CLEP 代數/數列與級數

在數學中，尋找模式非常重要。這就是數學家幾乎每天都在做的事情。他們如何確定模式取決於他們所從事數學型別的不同。對於大學代數來說，確定模式是課程的一部分。下面的問題展示了一種確定這些模式的方法。請記住，下面的問題是一個探索，可能不代表你可能在 CLEP 大學代數考試中看到的題目型別。

探索 0-1：想象一下標準英文字母表在一頁紙上，按順序從左到右排列。在標準英文字母表最後一個字母 ${\text{Z}}$ 後，定義一個新的字母 ${\text{AA}}$ 將新增到標準英文字母表中。繼續像往常一樣列出字母表 (${\text{AB}},\,{\text{AC}},\,\ldots ,\,{\text{BA}},\,{\text{BB}},\ldots$) 直到得到字母 ${\text{ZZ}}$，這個“新字母表”的最後一個字母。假設字母 ${\text{A}}$ 被定義為這個“新字母表”中的第一個字母。你會在“新字母表”的哪個位置找到字母 ${\text{HY}}$？

在標準英文字母表中，共有 $26$ 個字母。讓我們將所有字母 A-Z 的列表定義為“舊字母表”。

將字母 ${\text{A}}$ 連線到 ${\text{A}}$ 將給我們一個新的字母 ${\text{AA}}$。將其新增到“舊字母表”中顯然不再是舊集合，因此讓我們將你向舊字母表中新增新字母的字母表定義為“新字母表”。這個集合中有多少個新字母？好吧，從“舊字母表”中的每個字母都需要另外加一個字母才能構成“新字母表”。因此，對於每個字母來說，$26$ 個字母被新增到舊字母表中（例如，字母“A”將具有字母“A”、“B”、“C”，...，“Z”連線到“A”，因此每個字母都添加了 26 個字母“舊字母表”）。由於每個字母都被使用，因此在“新字母表”中正好建立了 $26^{2}{\text{ new letters}}$。下面的圖可能有助於說明這個新事實。

$${26{\begin{cases}\overbrace {AA,\,AB,\,AC,\ldots ,\,AY,\,AZ} ^{26}\\\overbrace {BA,\,BB,\,BC,\ldots ,\,BY,\,BZ} ^{26}\\{\text{ }}\qquad \qquad \quad \;\;\vdots \\\overbrace {YA,\,YB,\,YC,\ldots ,\,YY,\,YZ} ^{26}\\\overbrace {ZA,\,ZB,\,ZC,\ldots ,\,ZY,\,ZZ} ^{26}\end{cases}}}\!$$

左邊的花括號告訴我們“舊字母表”中有多少個字母；每行上面的花括號告訴我們每增加一個字母會生成多少個新字母。由於每個“舊字母表”字母都會生成 26 個字母，所以將所有新生成的字母新增到“新字母表”的這個子集中。由於有 $26$ 行，每行生成 $26$ 個新字母，
$${\underbrace {26+26+26+...+26+26} _{26}=26\cdot 26=26^{2}=676{\text{ letters in the subset of the New Alphabet.}}}$$

記住，在上面的圖形中，“舊字母表”中還有 26 個其他字母未包括。因此，將 26 加到上面的答案，得到“新字母表”中的字母總數。

既然我們知道“新字母表”中的字母總數，我們可以找出字母 HY 在“新字母表”的這個子集中所處的位置。首先，字母 H 的位置是 $8$。其次，字母 Y 的位置是 $25$。由於上面的圖形顯示的是表格，所以我們可以透過查詢該“座標”來找到 HY。由於 HY 的位置包含該區域中所有項，所以我們可以將這兩個值相乘得到面積（即它是一個包含所有這些字母的矩形）。然而，這不是最終答案。請注意，我們透過在該塊和子集中相乘，排除了 $7+26$ 個其他字母；因此，字母 ${\text{HY}}$ 的位置是

$$8\cdot 25+(7+26)=233.$$

我們在上面的問題中做了什麼？從本質上講，我們只是試圖找到某個“項”在列表中的位置。看到數學試圖在列表中找到某個“項”的位置，你是否感到好奇？我們作為數學家會遇到這些問題，因為“數字列表”中潛在的模式可以幫助我們確定數學的新事實。畢竟，我們在使用函式時做了什麼？我們試圖使用模式（函式）來找到一個數字。然而，與前幾節不同的是，我們沒有給出公式。幸運的是，為給定的“數字列表”建立公式並不難。在我們深入探討這些新問題之前，建立一些定義很有幫助。

定義。

**序列**是指按照一定模式排列的元素列表，例如數字、圖形或字母。

序列中的物件。

**項**是指序列中出現的元素。

在我們嘗試解決一些問題之前，先要說明一些免責宣告。首先，一個數列可以沒有任何規律。但是，為了我們的目的，我們將不考慮任何沒有規律的數字列表。其次，即使在簡單的數列中，任何型別的數字，如果它們遵循數列規則，都可以被命名。例如，這裡有一個數列，其規則是列出質數：${\left\{{\mathit {2}},{\mathit {3}},{\mathit {5}},{\mathit {7}},{\mathit {11}},\ldots \right\}}$ 如果你像大多數人一樣，你可能會按順序說出質數。但是，你也可以這樣完成這個數列：${\left\{{\mathit {2}},{\mathit {3}},{\mathit {5}},{\mathit {7}},{\mathit {11}},{\mathit {13}},{\mathit {23}},{\mathit {2011}},{\mathit {(2^{82,589,933}-1)}},\ldots \right\}}$ 為了我們標準化的目的，我們將按照一個模式，說明你必須先找到哪個數字，或者確定模式。

讓我們開始探索數列與級數的世界。

數列

如你所知，一個數列是一個通常遵循某種模式的物件列表。然而，所描述的模式型別將把數列分類為等差數列或等比數列。在接下來的章節中，我們將深入探討每種型別。

等差數列

項的位置。

一個索引是數列中一個項的位置，通常用$i$或$k$表示。

等差數列的定義。

一個等差數列是一個數列${\left\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k},x_{k+1},\ldots \right\}}$，其中一個新增的實數$d$，稱為公差，被加到每個連續的項上，除了第一個項$x_{1}$，使得這個數列以一對一的方式形成${\left\{x_{1},x_{1}+d,x_{1}+2d,x_{1}+3d,\ldots \right\}}$。

舉個例子，也許可以幫助您理解上面的正式定義：序列 ${\left\{2,4,6,8,10,\ldots \right\}}$ 與一般序列 ${\left\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},\ldots \right\}}$ 存在一一對應關係，因為第一項 $x_{1}=2$，第二項 $x_{2}=4$，第三項 $x_{3}=6$，以此類推。差值是在每項之前加上的值以獲得新項的值。對於 $x_{2}$，$x_{1}+d=x_{2}$ 或者 $2+d=4$。求解 $d$ 是兩項之差。在這個例子中，差值為 $d=2$。這就是我們定義等差數列的方式。

遞推公式

很多時候，我們希望使用公式來生成序列（畢竟我們是數學家，我們喜歡研究序列，看看是否存在任何一般規律）。如果我們想找到 $x_{i}$，我們可以使用以下公式

$$x_{i}=x_{i-1}+d.$$

但是，上面的公式可以描述任何具有該一般模式的序列。為了解決這個問題，我們在使用上面的公式時需要描述第一項。有兩種方法可以描述這個公式

1. 我們用水平方式劃分： $x_{1}=a;x_{i}=x_{i-1}+d$.
2. 我們用垂直方式劃分： ${\begin{cases}x_{1}=a\\x_{i}=x_{i-1}+d\end{cases}}$

