CLEP 代數/指數

想象一下，有一個自然數$a$，它在$b$次重複加到自身。整數$a$被稱為被乘數（被乘的東西），而$b$是乘數（你乘以被乘數的東西）。此操作的結果是積。我們將這種特殊操作，$P(a,b)$，稱為乘法，這是乘法的定義之一。

$P(a,b)=\underbrace {a+a+a+\cdots +a+a+a} _{b}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}a\cdot b=a\times b=a(b)=ab$

這個想法似乎不適用於整數。令$b\in \mathbb {Z} ^{-}$和$a\in \mathbb {Z} ^{+}$是，從現在開始被稱為，乘法函式$P(a,b)$的一部分。如果$P(a,b)=\underbrace {a+a+a+\cdots +a+a+a} _{b}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}ab$，那麼一個數如何能夠被加到自身負數次呢？

這個困境需要我們處理一個特殊情況，即 $b\in \mathbb {Z} ^{+}$ 且 $a\in \mathbb {Z} ^{-}$。假設以下情況成立：$a=-p$ 且 $b=q$，其中 $p\in \mathbb {Z} ^{+}$ 且 $q\in \mathbb {Z} ^{+}$。讓我們將這兩個變數代入我們的乘法函式。

$P(a,b)=\underbrace {a+a+a+\cdots +a+a+a} _{b}=\underbrace {(-p)+(-p)+(-p)+\cdots +(-p)+(-p)+(-p)} _{q}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}-pq$

上述定義告訴我們，只需將 $a$ 從自身減去 $b$ 次，即使 $a\in \mathbb {Z} ^{-}$ 為負數。由於 $a$ 減去了 $b$ 次，儘管它為負數。這是我們可以說負數乘以正數為負數（在整數集上）的方式之一。但是，一旦我們交換了數字的角色，這個定義就會失效。我們的下一個例子將嘗試證明我們大多數人已經知道的“定理”。

證明 1: 證明將 $a\in \mathbb {Z} ^{+}$ 乘以 $b\in \mathbb {Z} ^{-}$，或者 $x(-y)$，其中 $a=x$ 且 $b=y$，給定 $x\in \mathbb {Z} ^{+}$ 且 $y\in \mathbb {Z} ^{+}$，等價於 $-xy$. 首先，我們需要定義一個數為負數意味著什麼。這在我們證明中正式使用它之前至關重要。回想一下，負數的一個性質是它是該數大小的加法逆元。也就是說，給定一個數 $x\in \mathbb {Z} ^{+}$，它的加法逆元是 $-x$。此外，一個數必須等於它本身；這根據定義是正確的。這是等式性質，在我們建立定理時非常重要。 假設我們正在嘗試解決問題 $x(-y)+xy$。根據等式性質， (2.0.0.1) $x(-y)+xy=x(-y)+xy$ 在 (2.0.0.1) 中，注意如何 $x$ 是右邊兩項的公因子。這意味著我們可以將方程改寫為以下形式 (2.0.0.2) $x(-y)+xy=x(-y+y)$ 回想一下，我們將負數定義為逆運算。根據加法逆元性質， $-y+y=0$。因此，我們知道 $x(-y+y)=x(0)=0$。我們知道任何數乘以零都等於零，因為我們在上一章證明了這一點。因此，我們得到了一個新的性質 (2.0.0.3) $x(-y)+xy=0$ 根據等式性質的擴充套件，對等式一邊進行的操作必須對另一邊進行相同的操作。從這個整數性質，我們可以簡單地定義如下 (2.0.0.4) $x(-y)=-xy$ 由此，我們證明了正數乘以負整數等於負整數。 $\blacksquare$

類似的練習可以證明 $-x=(-1)x$ 以及 $(-x)(-y)=xy$。這兩個乘法性質使我們能夠使乘法的定義對於整數集保持不變。我們將把這兩個重要的“定理”留給讀者作為非平凡的練習。

有理數開始破壞乘法的“重複加法”概念，因為你如何部分地加一個數呢？讓我們演示一下這個問題：令 $a\in \mathbb {Q}$ 以及 $b\in \mathbb {Q}$。允許四個數被定義為一個整數，它們與另一個數互質—— $m$，$n$，$p$，$q$。令 $a={\frac {m}{n}}$ 以及 $b={\frac {p}{q}}$。如果直接應用於我們的舊定義，$P(a,b)$ 會要求我們進行一個奇怪的操作：將一個分數“分數”次地加到自身。這確實很奇怪。雖然我們不會討論我們是如何在下面確定這個正式定義的，但請記住，數學家花了不止寫下這個東西是真的才能被我們今天的詞彙接受。

$P(a,b)=ab={\frac {m}{n}}\cdot {\frac {p}{q}}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {mn}{pq}}$.

