分數介紹

當你將（分割）某物分成兩個或多個部分時，你得到的就是普通分數。普通分數通常寫成兩個數字：一個上面，一個下面。普通分數也可以用文字表達。上面的數字稱為分子，下面的數字稱為分母（“de-”字首是拉丁語中的反義詞）或除數。

${\frac {\text{numerator}}{\text{denominator}}}$

這兩個數字總是用一條線隔開，這條線稱為分數線。這種表示分數的方式稱為顯示錶示。在日常語言中，普通分數通常簡稱為分數。

任何給定分數的分子告訴你你有多少部分。例如，如果你把一個披薩分成六份相等的份，你拿了兩份披薩，那麼你就有 ${\tfrac {2}{6}}$ （讀作六分之二）的披薩。另一種看待它的方式是考慮相等的部分；當那個披薩被分成六個相等的部分時，每個部分正好是 ${\tfrac {1}{6}}$ （六分之一）的整個披薩。

分母告訴你一個整體有多少部分，在這種情況下是你的披薩。你的披薩被切成了六個相等的部分，因此整個披薩由六個相等的切片組成。所以當你拿了兩片給自己時，只剩下四片披薩，或者 ${\tfrac {4}{6}}$ （六分之四）。

還要記住，分子永遠不能是零。把零分成部分是沒有意義的。例如，分數 ${\tfrac {0}{6}}$ 等於零，因為你不可能有六片什麼都沒有。如果分母是零，那麼分數就沒有意義，或者被認為是未定義的，因為它可能取決於你正在使用的數學環境，在本節中，我們將認為它沒有意義。

另一種表示分數的方法是在分子和分母之間使用斜線。

1/2\

在這種情況下，分子和分母之間的分隔符稱為斜線、斜槓或分數線。這種表示分數的方式稱為行內表示，意味著分數與文字中的其他部分對齊。你經常會在文字中看到行內表示，在這些文字中作者無法使用顯示錶示。

真分數

我們剛剛用披薩類比的這個分數被稱為真分數。在真分數中，分子（上面的數字）總是小於分母（下面的數字）。因此，真分數的值總是小於1。真分數通常是你將在數學中遇到的最常見的型別。

假分數

當分數的分子大於或等於分母時，就叫做假分數。例如，分數 ${\tfrac {5}{3}},{\tfrac {2}{1}}$ 和 ${\tfrac {6}{6}}$ 都被認為是假分數。假分數的值始終為一個或多個整體。因此，對於 ${\tfrac {6}{6}}$ ，分子表示你有 6 塊，但 6 也是一個整體的數量，所以這個分數的值就是一個整體。就像你在切完披薩後沒有人吃了一塊一樣。

對於 ${\tfrac {5}{3}}$ ，一個整體被分成三等份，但你手上有五份（你吃了兩個披薩，每個分成三塊，你吃了一塊）。這意味著你多了兩塊，或者比一個整體多了兩塊。這個概念一開始可能看起來很混亂和奇怪，但隨著你在數學方面變得更好，你最終會把兩加二加起來得到完整的畫面（好吧，糟糕的雙關語）。

帶分數

當一個整數與分數並列寫在一起時，例如 $2{\tfrac {1}{3}}$ （二又三分之一），你所看到的是所謂的帶分數。帶分數被理解為整數和分數的總和。在 $2{\tfrac {1}{3}}$ 中的數字二代表兩個整體 - 你還有三分之一的東西，也就是 ${\tfrac {1}{3}}$ 。

化簡分數

有時在數學中，你需要用更小的數字重寫分數，同時保持分數的值不變。這被稱為化簡，或化成最簡分數。應該指出的是，一個未簡化的分數本身並不一定錯誤，但它可能會讓檢視你工作的人感到困惑。有兩種方法可以簡化分數，並且這兩種方法在任何時候你使用分數時都會很有用，所以建議你學習這兩種方法。

重申一下，化簡分數本質上是用另一個等值的分數，稱為等值分數，來替換你的原始分數。以下是一些等值分數的例子。

${\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}},{\frac {8}{12}}={\frac {2}{3}},{\frac {6}{10}}={\frac {3}{5}}$

當分數 ${\frac {4}{8}}$ 化成最簡分數時，它就變成了 ${\frac {1}{2}}$ ，因為八分之四正好是所有可用塊的一半。當分子和分母都不能被除了 1 以外的任何數整除時，分數也處於最簡形式。

除法方法

要將分數化成最簡分數，你必須用能同時整除分子和分母的最大整數來除分子和分母。例如，要將分數 ${\tfrac {3}{9}}$ 化成最簡分數，用 3 除分子（3）和分母（9）。