為了節省空間，在本維基百科中，我們將使用水平方式劃分等差數列的公式。

在公式中，第一項與一個方程一起確定，在該方程中，前一項加上 $d$ 來獲得下一項，稱為遞推公式。

遞推公式是一個描述如何透過給出序列的起始值或值以及每個前一項或項，並向每個後續項新增差值 $d$，來獲得序列中一項或多項的公式。

等差數列的遞推公式

給定一個初始值 $a$ 和常數差 $d$，等差數列中的第 $i$^th 項由數列中的前 $(i-1)$^th 項給出

$x_{1}=a;x_{i}=x_{i-1}+d$ 或者

${\begin{cases}x_{1}=a\\x_{i}=x_{i-1}+d\end{cases}}$

示例 1.1.1.a：求等差數列 ${\left\{19,18.25,17.5,16.75,16,\ldots \right\}}$ 中的第 $7$th 項。 為了確定下一項，我們首先需要找到差值 $d$。請注意，等差數列的下一項將加上 $d$ 到前一項。由於這是等差數列的工作原理，$19+d=18.25$ 是找到兩項之間差值的有效方法。求解 $d$，我們發現常數差為 $d=-{3 \over 4}=-0.75$。由於每個給定項在數列中的差值都相同，我們可以透過新增 $d=-0.75$ 到 $16$ 來找到第 7th 項，結果為 $16-0.75=15.25$。最後，將 $d$ 新增到下一項以得到最終答案 $$15.25-0.75=14.5.$$

有許多原因說明為什麼遞迴公式更重要。它並不總是很慢；它可能更容易理解。下一個例子說明了為什麼這正是事實

示例 1.1.1.b：寫出數列 ${\left\{1,1,2,3,5,7,13,\ldots \right\}}$ 的遞迴公式。 可能許多人已經熟悉這個著名的模式，即斐波那契數列。對於那些不瞭解這個數列的人來說，我們透過使用前兩項並將其相加來確定下一項。用我們的表示法，我們可以說索引為$i$ 的項$a$，$a_{i}$ 等於 $a_{i-2}+a_{i-1}$。然而，請記住，我們還沒有完成。如果一位數學家看到數列 ${\left\{2,4,6,10,16,26,42,\ldots \right\}}$，他（或她）會確定 $a_{i}=a_{i-2}+a_{i-1}$ 也可以描述這個數列。因此，我們必須列出前兩項，因為僅列出第一項將無法讓我們得到下一項。這意味著我們的最終答案是 $$a_{1}=1,a_{2}=1;a_{i}=a_{i-2}+a_{i-1}.$$

請注意，示例 1.1.b 不是等差數列的示例。您的下一個探索將是確定為什麼這是真的。除此之外，您將使用您的批判性思維能力在隨後的探索中贊成或反對某些事情。

探索 1-1：解釋為什麼斐波那契數列不被認為是等差數列。確定如何改變斐波那契數列的公式，使其成為等差遞迴公式；解釋為什麼必須以這種方式編寫公式。

索引為$i$ 的項$x$ 不是透過公差$d$ 相加的，其中$d$ 必須保持不變。根據定義，斐波那契數列沒有一個常數差來得到下一項，因為公式$a_{1}=1,a_{2}=1;a_{i}=a_{i-2}+a_{i-1}.$ 沒有一個常數差。因此，斐波那契數列公式不是等差數列，但它是遞迴的。為了使其成為等差數列，只需確定第一項，因為我們可以使用公差 $d$ 來找到第二項，然後將前一項$i$，$a_{i-1}$，加上常數差$d$：$a_{1}=1;a_{i}=a_{i-1}+d$.

探究 1-2：令數列的前兩項為 $x_{1}=a$ 和 $x_{2}=b$，其中 $a\neq b$。

• 論證以下論點是否正確：遞迴公式 $x_{1}=a,x_{2}=b;x_{i}=x_{i-2}+d$ 是等差且遞迴的。

• 如果你不同意 $x_{1}=a,x_{2}=b;x_{i}=x_{i-2}+d$ 是等差且遞迴的，寫出一個既是等差又是遞迴的公式。
• 如果你同意 $x_{1}=a,x_{2}=b;x_{i}=x_{i-2}+d$ 是等差且遞迴的，解釋為什麼它是這樣。

最後，如果 $x_{1}=a$，$x_{2}=b$，且 $a=b$，

• 論證以下觀點是否正確：公式 $x_{1}=a,x_{2}=b;x_{i}=x_{i-2}+d$ 是等差且遞迴的。

* 使用公式生成的序列為 ${\left\{a,b,\left(a+d\right),\left(b+d\right),\left(a+2d\right),\left(b+2d\right),\left(a+3d\right),\left(b+3d\right),\ldots \right\}}$ 為了使一個序列為等差數列，公差 $d$ 必須為常數。 雖然公差是常數，但該序列必須是 ${\left\{a,\left(a+d\right),\left(a+2d\right),\left(a+3d\right),\left(a+4d\right)\ldots \right\}}$ 的形式；否則，它不是等差數列。 因此，遞迴公式 $x_{1}=a,x_{2}=b;x_{i}=x_{i-2}+d$ 不是等差數列。 為了使它成為等差遞迴公式，請更改前面的公式，使 $x_{1}=a;x_{i}=x_{i-1}+d$.

如果 $a=b$，則使用公式 $x_{1}=a,x_{2}=b;x_{i}=x_{i-2}+d$ 生成的序列為 ${\left\{b,b,\left(b+d\right),\left(b+2d\right),\left(b+3d\right),\left(b+4d\right),\left(b+5d\right),\ldots \right\}}$ 然而，為了使一個序列為等差數列，每個項都必須加上公差。 由於索引 $i=2$ 的項沒有加上 $d$，因此該公式不是等差數列。

探索 1-3：令第一項為 $x_{1}=a$。 論證 支援 OR 反對 以下想法：將序列 ${\left\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \right\}}$ 更改為 ${\left\{a,a,a,\ldots \right\}}$ 後，它將是等差數列。

因為 ${x_{1}=a;x_{i}=x_{i-1}+d}$ 是等差數列的遞推公式，$a=a+d$ 成立。要使 $a=a+d$ 為真，唯一的方法是讓 $d=0$。然而，由於你是透過使用一個常數差 $d$ 來新增每一項，並且你使用前一項來進行新增，新序列將形成：${a,a+1\cdot 0,a+2\cdot 0,a+3\cdot 0,a+4\cdot 0,\ldots }$ 根據定義，形成的序列是等差數列。

直接公式

現在，你可能想知道是否有方法可以直接找到等差數列的項。答案是肯定的。在給出公式之前，讓我們先看一下我們的通項遞推等差公式 ${x_{1}=a;x_{k}=x_{k-1}+d}$。讓我們用圖表來表示這個遞推等差公式。

$${\begin{array}{|c|c|}k&x\\\hline 1&a\\\hline 2&a+d\\\hline 3&a+2d\\\hline 4&a+3d\\\hline \vdots &\vdots \end{array}}\!$$

如果你仔細想想，上面的表格實際上是一個線性函式，只是它從 $k=1$ 而不是 $k=0$ 開始。將函式寫成 $x=a+kd$。我們接近答案了。我們的自變數 $k$ 向右平移了 $1$，所以 $x=a+(k-1)d$ 就是我們的函式。事實上，我們找到了直接的關係。以我們通常的寫法改寫它，我們找到了我們的 **直接公式**：$x_{k}=a+(k-1)d$。

**直接公式** 描述瞭如何僅使用直接查詢特定值的公式來獲得序列的項或多個項，而無需說明序列的第一項或項。

等差數列的直接公式

給定初始值 $a$ 和常數差 $d$，算術序列中的第 $i$^th 項由直接公式給出

$$x_{i}=a+(i-1)d.$$

示例 1.1.2.a：發現一個算術序列 ${\left\{22.4,29.2,36,42.8,49.6,\ldots \right\}}$。該序列的第 $450$th 項是多少？ 和往常一樣，在確定答案之前，我們需要找到序列的“變化率”。由於 $a=22.4$，我們知道 $x_{i}=22.4+(i-1)d$。第二項是 $29.2$，所以當 $i=2$ 時，$29.2=22.4+(2-1)d$。當然，現在我們可以求解 $d$ $29.2=22.4+(2-1)d$; $29.2=d$; $6.8=d$. 既然我們現在知道了公差，我們可以找到序列中最小的 $450$th 項。透過使用算術序列的直接公式，我們可以找到它可能存在的索引。由於 $x_{i}=22.4-6.8(i-1)$，我們透過代入 $i=450$ 來找到第 $450$th 項。因此，$x_{450}=22.4-6.8(450-1)$。求解 $x_{450}$ 以獲得最終答案。 $x_{450}=22.4-6.8(450-1)$; $x_{450}=22.4-6.8(449)$; $x_{450}=22.4-3121.2$; $$x_{450}=-3030.8.$$

