CLEP 代數/多項式

多項式

多項式 是包含任意數量的變數和常數的表示式。變數透過加、減和乘來組合。變數本身可以被提高到正整數冪。

型別

單項式 是任意數量的變數的乘積，每個變數都提高到任何正整數冪。因此，單項式不包含加法或減法。單項式可以乘以常數。

這些都是單項式

$25x^{2}$
$7xyz^{3}$
$x$

二項式 是兩個單項式的和。

$x+y$
$3x^{2}y-z^{5}$
$2z+5$

三項式 是三個單項式的和（或一個二項式和一個單項式）。

$x^{2}+4x+4$
$x^{2}+xy+y^{2}$
$5x+4y-8z$

簡化

簡化多項式（或“合併同類項”）是將多項式簡化為最簡形式的過程。項前的數字是該項的係數。將具有相同變數組合的項的係數加減。也就是說，將同類項的係數加減。

為了便於單項式的交流，我們通常使用以下約定：將每個項的變數按字母順序排列，並使用指數表示法，以便每個字母在每個項中只出現一次。我們喜歡將數字（數值係數）放在項的開頭。

如果每個項都以這種方式表達，我們就可以快速識別同類項。兩個項是“同類項”，如果當您遮住每個項的係數時，其餘的項彼此相同。

我們不能合併“不同類”項。也就是說，我們把它們單獨保留。

$3x+5y+7x+2=(3+7)x+5y+2=10x+5y+2$
$4x^{2}-2x-x^{2}+x+4+x=(4+-1)x^{2}+(-2+1+1)x+4=3x^{2}+4$

多項式必須在被分類為單項式/二項式/三項式/多項式之前進行簡化。

次數

我們可以討論一個項的次數，或者一個多項式在某個變數上的次數。在這個語境下，我用 "多項式" 來包括單項式、二項式和三項式。

大多數情況下，我們討論的是隻包含一個變數的多項式的次數。在這種情況下，單個項的次數就是該項中變數的指數。例如

$-5=-5x^{0}$ 的次數是零。
$4x=4x^{1}$ 的次數是一。
$-12x^{5}$ 的次數是五。

對於單個變數的多項式，多項式的次數是在該變數上出現的最大指數。 $6-2x^{3}+12x+50x^{2}$ 的次數是三。

要找到多項式的最高次項係數，找出具有最大次數的項的數字係數。 $6-2x^{3}+12x+50x^{2}$ 的最高次項係數是負二。
(記住， $6-2x^{3}+12x+50x^{2}=6+-2x^{3}+12x+50x^{2}$ .)

為了方便，我們經常喜歡按升序或降序排列多項式。升序意味著項的次數隨著你從左到右的移動而升高（變大）
而降序意味著項的次數隨著你從左到右的移動而下降（變小）。當我們寫 $6-2x^{3}+12x+50x^{2}$
按降序排列，我們得到 $-2x^{3}+50x^{2}+12x+6$ .

如果一個多項式按降序排列，那麼多項式的次數就是第一項的次數，最高次項係數就是前面的數字。

檢查你的理解

注意：這些問題很簡單 - 它們不是 CLEP 型別的問題。因此，將這些問題視為可以判斷你是否理解基本知識的問題。

下面 1-2 題涉及以下表達式：

2x^{2}-5x+x^{3}+2\left(5-x^{2}\right)

.

	多項式
	三項式
	二項式
	單項式

以下第 3-4 題都與以下表達式有關：

\left({\frac {50x^{-2}y^{4}}{5xyz}}\right)^{0}\left({\frac {5x^{-9}}{10x^{4}}}\right)^{4}

，其中

x\neq 0

。

	多項式
	三項式
	二項式
	單項式

如果你能正確地回答所有這些問題。你理解了這一部分，可以繼續進行。

因式分解

公因式

因式分解多項式涉及找出公因式。就像之前我們對實數進行因式分解一樣，我們對二項式、三項式和其他多項式應用相同的思想。我們假設你不知道如何對變數進行因式分解，因此我們將透過將問題分解成越來越小的部分來介紹這個概念，以 *進一步理解* 以下示例問題。對於那些知道如何做到這一點的人來說，這可能顯得有點過分，但完全理解這些型別的問題的含義很重要。另外，在數學中，當問題非常困難時，你會把它分解成更容易的部分，直到你最終能夠解決這個大難題。