有理數的定義沒有與舊定義矛盾，因為其中每一項都是整數，因此各項的分母都是 $1$。這意味著 $ab=mn=\underbrace {a+a+a+\cdots +a+a+a} _{b}=\underbrace {m+m+m+\cdots +m+m+m} _{n}$。我們將跳過定義實數，因為它涉及引入一些純數學，除非你學習過大學代數甚至微積分，否則你將不會學到這些資訊。

這種遞迴加法定義了一個新的運算，要求我們定義越來越多的特殊情況。這種遞迴加法的思想可以擴充套件到減法（構成除法），然後是乘法本身。透過遞迴乘法，人們得到了指數的概念。正如你過去一樣，參考乘法的性質來幫助你進行運算表示式，你也會運用這些思想來學習關於指數性質的知識。

指數的定義（形式一）

正如我們在本頁引言中提到的，指數是對底數 $a$ 重複乘以自身 $p$ 次的操作。這個表示式通常讀作 $a$ **的** $p$ **次方**。使用函式 $e_{a}(p)$，其中 $a\in \mathbb {N}$ 且 $p\in \mathbb {N}$，我們可以用以下方式表示指數運算，

$e_{a}(p)=\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{p}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}a^{p}$

這將幫助我們瞭解自然數可能具有的性質。透過進一步的闡明，這個冪函式，可以說，將導致一些規則。

指數的性質（在形式一之下）

零次冪: $e_{a}(0)=1$ 當 $a>0$。

函式 $e_{a}(0)=a^{0}$ 對於非零的 $a$ 導致以下結果

$e_{a}(0)=a^{0}=1$

儘管我們可以用另一種方式來思考這個函式，但上述結果是根據定義成立的。這種思考方式將在後面給出。現在，只需簡單地認為它是正確的。

冪的乘積: $e_{a}(n)\cdot e_{a}(m)$，其中 $n,m\in \mathbb {N}$。

給定兩個指數 $e_{a}(n)=a^{n}$ 和 $e_{a}(m)=a^{m}$，將兩者相乘得到以下結果

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

證明 2: $a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$ 其中 $a,n,m\in \mathbb {N}$. 指數的這一性質可以透過使用本文中定義的指數定義來證明。根據定義， $e_{a}(n)=a^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}$ $e_{a}(m)=a^{m}=\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a\cdot a\cdot a} ^{m}$ 因此，在將兩個不同的函式相乘時， $a^{n}\cdot a^{m}=\left(\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}\right)\cdot \left(\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a\cdot a\cdot a} ^{m}\right)$ 因為有 $n$ 項被乘以 $m$ 項，其中每一項的底數都是 $a$，並且乘法是結合的，因此可以推斷出有 $n+m$ 項 $a$ 相乘在一起。因此，$$a^{n}\cdot a^{m}=\underbrace {\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}\cdot \overbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a\cdot a\cdot a} ^{m}} _{n+m}=a^{n+m}$$

冪的商: ${\frac {e_{a}(n)}{e_{a}(m)}}$ 其中 $n,m\in \mathbb {N}$.

給定兩個指數 $e_{a}(n)=a^{n}$ 和 $e_{a}(m)=a^{m}$，當 $n>m$ 時，用 $a^{m}$ 除以 $a^{n}$ 將得到以下結果