${\frac {3\div 3}{9\div 3}}={\frac {1}{3}}$

如果最大公因數不明顯，而很多時候它並不明顯，就將分子和分母除以任何能被它們整除的數（除了 1），然後重複此過程，直到分數化簡到最低項。如果分子和分母都是偶數，那麼就可以將它們都除以 2。

為了清楚起見，下面是幾個使用這種方法化簡分數的例子。

例題

將 ${\tfrac {12}{20}}$ 化簡到最低項。

解題

在這個問題中，最大公因數並不容易看出來，所以我們首先將分子和分母都除以 2，如下所示

${\frac {12\div 2}{20\div 2}}={\frac {6}{10}}$

接下來再除以 2

${\frac {6\div 2}{10\div 2}}={\frac {3}{5}}$
沒有剩餘的整數能被 ${\tfrac {3}{5}}$ 整除，所以問題就完成了。

答案

${\tfrac {12}{20}}$ 化簡到最低項是 ${\tfrac {3}{5}}$

例題

將 ${\tfrac {18}{24}}$ 化簡到最低項。

解題

將分子和分母都除以 6，如下所示

${\frac {18\div 6}{24\div 6}}={\frac {3}{4}}$

答案

${\tfrac {18}{24}}$ 化簡到最低項是 ${\tfrac {3}{4}}$ .

例題

將 ${\tfrac {112}{126}}$ 化簡到最低項。

解題

在這個問題中，最大公因數並不立即顯而易見，所以我們首先將分子和分母都除以 2，如下所示

${\frac {112\div 2}{126\div 2}}={\frac {56}{63}}$

接下來除以 7

${\frac {56\div 7}{63\div 7}}={\frac {8}{9}}$

答案

${\tfrac {112}{126}}$ 化簡到最低項是 ${\tfrac {8}{9}}$ .

最大公因數法

化簡分數的第二種方法是找到分子和分母的最大公因數。我們透過將分子和分母分解成它們的質因數來做到這一點（最大公因數 = 2x2 = 4）

${\frac {12}{16}}={\frac {2\times 2\times 3}{2\times 2\times 2\times 2}}={\frac {2\!\!\!/\times 2\!\!\!/\times 3}{2\!\!\!/\times 2\!\!\!/\times 2\times 2}}={\frac {3}{4}}$

任何部分都隱含著乘以1。如果我們從分解的分數中約去2，那麼分母中就只剩下一個2。

${\frac {4}{8}}={\frac {1\times 2\!\!\!/\times 2\!\!\!/}{2\times 2\!\!\!/\times 2\!\!\!/}}={\frac {1}{2}}$

最好練習這些簡化分數的技巧，直到你對自己能夠獨立完成感到自信。記住，熟能生巧。

將分數升至更高的項

將分數升至更高的項是指用更大的數字重新寫它，同時保持分數的值與原來的等價。從本質上說，這與簡化分數完全相反。

例題

將 ${\frac {2}{5}}$ 轉換為一個分母為15的分數。

{\frac {2}{5}}={\frac {?}{15}}

步驟1

問問自己：“什麼數字乘以5等於15？”要找到答案，只需將5除以15。

{15}\div {5}=3

步驟2

將兩個分母相除後，必須將答案乘以你已有的分子。在本例中，我們將2乘以3來求出缺失的分子。

{2}\times {3}={6}

答案

{\frac {2}{5}}={\frac {6}{15}}

將假分數轉換為帶分數

通常你會遇到假分數。雖然這在某些情況下可能有用，但通常最好將分數轉換為最簡形式或帶分數。

要將假分數轉換為帶分數，將分母除以分子。

例題

將 ${\frac {13}{2}}$ 轉換為帶分數。

解題

將13除以2，使用長除法獲得商和餘數。 ${13}\div {2}={6\ {\mbox{r}}\ 1}$

答案

為了形成答案的真分數部分，我們將除數（**2**）作為分母，將餘數（**r1**）作為分子。最後，我們將除法的答案（在本例中為6）用作整數。

因此， ${\frac {13}{2}}$ 的帶分數形式是 $6\,\!{\frac {1}{2}}$

加分數

加具有相同分母的分數

要加同分母的分數，只需要將分子相加，而分母保持不變。

{\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}={\frac {1+3}{5}}={\frac {4}{5}}

加同分母的分數是規則，但它引出了一個問題：為什麼？為什麼我不能（或不應該）將分子和分母都加起來呢？

{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1+1}{4+4}}={\frac {2}{8}}

為了理解這一點，試著用一把 12 英寸的尺子畫一條 3 英寸的水平線（1/4 英尺），然後在末端加上另一條 3 英寸的線（1/4 英尺）。線的總長度是多少？應該是 6 英寸（1/2 英尺），而不是 2/8 英尺（3 英寸）。實質上，似乎我們只能加同類項，而同類項是指分母相同的項，我們透過將分子相加來將它們加起來。