生物物理學/熱機、冰箱和效率

效率

效率的一般定義是效益與成本之比。

因此，由於效率 = 效益 / 成本，要達到 100% 的效率，效益 / 成本需要等於 1。

我們知道， $q_{H}=w+q_{C}$ 適用於熱機（參見下圖）。重新排列得到 $w=q_{H}-q_{C}$ 。效率是指我們從發動機中獲得的功與輸入發動機的熱量之比。效率 $efficiency={\frac {w}{q_{H}}}={\frac {(q_{H}-q_{C})}{q_{H}}}={\frac {1-q_{C}}{q_{H}}}$ 。我們還想證明 $efficiency={\frac {1-q_{C}}{q_{H}}}\leq {\frac {1-T_{C}}{T_{H}}}.$ 。這意味著效率將與高溫和低溫以及熱量 $q$ 相關。

利用理想氣體方程，我們知道 $PV=Nk_{B}T$ 。根據卡諾迴圈（圖 #），我們知道 ${\frac {q_{c}}{q_{H}}}={\frac {(Nk_{B}T_{C}ln(V_{4}/V_{3}))}{(Nk_{B}T_{H}ln(V_{2}/V_{1}))}}$ 。 $Nk_{B}$ 項被抵消，只剩下 ${\frac {q_{C}}{q_{H}}}={\frac {T_{C}ln(V_{4}/V_{3})}{T_{H}ln(V_{2}/V_{1})}}$ 。

為了證明這種關係可以讓我們聯絡 ${\frac {q_{C}}{q_{H}}}={\frac {T_{C}}{T_{H}}}$ ，我們觀察 $\Delta U=w={\frac {f}{2}}Nk_{B}\Delta T$ 。對於絕熱過程，這是成立的，因為 Q = 0。所以 $\Delta U=-P\Delta V$ 。這裡存在 ΔT 和 ΔV，因此需要進行小的增量變化，從而導致積分。（數字，#，）表示推導中的步驟）。

1.) ${\frac {f}{2}}Nk_{B}\Delta T=-{\frac {Nk_{B}T}{V}}\Delta V$

2.) ${\frac {f}{2}}{\frac {\Delta T}{T}}=-{\frac {\Delta V}{V}}$

然後，我們對兩邊進行積分

3.) $\int _{T_{i}}^{T_{f}}{\frac {f}{2}}{\frac {1}{T}}dT=-\int _{V_{i}}^{V_{f}}{\frac {1}{V}}dV$

4.) ${\frac {f}{2}}ln(T_{f}/T_{i})=ln(V_{i}/V_{f})$ （注意符號變化導致方程左側自然對數內部的項翻轉）。

如果我們對兩邊取指數，那麼 ln() 中的項將被釋放。

5.) $e^{{\frac {f}{2}}ln(T_{f}/T_{i})}=e^{ln(V_{i}/V_{f})}$

6.) $e^{ln(T_{f}/T_{i})^{\frac {f}{2}}}=e^{ln(V_{i}/V_{f})}$

7.) ${\frac {T_{f}^{\frac {f}{2}}}{T_{i}^{\frac {f}{2}}}}={\frac {V_{i}}{V_{f}}}$

將最終項和初始項分組

8.) $T_{f}^{\frac {f}{2}}V_{f}=T_{i}^{\frac {f}{2}}V_{i}$

我們知道，對於絕熱過程， $T^{\frac {f}{2}}V$ 是一個常數。由於它們相等，我們可以對兩邊進行除法，並消去 $T_{H}$ 和 $T_{C}$ .

9.) ${\frac {T_{H}^{\frac {f}{2}}V_{2}}{T_{H}^{\frac {f}{2}}V_{1}}}={\frac {T_{C}^{\frac {f}{2}}V_{3}}{T_{C}^{\frac {f}{2}}V_{4}}}$

這將得到

10.) ${\frac {V_{2}}{V_{1}}}={\frac {V_{3}}{V_{4}}}$

如果我們將這些分數代入原始公式 ${\frac {q_{C}}{q_{H}}}={\frac {T_{C}ln(V_{4}/V_{3})}{T_{H}ln(V_{2}/V_{1})}}$ 中，我們知道根據我們剛剛推匯出的等式， ${\frac {ln(V_{4}/V_{3})}{ln(V_{2}/V_{1}}}=1$ 。