上面這個例子在 CLEP 大學代數考試中將是一個常規的、直接的問題。 然而，由於熟能生巧，我們還將遇到一些非常規問題，這些問題涉及對主題、概念和所學技能的透徹理解，這將佔考試的 50%。 這就是為什麼進行探索非常重要的原因。 雖然它們可能不會出現在 CLEP 考試中，但它們對於讓你像數學家一樣思考至關重要。 下一個問題將是非常規問題。

例 1.1.2.b：在等差數列 ${\left\{22.4,21.2,20,17.6,16.4,\ldots \right\}}$ 中，需要找到負項的最小索引是多少？ 與往常一樣，在我們確定答案之前，我們需要找到數列的“變化率”。 由於 $a=22.4$，我們知道 $x_{i}=22.4+(i-1)d$。 我們知道第二項是 $21.2$，所以當 $i=2$ 時， $21.2=22.4+(2-1)d$。 當然，現在我們可以求解 $d$ $21.2=22.4+(2-1)d$; $21.2=22.4+d$; $-1.2=d$. 由於我們現在知道了公差，我們可以找到數列中達到負數所需的最小項。 透過使用等差數列的直接公式，我們可以透過求解 $i$ 來找到索引。 由於 $x_{i}=22.4-1.2(i-1)$，我們找到了使數字小於零的最小索引。 因此， $0\geq 22.4-1.2(i-1)$。 現在我們要做的就是求解 $i$。 $22.4-1.2(i-1)\leq 0$; $-1.2(i-1)\leq -22.4$; $i-1\geq {-22.4 \over -1.2}$; $i\geq {22.4 \over 1.2}+1$; $i\geq 19.{\overline {6}}$. 由於索引 $i$ 必須大於 $19.{\overline {6}}$，找到負項所需的最小索引位於 $$i=20.$$

CLEP 練習題：檢驗你的理解

1 在算術級數 ${\left\{2,\,6,\,10,\,14,\ldots ,\,398\right\}}$ 中，$398$ 是最後一項，該序列中有多少項？

項。（注意：鍵入逗號會得到小數，因此不要鍵入逗號。）

2 一個學區建立了一個系統，每個學校工作日（週一到週五）都被歸類為“A 日”或“B 日”。阿比蓋爾厭倦了她的鉛筆沒有被歸還。她決定設計一個系統，每個學生都將記錄自己的姓和名。鉛筆可以自由借用。但是，如果一個學生在放學前忘記把鉛筆還給阿比蓋爾，她將先收取該學生 $25$ 美分的罰款。之後，每隔一個迴圈的塊日鉛筆沒有被歸還，就會收取 $25$ 美分的罰款——例如，如果一個學生不小心忘記把阿比蓋爾的鉛筆還回來，他們將在 B 日之後的下一個 A 日被罰款。約瑟夫忘記把鉛筆還了 $60$ 個學校工作日。根據阿比蓋爾的系統，約瑟夫欠阿比蓋爾多少錢？

	$$15.00$
	$$14.75$
	$$7.75$
	$$7.50$
	$$7.25$

3 以下列出了算術序列：${\left\{-{1 \over 3},\,0,\,{1 \over 3},\,{2 \over 3},\,1,\,1{1 \over 3},1{2 \over 3},\,2,\ldots \right\}}$ 以下哪一個公式直接使用任何索引 $i$ 來找到項 $x_{i}$？

	$x_{i}={1 \over 3}-{1 \over 3}(i+1)$
	$x_{i}={1 \over 3}-{1 \over 3}(i-1)$
	$x_{i}=-{1 \over 3}+{1 \over 3}i$
	$x_{i}=-{1 \over 3}+{1 \over 3}(i-1)$
	$x_{i}=-{1 \over 3}+{1 \over 3}(i+1)$

4 如果一個數列的首項是 $x$，最後一個 $501$^st 項是 $9,000$，公差是 $20$，那麼這個數列的第二項是多少？

	$-1,000$
	$-980$
	$-1,020$
	$1,000$
	$980$

5 給定 $a_{i}$ 是一個數列中索引為 $i$ 的項，一個數列的首項是 $x$，公差是 $d$，以下哪些陳述 必須 為真？請指明 所有 這樣的陳述。

	$a_{1}=x;a_{i}=x+d(i-2)+d$
	${x-a_{i} \over d}-1=i$
	$a_{i}-x+d=di$

等比數列

等比數列的定義。

一個等比數列是一個數列 ${\left\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k},x_{k+1},\ldots \right\}}$，其中一個實數 $r$，稱為公比，被乘以每一項的後續項，除了第一項 $x_{1}$，使得數列形成 ${\left\{x_{1},x_{1}r,x_{1}r^{2},x_{1}r^{3},\ldots \right\}}$

像往常一樣，如果你不明白，試著在腦海中想幾個數字的例子。設公比 $r=2$ 並且設 $x_{1}=1.5$。下一項 ${x_{2}=x_{1}r}$，因此 $x_{2}=1.5\cdot 2=3$。如果你保持這種模式，你將得到以下數列：${\left\{1.5,3,6,12,24,48,\ldots \right\}}$

遞推公式

與算術公式一樣，你可以找到等比數列的遞推公式和通項公式。由於每一項都乘以公比 $r$，設任何索引為 $i$ 的項由 $x_{i}$ 表示。要找到下一項，需要知道前一項。因此，$x_{i}=rx_{i-1}$

等比數列的遞推公式

給定一個初始值 $a$ 和常數差 $d$，等差數列中的第 $i$^th 項由數列中的前 $(i-1)$^th 項給出

$x_{1}=a;x_{i}=rx_{i-1}$ 或

${\begin{cases}x_{1}=a\\x_{i}=rx_{i-1}\end{cases}}$

直接公式

與算術數列一樣，讓我們繪製遞迴幾何公式的圖表。${x_{1}=a;x_{k}=rx_{k-1}}$.

$${\begin{array}{|c|c|}k&x\\\hline 1&a\\\hline 2&ar\\\hline 3&ar^{2}\\\hline 4&ar^{3}\\\hline \vdots &\vdots \end{array}}\!$$

如果你仔細想想，上面的表格實際上是一個指數函式，$f(k)=ab^{k}$，從$k=1$開始。寫出函式為$x=ar^{k}$。我們接近了答案。我們的自變數$k$向右平移了$1$個單位，所以$x=ar^{k-1}$ 是我們的函式。實際上，我們找到了直接關係。以我們通常的書寫方式重新寫出來，我們就找到了直接公式：$x_{k}=ar^{k-1}$.

幾何數列的直接公式

給定初始值$a$和公比$r$，幾何數列中的第$i$^th 項由直接公式給出

$$x_{i}=ar^{i-1}$$

示例 1.2.2.a：發現了幾何數列${\left\{22.4,11.2,5.6,2.8,1.4,\ldots \right\}}$。該數列的第$18$th 項是多少？ 為了找到答案，我們需要知道上面數列的公比$r$。從數列中選擇任何任意項，並將其應用於直接幾何公式：$x_{2}=ar^{2-1}$。求$r$ $11.2=22.4r.$ $r=0.5={1 \over 2}.$ 已知 $r$ 的值，可以使用直接公式求出該序列的第 $18$ 項。 $x_{18}=22.4\left({\frac {1}{2}}\right)^{18-1}$ $x_{18}=22.4\left(0.00000762939\right)$ $$x_{18}=0.00017089843$$

當然，您可以自己完成這些示例，或者跟著步驟進行，以便了解如何解決問題。

探究 1-4: 令首項為 $x_{1}=a$。論證序列 ${a,-2a,4a,\ldots }$ 是否為等比數列。

等比數列的各項必須乘以一個公比 $r$。如果該序列是等差數列，則必須新增一個公差 $d$，這樣才能使前一項加上一個常數差得到正負交替的項。由於這是不可能的，因此您必須將上述序列中的項乘以一個公比 $r$。

探究 1-5: 冪函式是指函式 $f$，其冪項 $p$ 為任意實數 $\mathbb {R}$ 或 $p\in \mathbb {R}$，其中 $f(x)=ax^{p}$。令 $p={1 \over 2}$ 且 $a=2$。如果 $f(x)=ax^{p}$，

• 將 $x$ 的每個值乘以一個公比 $r$。**確定**透過使用任何 $r$ 的值，**舉例**，該範圍是否也是一個幾何序列。
• **證明**將定義域 $x$ 乘以一個公比 $r$ 將會得到一個幾何範圍（其中定義域的公比為 $r_{f})$）。