**示例 2.1.a**：對錶達式

x^{8}+x^{5}

進行因式分解。

注意，表示式中的每一項都包含一個 $x$ ，沒有係數。如果你沒有記住指數法則，請務必記住！記住這些法則可以簡化過程。當將兩個項相乘時，例如 $a^{p}a^{q}$ ，表示式的結果是 $a^{p+q}$ 。因此，你需要找到一些 $x^{n}$ ，當它被分配到括號中的每一項時，你將得到上面相同的表示式。現在讓我們來建立一下

x^{n}\left(x^{a}+x^{b}\right)

.

雖然這看起來像是一種複雜的方式，但實際上你所要求的只是一個簡單的任務。簡而言之， $x^{n}\left(x^{a}+x^{b}\right)=x^{n}x^{a}+x^{n}x^{b}$ 。因為 $a^{p}a^{q}=a^{p+q}$ ， $x^{n}x^{a}+x^{n}x^{b}$ 中的每一項都具有相同的基本結構。所以，

x^{n+a}+x^{n+b}

.

這裡，我們得到了問題實際要求我們弄清楚的內容： $x^{n+a}+x^{n+b}=x^{8}+x^{5}$ 。因為 $x$ 始終等於自身，但指數不同，我們可以進一步重寫問題，如下所示

{\begin{cases}n+a=8\\n+b=5\end{cases}}

由於 $n$ 在方程組中出現了兩次，所以消除 $n$ 會更容易。在這種情況下，將方程 (2) 乘以 $-1$ 。然後，將方程 (1) 加到方程 (2) 上。

(3):

a-b=3

你可以繼續往下做，但是你會發現一些殘酷的真相，而且你可能沒有時間浪費在完成所有事情上。如果你想證明你正在做的事情是徒勞的，請閱讀註釋。^{[註釋 1.]} 大多數問題在對錶達式進行因式分解時，只是為了使方程 (3) 易於求解。也就是說，令 $b=0$ 。從那裡開始

a-(0)=3

a=3

因為我們允許這兩個真相存在，所以我們可以將這兩個值代入系統中，發現 $n=5$ 。這個選擇非常隨意（如果你讀了註釋 1，你就會明白）。儘管如此，這正是大多數問題在對沒有係數的表示式進行因式分解時希望你做的事情。允許 $n$ 等於表示式中最小冪值。無論哪種方式

x^{5+3}+x^{5+0}=x^{8}+x^{5}

x^{5}x^{3}+x^{5}x^{0}=x^{5}\left(x^{3}+1\right)=x^{8}+x^{5}\blacksquare

.

你應該學到的最重要的真相是，對沒有係數的表示式進行因式分解時，實際上是在被要求找到最大公因數，而你可以透過將問題中的變數因式分解為最小冪值（用 ${\color {Red}{\text{red}}}$ 突出顯示）來完成。以下是一些示例

$b^{18}+b^{3}-b^{\color {Red}2}=b^{2}\left(b^{16}+b-1\right)$
$x^{8}+x^{5}+x^{\color {Red}4}=x^{4}\left(x^{4}+x+1\right)$
$z^{6}+z^{\color {Red}3}=z^{3}\left(z^{3}+1\right)$
$p^{\frac {1}{3}}+p^{\color {Red}{\frac {1}{4}}}=p^{\frac {1}{4}}\left(p^{\frac {4}{3}}+1\right)$

但是，當涉及係數時，分解會更復雜一些，但原理是一樣的。

例 2.1.b：分解表示式

42x^{3}+12x^{2}+24x

.

這裡，我們應該先關注指數前的係數。如果我們要這樣做，我們首先要分析這個小問題

{\text{GCF}}(42,12,24)

.

