CLEP 代數/二項式定理

快速問題：$(2x-4)^{2}$ 等於什麼？嗯，要找到它，我們需要將 $(2x-4)$ 乘以兩次，因為指數表示你將任何值 $a$ 乘以 $n$ 次，我們表示為 $a^{n}$。令 $a=(2x-4)$ 且 $n=2$。

$a^{n}=(2x-4)^{2}=(2x-4)(2x-4)=4x^{2}+-8x+16=4(x^{2}-2x+4)$.

如果這是多項選擇題的一部分，你可能很快就能得到答案。但是，如果你必須做這個問題的修改版本呢？

求 $(2x-4)^{10}$。

你可能可以在一段時間後完成這個問題，但是在你完成 CLEP 代數考試之前可能已經太晚了。即使沒有太晚，你可能也無法在完成後做其他問題，或者你可能會得到錯誤的答案，因為以這種方式做這個問題太難了。所以，我們如何解決這個問題？這就是 **二項式展開定理** 發揮作用的地方。在我們先了解公式的基礎之後，我們將說明定義。

排列與組合

階乘符號

例 1.1：使用標準英語字母表（A-Z），你最多可以製作多少個 26 個字母的單詞，每個字母只能使用一次？ 讓我們從小處開始。試著想象一下所有可能的 $1$ 字母單詞的列表，使用標準字母表。在這個列表中，你會看到所有字母表的字母。 現在試著想象一下，用標準字母表可以組成所有可能的 $2$ 個字母的單詞列表。如果你仔細想想，這其實就是 $26{\text{ letters}}\cdot 25{\text{ letters}}$。畢竟，你有 $26$ 個字母可以選擇，但由於不允許重複使用字母，現在你只有 $25$ 個字母可以選擇。這適用於任何 $2$ 個字母的單詞組合（AB、AC、AD、$\ldots$、BA、BC、$\ldots$、ZA、ZB、$\ldots$、ZY）。 如果你仔細想想，這種模式會持續下去。數字會變大，但它變大的方式是乘以之前的數字減去 $1$。如果你想隨機生成一個 $26$ 個字母長的單詞，其中每個字母只能使用一次，那麼 $$\underbrace {26\cdot 25\cdot 24\cdots 2\cdot 1} _{26}{\text{ words can be created from the standard English alphabet.}}$$

在示例 2.1 中，我們想要找到可以生成的 26 個字母的單詞數量，前提是每個字母只能使用一次。寫下 $\underbrace {26\cdot 25\cdot 24\cdots 2\cdot 1} _{26}$ 作為你的答案可能會有點繁瑣。但是，數學家已經找到了一種簡寫方法。

新符號。

對於任何整數 $x$ 的乘積，其中 $\underbrace {(x)\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdots 2\cdot 1} _{x}$ 為真，令 $\underbrace {(x)\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdots 2\cdot 1} _{x}=x!$，其中“！”讀作階乘。根據定義，$0!=1$。

另一種理解階乘的方式是將當前整數 $x$ 乘以 1。

為了使上述定義更清晰，這裡列舉了一些示例

$${\begin{array}{|c|c|}x!&f(x)\\\hline 2!&\underbrace {2\cdot 1} _{2}=2\\\hline 3!&\underbrace {3\cdot 2\cdot 1} _{3}=6\\\hline 4!&\underbrace {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} _{4}=24\\\hline 5!&\underbrace {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} _{5}=120\\\hline \vdots &\vdots \\\end{array}}$$

在示例 1.1 中，答案可以改寫為：
$$\underbrace {26\cdot 25\cdot 24\cdots 2\cdot 1} _{26}=26!$$

階乘符號不僅僅用於特定情況下的乘法表示，它在列出*可能性*或*排列*數量時非常有用。假設你想找出安排 4 名學生在一個小組中的方法數。將每個學生分別稱為 A、B、C 或 D，每個學生只能出現一次。以下是幾種排列方式：