* 由於 $f$ 的定義域必須是一個乘以一個公比 $r$ 的幾何序列，將 $x$ 的每個值乘以 $r=2$。將形成以下幾何序列：由於 $x\cdot 2$，給定 $f(2x)=2{\sqrt {2x}}$，$f(2x)$ 將會形成 ${2{\sqrt {2}},\,4,\,2{\sqrt {6}},\,2{\sqrt {8}},\ldots }$。每個序列的值必須乘以 ${\sqrt {2}}$。因此，對於給定的 $r$ 值，$f$ 的範圍必須是幾何的。

• The question is asking whether or not $f(xr)$ will give a range for $f(x)$ such that you multiply by a constant. Let's define that constant as $r_{f}$. Let $f(x)=f\left(x_{1}\right)$. Since $f\left(x_{1}\right)=a\left(x_{1}\right)^{p}$, if $x_{2}=x_{1}r$, then $f\left(x_{2}\right)=a\left(x_{2}\right)^{p}$. Since $x_{2}=x_{1}r$, function $f\left(x_{2}\right)=a\left(x_{1}r\right)^{p}$. Since any term $(ab)^{m}$ will give $a^{m}b^{m}$, function $f\left(x_{2}\right)=ax_{1}^{p}r^{p}$. Since $ax_{1}^{p}=f\left(x_{1}\right)$, function $f\left(x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right)r^{p}$. Since $r$ and $p$ are constant, the expression $r^{p}$ will be constant. Since you are multiplying the range, $f\left(x_{1}\right)$, by a common ratio (otherwise known as a geometric sequence), given the constant $r^{p}=r_{f}$, then when multiplying the values of the domain, the range must be multiplied by a constant

$$f\left(x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right)r_{f}.$$

級數

找到這些序列的模式固然很棒，但這些序列的唯一用途僅僅是模式嗎？答案永遠是“不”。數學中，任何事物都有著巨大的實用價值。函式不僅描述了與數字相關的模式，還能預測當使用 $x$ 作為輸入， $y$ 作為輸出繪製圖形時所建立的圖形。利用序列中的術語，我們能否確定一個總和？可以，我們稱之為 **級數**。

級數的定義。

**級數** 是一個序列中所有項的總和。

透過強力方法總是可以找到一個序列的總和：將所有項逐一加起來，得到答案。數學家是懶人，不想做不必要的額外工作。也就是說，數學家們 *聰明地工作，而不是努力地工作*。

等差級數

示例 2.1.1.a： ${1+2+3+\ldots +97+98+99+100}$ 是多少？ 這是許多數學家中的一個經典示例。你可能會伸手去拿你的計算器，但這將花費很長時間才能輸入所有這些數字，並且在寫出表示式時可能會不小心犯錯誤。問題是，如何在 CLEP 考試給定的短時間內解決這個問題？請注意，這裡有一個模式：級數的第一項， $1$，加上級數的最後一項， $100$，將得到 $101$。級數的第二項， $2$，加上級數的倒數第二項， $99$，將得到 $101$。事實上，對於級數中的所有 $100$ 項，每對數字根據其 "位置" 相加都得到 $101$。由於級數中有 $50$ 對，並且每對數字的總和總是得到 $101$， $$101\cdot 50=5050{\text{ 是上面表示式的總和。}}$$

讓我們對上面的陳述做一個推測。畢竟，我們不是僅僅被輸入一種方法並以相同的方式做事的機器人。我們將縮短上面問題中表達式的一部分，看看我們的方法是否對任意數量的項有用。設 $n$ 為等差數列 $A_{E}$ 中的項數，設 $S$ 為 $A_{E}$ 的和，設 $S_{m}$ 為我們將在示例 2.1.1.a 中使用的相同方法希望能夠得到和 $S$ 的列。

$${\begin{array}{|c|c|}n&A_{E}&S&S_{m}\\\hline 2&1+2&3&(1+2)\cdot 1=3\\\hline 3&1+2+3&6&(1+3)\cdot 1.5=6\\\hline 4&1+2+3+4&10&(1+4)\cdot 2=10\\\hline 5&1+2+3+4+5&15&(1+5)\cdot 2.5=15\\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline n&1+2+\ldots +(n-1)+n&S&(1+n)\cdot {n \over 2}=S\end{array}}\!$$

注意奇數項有一個奇怪的（或者可能是奇怪的）行為，其中不是所有項對的和都相同（因為項對的數量不是偶數）。雖然從上面的表中可以看出，對奇數項使用示例 2.1.1.a 中的方法似乎可以行得通，但對於某些非常大的奇數項，它可能並不適用。因此，重要的是要證明這一點是正確的。現在，讓我們簡單地定義這個公式對偶數項和奇數項都適用。

求等差數列和的高斯方法。

對於任意有限序列 ${\left\{x_{i}\right\}}$，其中 $x_{i}=a+(i-1)d$，包含 $k$ 項，每項的和為

$$S_{A}={a+x_{k} \over 2}\cdot k.$$

有限集是指其中包含的任何東西的數量是確定的。無限集是指其中包含的數量沒有確定數量的集。

注意：上面的公式在數學家中被稱為“高斯方法”。這本華夏公益教科書將簡單地將此方法稱為“高斯方法”。^{[參見腳註 1]}

示例 2.1.1.b：已知等差數列的和為 $600$，首項為 $50$，但末項為 $250$，常差是多少？ 對於不知道高斯方法或等差數列性質的人來說，這似乎是一個不可能解決的問題。然而，由於你已經留心了，你就可以自己算出來。為了舉例說明，這本華夏公益教科書將解釋一下。我們不知道序列中有多少項，所以讓我們來找出有多少項。由於 $$S_{A}={a+x_{k} \over 2}\cdot k,$$ $$600={50+250 \over 2}\cdot k.$$ 這個主題不是白叫“大學代數”的，所以做一些代數運算吧。 $$600={300 \over 2}\cdot k$$ $$600=150k$$ $$40=k$$ 然而，請注意，我們並沒有尋找序列中的項數。我們想知道等差序列的公差。因此，使用等差數列直接公式： $x_{k}=a+d(k-1)$！ $$x_{40}=250$$ $$250=50+d(40-1)$$ $$200=39d$$ $${200 \over 39}=d$$ $$5{5 \over 39}=d$$

例 2.2.1.b 幫助我們瞭解如何找到項數和公差。有時，你可能只是不知道例 2.2.1.b 中需要找到的其中一個或兩個資訊，更常見的是項數。下一個例子將幫助說明了解等差數列和等差數列性質的有用性。

例 2.1.1.c：等差數列 ${4+9+14+\ldots +2,494+2,499+2,504}$ 的和是多少？ 為了求和，我們需要知道有多少項；否則我們無法使用高斯方法。因為我們不知道級數的和，所以讓我們使用等差數列直接公式（因為我們知道哪一項對應於哪個位置）。我們想要找到項數， $k$，所以使用最後一項 ($x_{k}=2,504$）。 首先，找到常數差。從 $4$ 到 $9$，我們需要在 $4$ 上加 $5$。因此，常數差為 $d=5$。更正式地說：如果遞迴公式 $x_{1}=4;x_{2}=4+d$ 以及 $x_{2}=9$，那麼 $x_{1}=4;9=4+d$ 意味著 $d=5$。 第二，找到項數。如果 $x_{k}=2,504$，$d=5$，以及 $x_{1}=a=4$，那麼 $2,504=4+5(k-1)$。解出 $k$ $$2,500=5(k-1)$$ $$500=k-1$$ $$501=k.$$ 最後，使用高斯方法 $$S_{A}={4+2,504 \over 2}\cdot 501$$ $$S_{A}={2,508 \over 2}\cdot 501$$ $$S_{A}=1,254\cdot 501$$ $$S_{A}=628,254.$$

正如你所見，等差數列可以用來描述任何型別的序列。現在我們已經充分探索了等差數列，讓我們證明高斯方法對於奇數項數是有效的。

注意：你將要學習的內容不是課程要求。如果你不理解這個證明，不要擔心，因為它對 CLEP 考試並不重要。這些證明只是為了建立對概念的數學理解。因此，如果你願意，你可以跳過這些內容。

已知 ${a+x_{k} \over 2}\cdot k$ 可以求出等差數列的和，證明 ${a+x_{k} \over 2}\cdot k$ 對奇數項也適用。

假設等差數列有 $k$ 項，則 $x_{k}=a+d(k-1)$.