如果你注意到（或使用計算器），這些數字的最大公因數是 $6$ 。讓我們將它分解到表示式中

6\left(7x^{3}+2x^{2}+4x\right)

如果你分解係數，它們不應該影響結果，因為根據結合律，當將表示式 $\left(ca^{p}\right)a^{q}$ 相乘時，其中 $c$ 是一個常數，有 $\left(ca^{p}\right)a^{q}=c\left(a^{p}a^{q}\right)$ 。從那裡，用一個常數乘以一項並不重要： $c\left(a^{p}a^{q}\right)=c\left(a^{p+q}\right)=ca^{p+q}$ 。*

因此，我們可以應用我們在例 2.1.a 中發現的相同的一般規則： $42x^{3}+12x^{2}+24x=6x(7x^{2}+2x+4)\blacksquare$

*即使另一個值乘以另一個任意常數

d

，只要交換律成立，

\left(ca^{p}\right)\left(da^{q}\right)=ca^{p}da^{q}=cda^{p}a^{q}=cda^{p+q}

.

上面概述的這個過程似乎適用於任何多項式。讓我們在一些例子上試試

$3b^{18}+12b^{3}-6b^{2}=3b^{2}\left(b^{16}+4b-2\right)$
$12x^{8}+{\frac {1}{16}}x^{5}-{\frac {1}{4}}=4\left(3x^{8}+{\frac {1}{64}}x^{5}-{\frac {1}{16}}\right)$
$6z^{6}4z^{3}+2=2\left(3z^{6}+2z^{3}+1\right)$

我們現在可以將從這兩個問題中學到的資訊綜合起來，概述一個一般性的過程

分解任何具有公因式的多項式（步驟）

給定一個具有係數和變數的多項式，應遵循以下步驟。

找到每個係數的最大公因數。
如果沒有常數（沒有變數附加的值），將變數分解到表示式中的最低次冪值。如果有常數，只需將最大公因數保留在括號之外。

您現在可以完全分解任何具有公因式的表示式。

分組

當整個多項式沒有貫穿始終的公因式時，您可以透過分組來分解。當透過分組分解時，您需要將多項式分成兩個二項式。

例 2.2.a：分解表示式

x^{3}+x^{2}+2x+4

.

在我們分組之前，我們需要快速檢查一下，看看我們是否可以使用括號外的單個項來分解整個表示式。如果 "4" 不是一個常數，我們可以使用步驟二中的過程來分解表示式。另一件事是 ${\text{GCF}}\left(1,1,2,4\right)=1$ ，如果我們要分解，這意味著我們將同一個東西乘以 1，這不是很有用。

那我們該怎麼辦呢？我們可以透過將表示式中具有相似之處的部分放在一起進行分組分解。這比做起來更難解釋，所以跟著我們一起做。首先，我們將重新寫表示式。但是，我們將用兩種顏色組來重新繪製表示式，紅色和綠色

{\color {Red}x^{3}+x^{2}}+{\color {Green}2x+4}

.

首先，我們將分解紅色部分， ${\color {Red}x^{3}+x^{2}}$ 。請注意，表示式這部分有一個公因式 $x^{2}$ 。將該部分分解出來，並放在一邊

x^{3}+x^{2}

\Rightarrow {\color {Red}x^{2}\left(x+1\right)}

從這裡，我們將多項式中的第二個二項式（綠色）分組： ${\color {Green}2x+4}$ 。注意公因子是 $2$ ，所以將這一部分進行因式分解。

2x+4

\Rightarrow {\color {Green}2\left(x+4\right)}

將這兩個分解的部分放在一起，畢竟它們是同一個表示式的部分。

{\color {Red}x^{3}+x^{2}}+{\color {Green}2x+4}

.

\Rightarrow {\color {Red}x^{2}\left(x+1\right)}+{\color {Green}2\left(x+4\right)}\blacksquare

.