${\frac {e_{a}(n)}{e_{a}(m)}}=a^{n-m}$

證明 3：${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$ 對於 $a,n,m\in \mathbb {N}$ 和 $n>m$ 成立。 請記住，因為我們正在處理自然數，所以 $m\ngtr n$。為了使所有內容都保持在自然數範圍內，必須應用此限制。無論如何，讓我們繼續證明該屬性。根據定義， $e_{a}(n)=a^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a\cdot a\cdot a} ^{n}$ $e_{a}(m)=a^{m}=\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{m}$ 在將這兩個不同的函式相除時， ${\frac {e_{a}(n)}{e_{a}(m)}}={\frac {\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a\cdot a\cdot a} ^{n}}{\underbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} _{m}}}$ 因為有 $n$ 個被 $m$ 個 $a$ 相除的項，其中每個項的底數都是 $a$，並且逆運算的乘法是結合的，因此可以推斷出除法後有 $n-m$ 個 $a$。這可以透過以下操作進一步說明：所有紅色的項都被抵消了，剩下的就是沒有被抵消的項，即 $n-m$ 個。 ${\frac {e_{a}(n)}{e_{a}(m)}}={\frac {{\color {red}\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{m}}\cdot \overbrace {a\cdot a\cdots a} ^{n-m}}{\color {red}\underbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} _{m}}}$ ${\frac {e_{a}(n)}{e_{a}(m)}}=\overbrace {a\cdot a\cdots a} ^{n-m}$ 因此，$${\frac {a^{n}}{a^{m}}}={\frac {\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a\cdot a\cdot a} ^{n}}{\underbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} _{m}}}=\overbrace {a\cdot a\cdots a} ^{n-m}=a^{n-m}$$

冪的冪：$\left(e_{a}(n)\right)^{m}$ 其中 $n,m\in \mathbb {N}$。

給定指數運算 $e_{a}(n)=a^{n}$，對於任何 $n,m\in \mathbb {N}$ 使得 $n,m>0$

$\left(e_{a}(n)\right)^{m}=\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n\cdot m}$.

對於任何導致 $n\cdot m=0$ 的運算，都有 $a\neq 0$.

證明 4: $\left(e_{a}(n)\right)^{m}=\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n\cdot m}$ 對於 $a,n,m\in \mathbb {N}$ 且 $n,m>0$. 倒數第二條規則背後的直覺相當複雜。請務必仔細閱讀。 $e_{a}(n)=a^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}$ $e_{b}(m)=b^{m}=\overbrace {b\cdot b\cdot b\cdots b\cdot b\cdot b} ^{m}$ 如果 $b=a^{n}$，那麼 $e_{a^{n}}(m)=\left(a^{n}\right)^{m}$。根據上面的第二點 $e_{a^{n}}(m)=\left(a^{n}\right)^{m}=\overbrace {a^{n}\cdot a^{n}\cdot a^{n}\cdots a^{n}\cdot a^{n}\cdot a^{n}} ^{m}=\overbrace {\left(\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}\right)\cdots \left(\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}\right)} ^{m}$ 請仔細注意此操作告訴我們的內容：存在$n$個常數$a$自乘，此操作重複$m$次。因為$n$個$a$的因子被再次自乘作為其操作$m$次，總共有$n\cdot m$個這樣的因子。因此：$$\left(a^{n}\right)^{m}=\overbrace {a^{n}\cdot a^{n}\cdot a^{n}\cdots a^{n}\cdot a^{n}\cdot a^{n}} ^{m}=\overbrace {\left(\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}\right)\cdots \left(\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}\right)} ^{m}=a^{n\cdot m}$$

底數的倍數：$e_{ab}(n)$，其中$a,b,n\in \mathbb {N}$。

給定指數運算$e_{ab}(n)=(ab)^{n}$，對於任何$a,b,n\in \mathbb {N}$

$e_{ab}(n)=a^{n}b^{n}$.

證明 5：$e_{ab}(n)=a^{n}b^{n}$ 對於$a,b,n\in \mathbb {N}$。 這將是本章中最簡單的證明。只需要指數的定義；具體來說，就是說明該運算只是重複的乘法。我們給出以下內容 $e_{ab}(n)=(ab)^{n}=\overbrace {ab\cdot ab\cdots ab\cdot ab} ^{n}$ 因為乘法是結合的， $\overbrace {ab\cdot ab\cdots ab\cdot ab} ^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}\cdot \overbrace {b\cdot b\cdots b\cdot b} ^{n}$ 由此我們得知 $$(ab)^{n}=\overbrace {ab\cdot ab\cdots ab\cdot ab} ^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdots a\cdot a} ^{n}\cdot \overbrace {b\cdot b\cdots b\cdot b} ^{n}=a^{n}b^{n}$$