因為 $k$ 是奇數，新增一項後數列就變成偶數項：$x_{k+1}=a+d([k+1]-1)=a+dk$.

由於 $x_{k+1}=a+dk$，將 $x_{k+1}$ 加入數列使其成為最後一項，因此 ${a+a+dk \over 2}\cdot (k+1)$.

因為 ${x \over z}=xz^{-1}$ 且 $xz=zx$，則 $2^{-1}\cdot (a+a+dk)\cdot (k+1)=(a+a+dk)\cdot 2^{-1}(k+1)=(a+a+dk)\cdot {k-1 \over 2}$.

$-(a+dk)+(a+a+dk)\cdot {k-1 \over 2}$ 將幫助我們找到我們需要求和的項數。

${{(2a+dk)(k-1) \over 2}-a-dk={2ak+2a+dk+dk^{2} \over 2}-a-dk={2ak+2a+dk+dk^{2} \over 2}-{2a-2dk \over 2}=}$

${{2ak+2a+dk+dk^{2}-2a-2dk \over 2}={2ak-dk+dk^{2} \over 2}={k(2a-d+dk) \over 2}={k \over 2}\cdot (2a-d+dk).}$

由於 $-d+dk$ 兩項都有 $d$ 作為公因數，所以 $d(k-1)$.

${[2a+d(k-1)]\cdot {k \over 2}=[a+a+d(k-1)]\cdot {k \over 2}}.$

因為 $x_{k}=a+d(k-1)$，所以 ${[a+a+d(k-1)]\cdot {k \over 2}=\left(a+x_{k}\right)\cdot {k \over 2}={a+x_{k} \over 2}\cdot k}$.

${a+x_{k} \over 2}\cdot k$ 與我們最初的公式相同；因此，同一公式適用於奇數項和偶數項。

CLEP 練習題：檢驗你的理解

1 給定等差級數 $50+45+30+\ldots -700$，確定等差級數的項數。

. （注意：輸入逗號會得到小數，因此不要輸入逗號。）

2 給定等差級數 $50+45+30+\ldots -700$，確定等差級數的和。

. （注意：輸入逗號會得到小數，因此不要輸入逗號。）

3 函式 $S$ 具有以下性質：$S(x)=x{\text{ if }}-20\leq x\leq 50$ 和 ${\displaystyle S(x)=3x+1{\text{ if }}50$。一名學生決定將所有 $x\in \mathbb {Z}$ 的項相加，或將屬於整數集的所有 x 的項相加。函式 $S$ 在所有 $x\in \mathbb {Z}$ 上的所有項的和是多少？

	$56,625$
	$57,641$
	$57,690$
	$57,450$
	$56,776$

4 等差數列的首項為 $a<0$。設有兩個獨立的數列，$\left\{x_{i}\right\}=a+d(i-1)$ 和 $\left\{a_{k}\right\}=a+d(k-1)$，每個數列都有 $500$ 項。如果對於 $\left\{x_{i}\right\}$，公差為 $d<0$，但對於 $\left\{a_{k}\right\}$，公差為 $d>0$，以下哪些必須為真？請指出所有這樣的陳述

	$x_{1}-x_{2}-\ldots -x_{499}-x_{500}-a_{1}-\ldots -a_{499}-a_{500}=998a$
	$x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{499}+x_{500}+a_{1}+\ldots +a_{499}+a_{500}=-1,000a$
	$x_{500}<0$

注意，這份練習測驗尚未完成。

算術級數的證明

注意：你將要學習的內容不是課程要求。如果你不理解這個證明，不要擔心，因為它對 CLEP 考試並不重要。這些證明只是為了建立對概念的數學理解。因此，如果你願意，你可以跳過這些內容。

幾何級數

雖然找到算術序列的和令人驚歎，但幾何序列的和呢？幸運的是，數學家已經找到了計算這個概念的方法。這個定理（不是猜想，希望你會在幾何級數證明中看到）是數學家們從抽象中找到的問題解決方案的眾多方法之一。與往常一樣，最好先了解如何使用公式，然後再瞭解公式。為了更深入地學習，我們要理解概念，而不是在考試中背誦公式並說：“我知道答案。”

例 2.2.1.a：幾何級數${1+2+4+8+\ldots +512}$的和是多少？ 我們定義一個和$S$ 來表示幾何序列：${1+2+4+8+\ldots +512=S}$ 注意除了$x_{1}=1$以外的所有項都有一個因子$2$。因此，透過減去$1$將第一項移到另一邊：${2+4+\ldots +512=S-1}$。然後，在左邊提取2：$${2(1+2+4+\ldots +256)=S-1}$$ 這個練習的關鍵發現是注意到${1+2+4+\ldots +256}$是$S$，但沒有$512$，因此，考慮到${S=1+2+4+8+\ldots +512}$， $${1+2+4+\ldots +256}=S-512$$ 使用初等代數解題 $${2S-1024=S-1}$$ $${2S-S=-1+1024}$$ $${S=1023}$$

請注意我們是如何解決這個問題的。我們說這個和必須等於一個正數，所以我們確定，如果它確實等於某個東西，我們可以透過某種方式計算出來，而無需進行任何冗長的計算。我們能否將這種方法應用於一些一般的幾何序列？這就是我們如何確定公式的方法。在您的探索中，您將被要求對幾何級數公式進行證明。我們仍然會給出公式，但您必須在下一個探索中自己證明。當然，我們也將在下一節中介紹另一種證明幾何級數公式的方法。

探索 2-1：給定：首項為 $a$，公比為 $r$ 的幾何級數，共 $k$ 項。
證明：幾何級數的和 $S={a\left(1-r^{k}\right) \over 1-r}$.

給定 $k$ 項，幾何序列 $\left\{a_{i}\right\}=ar^{i-1}$ 將會把所有項加起來到 $k$ 項，以這種形式表示：$S=a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-1}$.

我們知道 $S-a$ 將使得等號右側的所有項都具有因子 $r$。因此，

$$S-a=r\left(a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}\right).$$

請注意 $S-ar^{k-1}=a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}$，所以用 $r$ 除，並將等式應用於表示式，得到

$${S-a \over r}=S-ar^{k-1}.$$

減去 $S$，並將左側表示式寫成分數形式

$${S-a \over r}-{S \over 1}={S-a-Sr \over r}=-ar^{k-1}.$$

乘以 $r$，並加上 $a$

$$S-Sr=a-ar^{k}.$$

左側提取 $S$，右側提取 $a$，併除以 $1-r$

$$S={a\left(1-r^{k}\right) \over 1-r}.$$

等比數列公式。

對於任何有限的等比數列 ${\left\{x_{i}\right\}}$，其中 $x_{i}=ar^{i-1}$，包含 $k$ 項，每項的乘積為

$$S_{G}={a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}$$

對於這個華夏公益教科書^{[見腳註 2]}。

等比數列證明

注意：你將要學到的東西在課程中是**不**需要的。如果你不明白這些概念，不用擔心，因為它們對 CLEP 考試無關緊要。這些證明只是為了幫助你對這些概念建立數學理解。因此，如果你願意，可以跳過這些內容。

給定一個具有 $k$ 項的等比數列，公比為 $r$，證明該數列的和， $S$，等於 ${a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}$.

根據定義，等比數列的通項公式為 $x_{i}=x_{1}\cdot r^{i-1}$，其中 $x_{1}=a$。因此，以下等式成立：$a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}+ar^{k-1}$.

令 $a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}+ar^{k-1}=S$.

在等式兩邊加上 $ar^{k}$
$$a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}+ar^{k-1}+ar^{k}=S+ar^{k}.$$

將 $a$ 移到等式另一邊
$$ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}+ar^{k-1}+ar^{k}=S+ar^{k}-a.$$

將等式左側所有項的公比 $r$ 提取出來
$$r\left(a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}+ar^{k-1}\right)=S+ar^{k}-a.$$

將等式右側表示式 $ar^{k}-a$ 中的 $a$ 提取出來
$$r\left(a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}+ar^{k-1}\right)=S+a\left(r^{k}-1\right).$$

注意，因為 $a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k-2}+ar^{k-1}=S$，我們可以將其代入左側的表示式。
$$rS=S+a\left(r^{k}-1\right).$$

最後，求解 $S$
$$rS-S=a\left(r^{k}-1\right)$$

$$S(r-1)=a\left(r^{k}-1\right)$$

$$S={a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}.$$

因此，等比數列的和必須是 $S={a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}$.