現在你已經完成了。這個概念很簡單，儘管有些問題可能比其他問題稍微難一些。

請注意，我們對兩個二項式進行了因式分解。如果我們對一個三項式和一個二項式進行因式分解，它會奏效嗎？我們稍後會解答這個問題。現在，嘗試下面下一個問題，在這個問題中，我們將具有不同變數的多項式分組。

示例 2.2.b：分解表示式

x^{2}y^{3}+2x^{2}y+4xy^{3}+8xy

。

和之前一樣，我們需要進行快速檢查，看看是否可以用括號外的單個項分解整個表示式。首先， ${\text{GCF}}\left(1,2,4,8\right)=1$ ，這意味著如果我們進行因式分解，我們將用 1 乘以同一個東西，這並沒有什麼幫助。然而，由於表示式中以某種形式存在 $xy$ ，我們可以像這樣分解整個表示式。

xy\left(xy^{2}+2x+4y^{2}+8\right)

.

然而，我們還沒有完成。請注意，你仍然可以將括號內的多項式與公項分組。 $xy$ 似乎會使問題變得複雜；然而，你可以簡單地忽略它，並說你正在處理括號內的部分。如果你在紙上或螢幕上出現太多東西時很容易感到困惑，忽略它們可能會有所幫助，但一定要回到它們。讓我們以與示例 2.2.a相同的方式重寫括號內的表示式。

{\color {Red}xy^{2}+2x}+{\color {Green}4y^{2}+8}

.

觀察紅色項 $\left({\color {Red}xy^{2}+2x}\right)$ ，兩項有公因式 $x$ ，並且 ${\text{GCF}}\left(1,2\right)=1$ ，所以我們將 $1x=x$ 提取到紅色項之外

\left(xy^{2}+2x\right)

{\color {Red}x\left(y^{2}+2\right)}

和之前一樣，我們來處理綠色項 ${\color {Green}4y^{2}+8}$ 。首先觀察係數和常數項： ${\text{GCF}}\left(4,8\right)=4$ 。我們找到了一個公因式！根據常數的定義，它沒有變數，因此沒有可以提取的公因式。因此，我們可以對這一部分進行因式分解

4y^{2}+8

.

{\color {Green}4\left(y^{2}+2\right)}

.

最後，把所有東西都放在一起，包括我們在問題的大部分時間裡忽略的 $xy$ 項。為了避免混淆讀者，紅色和綠色部分將放在方括號 "[]" 中

xy\left[{\color {Red}x\left(y^{2}+2\right)}+{\color {Green}4\left(y^{2}+2\right)}\right]

.

對於更細心的讀者，您可能已經注意到 $y^{2}+2$ 被乘到方括號內的每一項上。如果您沒有看到這一點，令 $y^{2}+2=C$ 。如果我們將方括號裡面的部分替換為以下形式（我們忽略了顏色，因為它們對於這部分問題來說是不必要的）

xy\left(xC+4C\right){\text{,}}

我們會注意到每一項都乘以 C，C 是表示式的公因式，需要分離出來

xy\left[C\left(x+4\right)\right]

.

記住我們令 $y^{2}+2=C$ ，我們將它代入並得到

xy\left[\left(y^{2}+2\right)\left(x+4\right)\right]

.

最後，由於結合律，我們可以忽略大括號（但保留括號，因為括號內的任何內容必須在乘法之前先運算）

xy\left(y^{2}+2\right)\left(x+4\right)\blacksquare

這個問題比預期要複雜一些。是否有更簡單的方法來解決綠色和紅色的部分？是的，它被稱為 **F.O.I.L**（首項，外項，內項，末項）方法。以下是我們所說的箔片（見右）

Two binomials is multiplied to form a polynomial whereby the first terms of the parentheses are multiplied, then the outsides, then insides, then lasts. — 由 Brandenads (talk) - 公共領域，歸 Brandenade 所有並歸屬。

透過記住箔片方法，我們可以 *向後移動* 並解決這個問題： $xy^{2}+2x+4y^{2}+8$ .

我們知道我們用沒有係數的“首項”相乘。這更容易

\left(x+\right)\left(y^{2}+\right)

.

