定積分，我們知道它的精確值是 $F(x)|_{0}^{1}=\int _{0}^{1}exp(x)dx=exp(x)|_{0}^{1}=exp(1)-exp(0)=2.71828-1.00000=1.71828$.

為了簡化問題，我們用兩個區間進行計算，即 ${x_{0}}=a=0.0$, ${x_{n}}=b=1.0$, ${x_{1}}=0.5$, ${x_{i}}_{({x_{0}},{x_{1}})}=0.25$ 以及 ${x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})}=0.25$.

應用二階展開

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(f({x_{0}})+4f({x_{i}}_{({x_{0}},{x_{1}})})+2f({x_{1}})+4f({x_{i}}_{({x_{1}},{x_{2}})})+f({x_{2}})\right)\Delta x/6$,

得到

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(exp(0.0)+4exp(0.25)+2exp(0.5)+4exp(0.75)+exp(1.0)\right)\times 0.5/6=1.71832$,

這相當於相對誤差為

$error={\frac {1.71832-1.71828}{1.71828}}\times 100=+0.00216456\%$.

應用四階展開

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(f(0.0)+f(0.25)+6f(0.50)+f(0.75)+f(1.0)\right)1.0/10$,

得到

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \left(exp(0.0)+7exp(0.25)+2exp(0.5)+7exp(0.75)+exp(1.0)\right)\times 1.0/10$.

我們從差分學知道，任何函式都可以表示為多項式展開

$f(x)=f({x_{0}})+{\frac {f({x_{1}})-f({x_{0}})}{{x_{1}}-{x_{0}}}}({x}-{x_{0}})+{\frac {f({x_{1}})-2f({x_{i}})+f({x_{0}})}{({x_{1}}-{x_{0}})^{2}}}({x}-{x_{0}})^{2}+...$

在正向差分的情況下，或者

$f(x)=f({x_{1}})+{\frac {f({x_{1}})-f({x_{0}})}{{x_{1}}-{x_{0}}}}({x}-{x_{1}})+{\frac {f({x_{1}})-2f({x_{i}})+f({x_{0}})}{({x_{1}}-{x_{0}})^{2}}}({x}-{x_{1}})^{2}+...$

在反向差分的情況下，或者

$f(x)=f({x_{i}})+{\frac {f({x_{1}})-f({x_{0}})}{{x_{1}}-{x_{0}}}}({x}-{x_{i}})+{\frac {f({x_{1}})-2f({x_{i}})+f({x_{0}})}{({x_{1}}-{x_{0}})^{2}}}({x}-{x_{i}})^{2}+...$

在中心差分的情況下。

在第一近似中，

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}\left(f({x_{0}})+h({x_{0}})(x-{x_{0}})\right)dx\approx \int _{a}^{b}f({x_{0}})dx=f({x_{0}})(b-a)=f({x_{0}})({x_{1}}-{x_{0}})=f({x_{0}})\Delta x$

$\int _{a}^{b}h({x_{0}})(x-{x_{0}})dx=h({x_{0}}){\frac {(x-{x_{0}})^{2}}{2}}|_{a}^{b}=h({x_{0}}){\frac {(b-{x_{0}})^{2}-(a-{x_{0}})^{2}}{2}}=h({x_{0}}){\frac {({x_{1}}-{x_{0}})^{2}-({x_{0}}-{x_{0}})^{2}}{2}}=h({x_{0}}){\frac {({x_{1}}-{x_{0}})^{2}}{2}}=h({x_{0}}){\frac {\Delta x^{2}}{2}}\simeq f'({x_{0}}){\frac {\Delta x^{2}}{2}}$

在向前差分的情況下，

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}\left(f({x_{1}})+h({x_{1}})(x-{x_{1}})\right)dx\approx \int _{a}^{b}f({x_{1}})dx=f({x_{1}})(b-a)=f({x_{1}})({x_{1}}-{x_{0}})=f({x_{1}})\Delta x$