求和符號

你們中有多少人厭倦了寫出表示式？你們中有多少人厭倦了計算一個數列中有多少表示式？我們在算術數列或等比數列中方便地使用的簡寫在哪裡？感謝您的所有答案，它們即將到來。

假設您要寫出表示式 $\underbrace {1+1+1+1+\ldots +1+1} _{500}$，其中有 $500$ 個項，每個項都是數字 $1$。我們希望能夠在不考慮太多的情況下評估該數列，或者甚至在不經過太多思考的情況下立即想到該表示式的簡寫。但是，這個簡單練習的目的是介紹一個新的符號。

設 $\sum$ 表示一個級數的和。符號下方是級數的起始索引 $i=a$（藍色），符號上方是級數的最後一個索引 $k$（紅色）。括號內的項表示級數遵循的序列，$f(i)$（橙色）。下面顯示了該符號的使用 $$\sum _{\color {Blue}i=a}^{\color {Red}k}\left({\color {Orange}f\left(i\right)}\right).$$ 這裡，我們知道 $\left\{1,1,1,1,\ldots 1,1\right\}$ 必須具有序列 $x_{i}=1+0(i-1)=1=f\left(i\right)$。

解釋 $f(i)$ 的含義告訴我們，對於序列中的任何數字，表示式中的第 $i$ 項為 $1$。已知序列從索引 $1$ 開始，意味著 $i=1$，並且有 $500$ 項，意味著 $k=500$，我們可以將 **sigma 表示法** 寫成如下形式：$$\sum _{\color {Blue}i=1}^{\color {Red}500}\left({\color {Orange}1}\right).$$

用括號寫出包含 $f(i)$ 的 sigma 表示非常重要。通常，如果沒有括號，可能會意外地混淆其他項。出於這個原因，本華夏公益教科書建議將 $f(i)$ 項寫成括號形式。

一般級數的 sigma 表示

對於任何具有公式 $f(i)$ 的序列，從任意點 $i=a$ 開始，給定 $k$ 項，sigma $\left(\sum \right)$ 表示法寫成如下：$$\sum _{i=a}^{k}\left(f\left(i\right)\right).$$

sigma 符號的寫法還有其他幾種，特別是手寫時，通常會採用簡寫形式。如果你想節省時間，可以使用這種寫法。

• $\sum _{i=a}^{k}\left(f(i)\right)=\sum _{a\leq i\leq k}\left(f(i)\right)$
• $\sum _{i=a}^{\infty }\left(f(i)\right)=\sum _{i\geq a}\left(f(i)\right)$

在我們開始探索之前，最好介紹一些可以改寫成 sigma 形式等價式的表示式。有些表示式甚至可能不符合我們目前見過的公式。儘管如此，我們還是繼續討論這個概念。

示例 2.3.1.a：將該序列寫成其 sigma 形式的等價式：${\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}+{\frac {4}{5}}+\cdots +{\frac {70}{71}}+{\frac {71}{72}}$ 在開始之前，最好先看看是否有任何可能的規律。因為你在使用 sigma 符號，所以檢查是否需要一個涉及加法的規律。 觀察前兩項的分子。假設我們從索引 $i=1$ 開始。要從第一項的分子得到第二項的分子，只需在第一項上加 1。類似地，要從第一項的分母得到第二項的分母，只需在第一項上加 2。這些規律在每一項上都成立。 $f(i)={\frac {i+1}{i+2}}$。很容易驗證每一項與其對應索引的規律。 因為這個函式是成立的，所以我們用它來找到表示式中項的個數（即，觀察表示式中的最後一項）。 設 $f(k)={\frac {71}{72}}={\frac {k+1}{k+2}}$。在該等式中，有很多方法可以求解 $k$，即表示式的最後一項。我們將展示標準方法。 ${\frac {k+1}{k+2}}={\frac {71}{72}}$ $\Leftrightarrow 72\cdot (k+1)=71\cdot (k+2)$ $\Leftrightarrow 72k+72=71k+142$ $\Leftrightarrow k=70$ 我們已經證明了這個表示式包含 70 項。有了索引、項數和函式，我們現在可以寫出 sigma 等價式：$$\sum _{i=1}^{70}\left({\frac {i+1}{i+2}}\right)\blacksquare$$ 或者，可以更改索引來獲得完全不同的 sigma 符號。請注意，當索引從 $i>1$ 開始時，公式和最後一項的索引也會發生變化。這裡，我們將專門檢視 $i=2$。記住，索引表示系列中的位置，從 2 到 3 只是與分子一起改變的問題。因為分母只是同一個想法，只是比索引多 1，所以分母遵循 $i+1$ 的模式。因此，sigma 符號的函式是 $g(i)={\frac {i}{i+1}}$。很容易驗證其各自索引中的每一項。 使用此函式來查詢最後一項的索引。 設 $f(k)={\frac {71}{72}}={\frac {k}{k+1}}$。我們將以最簡單的方式解決這個問題。因為分子和分母都是常數，非零項，並且 $k$ 僅僅是最後一項的索引表示式，可以簡單地將分子設定為另一個分子，分母也是如此。也就是說， ${\begin{cases}k=71\\k+1=72\end{cases}}$ 這可能是今年學習大學代數時遇到的最簡單的方程組。由此，很明顯 $k=71$。 知道了索引的起點、函式和最終索引，此情況的 sigma 形式為 $$\sum _{i=2}^{71}\left({\frac {i}{i+1}}\right)\blacksquare$$ 請注意模式是如何改變的。非常有趣，你說呢？

有些表示式僅憑觀察就難以確定。這些表示式很可能涉及乘以另一個因子的因子。確定這種模式的最佳方法是將項除以檢視因子是什麼。

示例 2.3.1.b：將序列寫成其 sigma 形式的等價式：$0-2-2+0+4+10+\ldots$ 這裡似乎沒有模式。最好的辦法是確定項之間的任何相似之處，看看是否從那裡找到了模式。 注意到第一個和第四個項為零。這意味著存在一個項，它可以讓我們得到零值。讓我們假設它們是線性函式。如果$k=0$是第一個項的索引，而$k=3$是第三個項的索引，那麼一個可能的求和函式是$\sum _{k\geq 0}\left(k(k-3)\right)$。讓我們應用這個函式，看看它是否有效。 $k=0\Rightarrow 0$ $k=1\Rightarrow -2$ $k=2\Rightarrow -2$ $k=3\Rightarrow 0$ $k=4\Rightarrow 4$ $k=5\Rightarrow 10$ 看來這個函式對每個項都適用。因此，它有效。 $\sum _{k=0}^{\infty }\left(k(k-3)\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(k^{2}-3k\right)\blacksquare$

稍後會新增更多示例。 下一個探索將要求你使用西格瑪形式寫出各種表示式。

探索 2-2：將以下每個表示式改寫成其西格瑪形式的等價形式。

(a) $1+3+5+7+9+\ldots +541+543$
(b) $1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}$
(c) $1+2+3+\ldots +99+100+102+104+\ldots +200$

(d) $100-20+4-{4 \over 5}+{4 \over 25}-100-120-140$

為了回答每個問題，你需要知道每個級數中包含多少項。確定這一點的唯一方法是確定所應用的序列型別。

(a) 還記得我們要如何找到一個等差數列中的項數和公差來求和嗎？這裡也是一樣的。求和符號，它代表了對數列中每一項的加和。在這種情況下，我們需要知道數列的公差和項數才能確定它的有效性。注意 $\left\{1,\,3,\,5,\,\ldots ,\,543\right\}$ 是一個公差為 2 的等差數列。因此，給定首項為 $1$，等差數列公式為 $x_{i}=1+2(i-1)=f(i)$。由此，我們可以確定最後一項的位置：$543=1+2(i-1)$。解出 $i$ 後，你會發現數列中共有 $i=273$ 項。因此，你可以最終寫出最終答案
$$\sum _{i=1}^{273}\left(1+2\left(i-1\right)\right).$$
注意，因為你可以從 $i=0$ 開始計數項，你可以將表示式改寫如下
$$\sum _{i=0}^{272}\left(1+2i\right).$$