從那裡我們去“外項”。我們看到第一個項 ** $x$ ** 是第二個項的倍數， $2x$ ，在第一個二項式中。所以我們得到

\left(x+\right)\left(y^{2}+2\right)

.

接下來，“內項”：我們看到 ** $y^{2}$ ** 是 $4$ 的倍數。因此，我們得到

$(x+4)(y^{2}+2)$

事實上，我們已經完成了。注意“末項”是 $4\cdot 2$ ，它給了我們 $8$ ，它是多項式的最後一項。

請記住，這個技巧並不總是奏效，因為中間項通常最終具有相同的公變數並被簡化。從第一項開始，然後轉到最後一項會很有幫助。如果你能得到這兩項，你應該能夠找到中間項。需要注意的另一件事是，我們必須對 $xy$ 進行因式分解，以使此方法有效。雖然可能可以透過這種方式完成原始問題，但在最後一項沒有任何變數的情況下使用 FOIL 方法要容易得多。在我們進入下一節之前，我們必須回答在本節開頭提出的最後一個緊迫問題。

分組分解：三項式，然後是二項式？ 這個問題對於好奇的學生來說是至關重要的。讓我們使用 示例 2.2.a 來嘗試一下。

x^{3}+x^{2}+2x+4

.

讓我們對三項式進行因式分解： $x^{3}+x^{2}+2x=x\left(x^{2}+x+2\right)$ 。接下來，對單項式進行因式分解： $4=2\left(2\right)$ 。現在將它們放在一起。

x\left(x^{2}+x+2\right)+2\left(2\right)

.

它似乎在功能上與以前相同。事實上，它給了你相同的答案。這應該是有道理的，因為你如何分組任何東西都不會改變答案（記住，結合律）。然而，將多項式分解成兩個二項式是標準的數學語法。由於 CLEP 考試是選擇題，因此應該很容易判斷問題要求你做什麼。無論哪種方式，我們都再次為你概述了一個過程。

分解任何沒有公因式的多項式（步驟）

給定一個具有係數和變數的多項式，應遵循以下步驟。

找到每個係數的最大公因數。
如果沒有常數（沒有變數附加的值），將變數分解到表示式中的最低次冪值。如果有常數，只需將最大公因數保留在括號之外。
將多項式分成兩個二項式，並將步驟 1 和 2 應用於不同的分組。分別對兩個分組執行此操作。
在完全分解兩個二項式後。將它們放在一起。如果兩個組合的二項式存在公因式，則對它們進行因式分解。

上面概述的步驟在 示例 2.2.b 中得到了最佳演示，並且它確實有一個新內容：分組分解。只需回顧一下該示例，並將每個步驟都應用到該多項式上。完成這些步驟後，你就完全理解了多項式分組。

三項式

從分解較大的表示式開始，然後回到三項式，這似乎很奇怪。然而，本書的安排方式是有原因的。三項式分解可能是最終解決涉及大於 1 次的方程式的過程中最困難的部分。然而，這個困難的概念對於大學代數學生來說是必要的，特別是對於“分解”部分的接下來的兩節。

與以前一樣，我們將透過探索數學家可能首先發現用來解決問題的技術的結果和行為來介紹這個概念。首先，讓我們應用我們的演算法，看看它是否適用於像這樣的問題。

示例 2.3.a：分解表示式

x^{2}+x-2

。

${\text{GCF}}(1,1,-2)=1$ .
我們只能對 $x^{0}=1$ 進行因式分解以獲得以下表達式。
???
???