• A、B、D、C
• A、B、C、D
• A、C、B、D
• A、C、D、B
• A、D、B、C
• A、D、C、B

隨著我們繼續列出每種排列方式，我們發現排列 4 個學生的方法數是$24$，它等於$4!$。這是有道理的，因為在排列中，同一個學生不能重複出現（不允許克隆！）。

假設你想找出安排 3 個學生在一個小組中的方法數。將每個學生分別稱為 B、C 或 D，每個學生只能出現一次。以下是所有學生排列方式。

• B、D、C
• B、C、D
• C、B、D
• C、D、B
• D、B、C
• D、C、B

排列 3 個學生的方法數是$6$，它等於$3!$。

從以上兩個示例中，可以清楚地看出階乘符號非常有用，因為它可以表明排列僅僅是在$n$ 種可能性之間進行選擇，然後是$(n-1)$ 種可能性，等等。

組合

示例 1.2：一所高中正在考慮組建一個由 6 名教師組成的委員會，因為學生人數不斷增加（之前：500 名學生；之後：700 名學生）。在學校的 200 名教師中，有 15 名教師有資格加入委員會。當增加 6 名教師時，可以組建多少個委員會？ 讓我們想象一下一個由 15 名教師組成的群體。我們將從 A 到 O 按順序分配給他們英文字母。讓我們不要將 6 名教師新增到委員會中，而是新增 3 名教師，這樣我們就可以瞭解情況。 在委員會中，我們不關心在桌子旁找到他們的順序，因為我們只關心他們是否在委員會中。想象一下，我們看到了三位老師，A、B 和 C。 ABC ACB CAB CBA BAC BCA 您上面看到的列表並沒有告訴我們有不同的教師，只是順序不同。但是，我們不關心順序；因此，我們必須從可能的委員會數量中排除順序，才能使答案代表委員會的概念。相同數量的教師$x$，排列方式的數量是$x!$。這就是我們“排除”的部分，我們在委員會中找到教師的順序。 最後要記住的一點是，由於我們從 $15{\text{ teachers}}$ 的一組中選擇了 $6{\text{ teachers}}$，我們排除了 $15-6{\text{ teachers}}$ 或 $9{\text{ teachers}}$ 以與我們期望的方式排列到委員會中。因此，我們必須“剔除” $(15-6)!$ 種排列這些老師的方式。由此，我們瞭解到我們可以安排 $${15! \over (15-6)!6!}={15! \over 9!\cdot 6!}=5005{\text{ teachers into the new committee.}}$$

例子 1.1 和例子 1.2 之間的一個區別是，例子 1.2 中的順序無關緊要。畢竟，無論你如何排列委員會，你都會計算任何排列，只要相同的元素在其中與其他元素相同。你不能對字母的排列那樣做，因為 AB 和 BA 不一樣。儘管如此，這個例子並非獨立。在很多情況下，無論你如何排列一組東西，可能性數量都不會增加。因此，我們需要一個公式和符號來表示這種情況。

新公式和定義。

在一個排列中，從 $n$ 個物件中選擇 $k$ 個物件，其中在計算所有可能性時，選擇的順序無關緊要，可能的排列數量由下式給出：
$${n! \over (n-k)!k!}.$$
這種給定的排列被稱為 **組合**。

組合的符號。

${n! \over (n-k)!k!}.$ 的表示方法是 ${\binom {n}{k}}$ 或 $_{n}C_{k}$，大聲讀出來是 “$n$ 選 $k$”。

我們現在離理解二項式定理又近了一步。在使用一開始學習的公式之前，我們只需要再理解幾件事。

多項式和二項式

多項式和推廣

看看下面的多項式

$2x^{2}+5x-3$

$-3x^{5}+4x^{4}+5x^{3}-6x$

${12 \over 19}x^{3}+{5 \over 3}x^{2}+{1 \over 12}x-{3 \over 2}$

以上三個多項式共同的特點是它們都是加法運算（記住，實數 $x$ 的加法逆元是 $-x$，所以 $x+(-x)=0$）。這意味著我們有一個級數。為了真正將這個概念牢記於心，我們需要繼續將多項式進行推廣。以下是對多項式的正式定義。

多項式定義。

多項式是一個項的算術級數，其中索引為 $i$ 的第 $t$ 項為 $t_{i}$。 $t_{i}=a_{i}x^{i}$ 其中 $a_{i}$ 是 $x$ 的係數，而 $i$ 是 $x$ 的冪。設 $k$ 為級數的最後一個索引和係數。一般級數 $t_{0}+t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{k+2}+t_{k+1}+t_{k}$ 的和可以表示為
$$a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{k-2}x^{k-2}+a_{k-1}x^{k-1}+a_{k}x^{k}$$

雖然這個定義看起來很複雜，但不用擔心。請記住，每個多項式都必須有度數，在本例中為 $i$。對於每個 $x$，係數是 $a_{i}$。如果 $i=0$，則 $a_{i}x^{i}=a_{0}x^{0}=1\cdot a_{0}=a_{0}$。由於 $i$ 的每次迭代都有不同的係數，一旦 $i=k$，我們就完成了對該級數的書寫。因此，每個多項式都具有相同的模式。

多項式的“簡寫”定義。

多項式是一個算術級數，其中
$${\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{i}=a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{k-2}x^{k-2}+a_{k-1}x^{k-1}+a_{k}x^{k}}$$

然而，雖然這是一個令人難以置信的數學事實，但這並不能幫助我們解決最初的問題。畢竟，我們希望能夠預測由另一個多項式相乘得到的多項式（因為二項式也是多項式）。然而，上述定義為我們提供了一個巨大的提示，可以幫助我們解決第一個問題。然而，在我們為這種情況建立一個公式之前，我們必須理解另一個概念。

帕斯卡三角形

法國數學家布萊茲·帕斯卡爾，像他之前許多數學家一樣，想要研究序列和級數的模式。然而，與我們在本華夏公益教科書中看到的多數模式不同，這種模式不是水平的，而是垂直和對角線的。我們看到的不是一維模式，而是一個二維模式。這種模式呈三角形，如下圖所示。