(b) 使用與 (a) 中相同的思路，將表示式改寫成它的求和符號等效形式。注意這個數列是一個公比為 ${1 \over 2}$ 的等比數列，從 $1$ 開始。因此，$f(i)=\left({1 \over 2}\right)^{i-1}$。由於不需要使用公式來找出數列中有多少項，只需數一數，你就能得到答案
$$\sum _{i=1}^{4}\left({1 \over 2}\right)^{i-1}.$$
同樣地，你可以從 $i=0$ 開始改寫求和符號等效形式
$$\sum _{i=0}^{3}\left({1 \over 2}\right)^{i}.$$

(c) 表示式中顯示了兩個序列。將每個序列分別表示如下：$f_{1}\left(i\right)=1+2+3+\ldots +99$ 和 $f_{2}\left(i\right)=100+102+104+\ldots +200$。 同時 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 都是等差數列，但公差和首項不同。為了避免逐一解釋，我們只提供每個序列的公式：$f_{1}(i)=1+1(i-1)$ 和 $f_{2}(i)=100+2(i-1)$。 注意，首項和末項不適合在同一個求和符號中使用，因此需要將其拆分為兩個求和表示式並相加。 因此，該表示式的求和符號表示如下：
$$\sum _{i=1}^{99}(1+1(i-1))+\sum _{i=1}^{51}(100+2(i-1)).$$
你明白為什麼我們要求你使用括號來寫公式嗎？ 另外，你可能對序列的劃分方式有所不同。在這種情況下，如果 $f_{1}\left(i\right)=1+2+3+\ldots +99+100$ 和 $f_{2}\left(i\right)=102+104+\ldots +200$， 那麼 $f_{1}(i)=1+1(i-1)$ 和 $f_{2}(i)=102+2(i-1)$， 其中 $f_{1}$ 有 $100$ 項，而 $f_{1}$ 有 $50$ 項。 因此，另一種表示法也是合適的
$$\sum _{i=1}^{100}(1+1(i-1))+\sum _{i=1}^{50}(100+2(i-1)).$$

(d) 表示式中顯示了兩個級數。將每個級數分別寫成以下形式：$f_{1}\left(i\right)=100-20+4-{4 \over 5}+{4 \over 25}$ 和 $f_{2}\left(i\right)=-100-120-140$。雖然 $f_{1}$ 是一個公比為 $-{1 \over 5}$ 的等比數列，$f_{2}$ 是一個公差為 $-20$ 的等差數列。不用解釋每個數列，只需要給出每個數列的公式：$f_{1}(i)=100\left(-{1 \over 5}\right)^{i-1}$ 和 $f_{2}(i)=-100-20(i-1)$。由於公式不同以及使用的起始數字不同，不可能將它們合併到同一個和中。因此，該級數的西格瑪形式為
$$\sum _{i=1}^{5}\left(100\left(-{1 \over 5}\right)^{i-1}\right)+\sum _{i=1}^{3}(-100-20(i-1)).$$
注意，你加上了另一個項，而不是減去它。如果你要減去第二個西格瑪表示式，實際上就是把每個第二項的符號翻轉了。因此，除非你把它改為以下形式，否則第二個級數表示式是錯誤的。

$$\sum _{i=1}^{5}\left(100\left(-{1 \over 5}\right)^{i-1}\right)-\sum _{i=1}^{3}(100+20(i-1)).$$

西格瑪簡化技巧

在某些教科書中，這部分被稱為規則。我們稱它們為真正的名稱：簡化常見西格瑪表示式的技巧。

對於任何常數項為 $c$，從索引 $i=1$ 開始，並給定 $k$ 項，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(c\right)=ck.$$

和以往一樣，如果你感到困惑，請寫出一些術語。上面的求和符號表示，對於任何常數項$c$，將其加$k$ 次，得到的總和等於$\underbrace {c+c+c+\ldots +c+c+c} _{k}=ck$。永遠不要忘記，乘法就是重複加法。你在小學學到的這條公理至今仍然很重要。

對於任何具有常數項$c$ 乘以變化的下標 $i$ 的級數，從下標 $i=1$ 開始，並給定$k$ 個總項，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(ci\right)=c\sum _{i=1}^{k}\left(i\right).$$

這條第二條“規則”可以簡化為以下內容。由於$\sum _{i=1}^{k}\left(ci\right)$，我們可以得出結論，$\sum _{i=1}^{k}\left(ci\right)=1c+2c+3c+\ldots +c(k-2)+c(k-1)+ck$。表示式 $1c+2c+3c+\ldots +c(k-2)+c(k-1)+ck$ 中的每一項都有公因數 $c$，因此$c(1+2+3+\ldots +(k-2)+(k-1)+k)$。請注意，括號內部的每一項都是一個基本級數，其中$i$ 從 $1$ 開始，到最後一項 $k$，作為總和，因此

$$\sum _{i=1}^{k}\left(ci\right)=c\sum _{i=1}^{k}\left(i\right).$$

對於任何具有常數項$c$的級數，除了改變索引$i$，從索引$i=1$開始，並給定$k$個總項，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(c+i\right)=kc+\sum _{i=1}^{k}\left(i\right).$$

這個結論可能不太容易理解，但我們可以透過手動計算來驗證。請記住，sigma 符號只是具有某種公式的求和的簡寫形式，因此在遇到困惑時，可以嘗試將其中一項寫出來。注意，$\sum _{i=1}^{k}\left(c+i\right)=(c+1)+(c+2)+(c+3)+(c+4)+\ldots +(c+k-1)+(c+k)$。由於加法是可交換的，並且括號不會改變級數的和，我們可以將項分組，使得$(c+1)+(c+2)+(c+3)+(c+4)+\ldots +(c+k-1)+(c+k)=\underbrace {c+c+c+c+\ldots +c+c} _{k}+(1+2+3+\ldots +k-1+k)$。我們已經確定了每個分組的sigma 符號，因此我們可以將其組合在一起，從而得出以下結論是正確的。

$$\sum _{i=1}^{k}\left(c+i\right)=kc+\sum _{i=1}^{k}\left(i\right).$$

對於任何具有常數項$c$的級數，除了$i$或$f\left(i\right)$函式範圍，從索引$i=1$開始，並給定$k$個總項，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(c+f\left(i\right)\right)=kc+\sum _{i=1}^{k}\left(f\left(i\right)\right).$$

請注意，上面的“規則”只是之前規則的擴充套件。如果 $f(i)=i$，那麼 $\sum _{i=1}^{k}\left(c+f\left(i\right)\right)=kc+\sum _{i=1}^{k}\left(f\left(i\right)\right)$。請注意，任何函式都可以符合這條規則。作為擴充套件，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(cf\left(i\right)\right)=c\sum _{i=1}^{k}\left(f\left(i\right)\right)$$

利用這些一般知識，我們還可以證明下一個“規則”。

對於任何以常數項 $a$ 乘以 $i$ 或 $f\left(i\right)$ 的函式構成的級數，從索引 $i=1$ 開始，在將常數 $c$ 加到乘積中，並給定 $k$ 個總項時，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(c+af\left(i\right)\right)=kc+a\sum _{i=1}^{k}\left(f\left(i\right)\right).$$

鑑於我們找到相同恆等式的方式，您可以自己完成此恆等式的證明，作為求和符號的練習。(當然，本華夏公益教科書將提供大量練習。)

除了這些練習之外，您也可以嘗試證明下一個“規則”的恆等式也是正確的。

對於任何公式由兩個不同的任意函式組成的級數：$f\left(i\right)$ 和 $g\left(i\right)$ 構成的級數，從索引 $i=1$ 開始，並給定 $k$ 個總項時，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(f\left(i\right)+g\left(i\right)\right)=\sum _{i=1}^{k}\left(f\left(i\right)\right)+\sum _{i=1}^{k}\left(g\left(i\right)\right).$$

有了這些，您現在已經為證明和反駁陳述以及建立自己的恆等式所必需的工具奠定了充分的基礎。在我們進入下一節之前，我們必須提及本華夏公益教科書中學習的每種級數型別的求和恆等式。