注意我們的演算法在步驟 3 和 4 中是如何混亂的。它應該這樣，因為我們的演算法假設我們正在進行分組分解，而分組分解並不總是適用於所有情況，例如這種情況。但是，我們可以“強迫”演算法適應這種情況。例如，我們可以嘗試將中間項分成兩個項。也就是說，我們設定 $x=(f_{1}+f_{2})x=f_{1}x+f_{2}x$ ，其中

(3.2.3.1) $f_{1}+f_{2}=1$

但是，如果我們要從這裡有所進展，我們希望中間項具有公因式。這是一個有趣的困境！

我們的最終目標是使用我們之前在上述三項式中使用的演算法來獲得因式分解的形式，使得以下等式成立

${\begin{aligned}x^{2}+x-2&=x^{2}+f_{1}x+f_{2}x-2\\&=x(x+f_{1})+c(x+f_{1})&{\text{where }}c{\text{ is some constant multiple.}}\\&=(x+c)(x+f_{1})\end{aligned}}$

然而，請注意我們是如何得到這個結果的。如果我們想要將它進行因式分解，那麼 $(x+f_{1})$ 必須是這個三項式的因式。問題是， $c$ 是什麼？這是最終的問題。為了回答這個問題，我們需要仔細分析該演算法的應用。由於 $f_{2}x-2$ 被歸為一組，我們想要找到 $x$ 和 $-2$ 的最大公因數。最終，這意味著 $f_{2}$ 是該分組表示式的最大因數。否則，就不可能得到 $(x+f_{1})$ 作為該表示式的因式。

因此， $c=f_{2}$ 。這告訴我們關於對上述表示式進行因式分解的一個非常重要的真理

(3.2.3.2) $f_{1}f_{2}=-2$

這是應用我們演算法的結果！利用我們所知道的，讓我們根據我們所知道的重寫上述問題： $x^{2}+x-2=x^{2}+(f_{1}+f_{2})x-f_{1}f{2}$ ，其中 $-2=f_{1}f_{2}$ 並且 $1=f_{1}+f_{2}$ 。看看這個！我們可以使用方程組！

{\begin{cases}1=f_{1}+f_{2}\\-2=f_{1}f_{2}\end{cases}}

為了節省時間，我們將跳過尋找這些因子的過程。這可以透過“猜測和檢查”輕鬆完成，但稍後將解釋一種尋找該因子的方法。現在，當我們告訴你因子是 $f_{1}=-1$ 和 $f_{2}=2$ 時，請感謝我們。

利用這個結果，我們現在可以明確地使用與之前相同的演算法，但透過對我們正在求解的基礎表示式進行一些“調整”或調整。以下是實際操作的過程

{\begin{aligned}x^{2}+x-2&=x^{2}-x+2x-2\\&=x(x+1)-2(x+1)\\&=(x-2)(x+1)\blacksquare \end{aligned}}

示例 2.3.a 向我們展示了一種在全世界範圍內教授的非常重要的演算法。它被稱為 ac 方法 或 菱形方法，我們將在下面概述其步驟。

三項式因式分解的 ac 方法

給定一個形式為 $ax^{2}+bx+c$ 的三項式，其中 $a\neq 0$ ，應遵循以下步驟。

找到每個係數的最大公因數。
如果沒有常數（沒有變數附加的值），將變數分解到表示式中的最低次冪值。如果有常數，只需將最大公因數保留在括號之外。
找到兩個值 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ ，使得 $ac=f_{1}f_{2}$ 並且 $b=f_{1}+f_{2}$ 。
將三項式改寫為 $ax^{2}+f_{1}x+f_{2}x+c$ 的形式；然後，將多項式分成兩個二項式，並將步驟 1 和 2 應用於不同的分組。分別對這兩個分組執行此操作。
在完全分解兩個二項式後。將它們放在一起。如果兩個組合的二項式存在公因式，則對它們進行因式分解。

你應該已經意識到，ac 方法是分組分解方法的修改版本。這就是我們決定稍後展示三項式因式分解的原因，因為所涉及的工作實際上超出了你對精心設計的多項式所期望的範圍。

【稍後將新增更多示例。】

兩平方差

在我們因式分解之旅中，我們嘗試分解通常不常見的通用表示式。儘管如此，仍然存在一種幾乎總是有效的程式。類似地，在某些特殊情況下存在一個公式。希望這本華夏公益教科書能讓你理解為什麼公式是這樣的，這樣你就不必僅僅盲目地應用一些看似無關的關係。

完全平方/立方

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