$\int _{a}^{b}h({x_{1}})(x-{x_{1}})dx=h({x_{1}}){\frac {(x-{x_{1}})^{2}}{2}}|_{a}^{b}=h({x_{1}}){\frac {(b-{x_{1}})^{2}-(a-{x_{1}})^{2}}{2}}=h({x_{1}}){\frac {({x_{1}}-{x_{1}})^{2}-({x_{0}}-{x_{1}})^{2}}{2}}=h({x_{1}}){\frac {-({x_{0}}-{x_{1}})^{2}}{2}}=-h({x_{1}}){\frac {\Delta x^{2}}{2}}\simeq -f'({x_{1}}){\frac {\Delta x^{2}}{2}}$

在後向差分的情況下，

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}\left(f({x_{i}})+h({x_{i}})(x-{x_{i}})\right)dx\approx \int _{a}^{b}f({x_{i}})dx=f({x_{i}})(b-a)=f({x_{i}})({x_{1}}-{x_{0}})=f({x_{i}})\Delta x$

$\int _{a}^{b}h({x_{i}})(x-{x_{i}})dx=h({x_{i}}){\frac {(x-{x_{i}})^{2}}{2}}|_{a}^{b}=h({x_{i}}){\frac {(b-{x_{i}})^{2}-(a-{x_{i}})^{2}}{2}}=h({x_{i}}){\frac {({x_{1}}-{x_{i}})^{2}-({x_{0}}-{x_{i}})^{2}}{2}}=h({x_{i}}){\frac {(\Delta x/2)^{2}-(-\Delta x/2)^{2}}{2}}=h({x_{i}}){\frac {\Delta x^{2}-\Delta x^{2}}{4}}=0$

在中心差分的情況下。

因此，在用單個點對積分進行估算的情況下，如果函式在估算點的斜率值是正的，則使用前向（後向）差分，積分值總是被低估（高估）；如果函式在估算點的斜率值是負的，則使用前向（後向）差分，積分值總是被低估（高估）。估算誤差與函式在估算點的斜率值成正比，並與積分步長的平方的一半成正比。在使用中心差分對積分進行估算的情況下，對於線性函式，積分值是精確的。

在第二階近似中，

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}\left(f({x_{0}})+{\frac {f({x_{1}})-f({x_{0}})}{{x_{1}}-{x_{0}}}}({x}-{x_{0}})+h({x_{0}})(x-{x_{0}})^{2}\right)dx$

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx f({x_{0}})({x_{1}}-{x_{0}})+{\frac {f({x_{1}})-f({x_{0}})}{{x_{1}}-{x_{0}}}}{\frac {({x_{1}}-{x_{0}})^{2}}{2}}=f({x_{0}})({x_{1}}-{x_{0}})+{\frac {f({x_{1}})-f({x_{0}})}{2}}({x_{1}}-{x_{0}})={\frac {f({x_{1}})+f({x_{0}})}{2}}({x_{1}}-{x_{0}})={\frac {f({x_{1}})+f({x_{0}})}{2}}\Delta x$

$\int _{a}^{b}h({x_{0}})(x-{x_{0}})^{2}dx=h({x_{0}}){\frac {(x-{x_{0}})^{3}}{3}}|_{a}^{b}=h({x_{0}}){\frac {({x_{1}}-{x_{0}})^{3}-({x_{0}}-{x_{0}})^{3}}{3}}=h({x_{0}}){\frac {({x_{1}}-{x_{0}})^{3}}{3}}=h({x_{0}}){\frac {\Delta x^{3}}{3}}\simeq f''({x_{0}}){\frac {\Delta x^{3}}{3}}$

在向前差分的情況下，

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}\left(f({x_{1}})+{\frac {f({x_{1}})-f({x_{0}})}{{x_{1}}-{x_{0}}}}({x}-{x_{1}})\right)dx=f({x_{1}})({x_{1}}-{x_{0}})+{\frac {f({x_{1}})-f({x_{0}})}{{x_{1}}-{x_{0}}}}{\frac {({x_{1}}-{x_{1}})^{2}-({x_{0}}-{x_{1}})^{2}}{2}}$