級數型別的求和恆等式

等差級數的求和恆等式是什麼？在我們給出恆等式之前，瞭解等差級數非常重要。如果您正在閱讀本華夏公益教科書，並且從一節跳到另一節，我們建議您閱讀前面的任何內容，如果當前的推理似乎沒有意義。首先，我們如何使用公式寫出等差數列？像這樣
$$x_{k}=a+(k-1)d.$$
求算術級數的公式如下
$$S_{a}={a+x_{k} \over 2}k.$$
注意 $x_{k}$ 出現在兩個公式中，所以將 $x_{k}$ 代入 $a+(k-1)d$，則得到
$$S_{a}={2a+(k-1)d \over 2}k=ak+{(k-1)d \over 2}k=\left[2a+(k-1)d\right]{k \over 2}.$$
因為 $x_{k}=a+(k-1)d.$ 也是一個幫助我們求級數中每一項的公式，我們終於得到了我們的 sigma 恆等式

算術級數的 sigma 形式公式

一個算術級數，其公式為 $f(i)=a+(i-1)d$，從索引 $i=1$ 開始，給定 $k$ 個總項，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(a+(i-1)d\right)={2a+(k-1)d \over 2}\cdot k.$$

我們可以使用同樣的過程來求幾何級數的和。你可以將此作為你的下一個練習，證明幾何級數的 sigma 形式與下面所示的相同。

幾何級數的 sigma 形式公式

一個幾何級數，其公式為 $f(i)=ar^{i-1}$，從索引 $i=1$ 開始，給定 $k$ 個總項，

$$\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)={a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}.$$

檢驗你的理解

以下問題主要是理解題。如果你能解決以下所有問題，就說明你已經理解了關於求和符號所需的所有知識。請記住，這些問題比一般的 CLEP 問題要難得多；但是，能夠熟練地解決這些問題證明了你對材料的更深入理解，這意味著你將更好地準備應對更簡單的題目和更難的題目。

非計算器問題。預計完成時間：30 分鐘。

1. 找到最小的 $x$，以使以下表達式的最小實數值。然後，簡化並計算最小實數值。不要對你的答案進行四捨五入，也不要使用計算器或程式。

$$\log _{5}\left(\sum _{i=1}^{x}\left(-500+{1 \over 3}i\right)\right)$$

請記住，$\log _{a}c=b$ 是指數方程 $a^{b}=c$ 的逆。其性質如下： $\left\{a\vert a>0,\,a\neq 1\right\},\,\left\{b\vert b>0,\,b\in \mathbb {R} \right\}{\text{ and}},\,c>0$。實數要求以 $c>0$ 的形式出現，也就是說對數內部必須大於零（不能等於零）。這是解決問題的第一步。

$$\sum _{i=1}^{x}\left(-500+{1 \over 3}i\right)>0$$
透過應用屬性規則，將求和符號內的兩個表示式分開，給定常數 $C=-500$ 和 $f(i)={1 \over 3}i$
$$\sum _{i=1}^{x}\left(-500+{1 \over 3}i\right)=-500x+\sum _{i=1}^{x}{1 \over 3}i>0$$
由於 $\sum _{k=1}^{n}Cf(i)=C\sum _{k=1}^{n}f(i)$，並且 $f(i)$ 是算術級數，那麼必須有
$$\sum _{i=1}^{x}{1 \over 3}i={1 \over 3}\cdot {1+x \over 2}x={1 \over 3}\cdot {x(x+1) \over 2}={x(x+1) \over 6}.$$
然後，將兩個表示式的和放在同一個分母上，並化簡

$-500x+{x(x+1) \over 6}>0$

$\Rightarrow {-3000x \over 6}+{x(x+1) \over 6}>0$

$\Rightarrow {-3000x+x^{2}+x \over 6}>0$

$\Rightarrow {-2999x+x^{2} \over 6}>0$

$\Rightarrow -2999x+x^{2}>0$

$\Rightarrow x(x-2999)>0$

最後，請注意零因子性質得出 $ab=0$ 當且僅當 $a=0$ 或者 $b=0$ 或兩者。然而，對於兩個乘數相乘得到正積的零因子性質，必須是 $a$ 和 $b$ 都是正數，或者 $a$ 和 $b$ 都是負數。透過這種邏輯，我們可以確定四種可能的解：$x>0$ 且 $x>2999$，或者 $x<0$ 且 $x<2999$。儘管有四種解，但只有一個解是正確的：$x>2999$，因為求和符號僅在 $x\in \mathbb {Z^{+}}$ 或 $x$ 是問題中描述情況下的正整數集合。因此，所有 $x$ *大於* $2999$ 都可以得到可接受的解。但是，這只是問題的第一個部分。現在是簡單的部分。

在上述情況中，最小的數字必須是 $x=3000$

${\begin{aligned}\log _{5}\left(\sum _{i=1}^{3,000}\left(-500+{1 \over 3}i\right)\right)&=\log _{5}\left(-500(3,000)+{3,000(3,000+1) \over 6}\right)\\&=\log _{5}\left(-1,500,000+500(3000+1)\right)\\&=\log _{5}\left(-1,500,000+1,500,000+500)\right)\\&=\log _{5}\left(500\right)\end{aligned}}$

最後，簡化$\log _{5}\left(500\right)$ 以獲得最終答案。

${\begin{aligned}\log _{5}\left(500\right)&=\log _{5}\left(100\cdot 5\right)\\&=\log _{5}\left(10^{2}\cdot 5\right)\\&=\log _{5}\left((5\cdot 2)^{2}\cdot 5\right)\\&=\log _{5}\left(5^{2}\cdot 2^{2}\cdot 5\right)\\&=\log _{5}\left(2^{2}\cdot 5^{3}\right)\\&=3\log _{5}\left(5\right)+2\log _{5}\left(2\right)+1\\&=3+2\log _{5}\left(2\right)\blacksquare \end{aligned}}$

計算器 問題。預計完成時間：30 分鐘。
3. 在 $xy$ 平面的第一象限中繪製一個 $58\times 1$ 的矩形。剪下和貼上 是一種迭代過程，原始矩形被複制，複製的寬度減少 $3$ 個單位，複製的高度增加 $1$ 個單位。這個新的矩形被移到原始矩形的頂部，其最左側的高度與原始矩形的左側相連。然後對複製的矩形進行剪下和貼上。此過程持續進行，直到最終複製的寬度至少為 $1$ 個單位，或最多 $3$ 個單位。長度必須是整數。給定 $58\times 1$ 的矩形，剪下和貼上圖形的累積面積是多少？用求和形式寫出這個面積，然後寫出最終答案。展示你的工作過程。

回答這個問題最簡單的方法是寫出矩形面積的求和；只要寬度和高度一起增加，就可以一起計算，整個面積也可以一起計算。首先，列出一種錯誤的答案

$A(20)=\sum _{i=1}^{19}\left(-500+{1 \over 3}i\right)\cdot \sum _{i=1}^{19}\left(i\right)=5900$

注意為什麼上面的答案是錯誤的。乘以兩個和的積並不意味著積是每個索引的和。它是所有索引的和與給定函式的積。意識到這個錯誤的學生很快就會意識到這個問題比它看起來更難。

如果修正括號，問題可以很容易地解決。回顧一下我們總是說要注意括號。這正是其中一個重要原因。犯了上述錯誤的學生意識到了一個技巧，但沒有正確地利用它。因此，上面的答案是對正確應用解決方案的高估。

設每個索引的長度為 $l(i)$，寬度為 $w(i)$。分析上述過程的模式，可以洞悉每個索引的累積面積的最終結果。我們想要找到最終結果，某個 $k$，它允許寬度為以下值

$1\leq l(k)\leq 3$.

首先，注意函式 $l(i)$ 是算術的，並且是遞減的。我們從 $l(1)=58$ 開始，差值為 $3$，因此

$l(i)=58-3(i-1)$.

$w(i)$ 也是如此。因為寬度從 $i=1$ 開始，到 $i=k$ 結束，

$w(i)=i$

鑑於我們知道 $1\leq l(k)\leq 3$，

$1\leq 58-3(k-1)\leq 3$

$-57\leq -3(k-1)\leq -55$

$19\leq k-1\leq {\frac {55}{3}}$

$20\leq k\leq {\frac {55}{3}}+1$

對於 $l(k)\in \mathbb {Z} ^{+}$，$k=20$。因此，$w(20)$ 也是最大值。累積面積函式由下式給出

$A(k)=\sum _{i=1}^{k}\left[w(i)\cdot l(i)\right]$

剩下的就是應用公式並使用計算器找到答案

${\begin{aligned}A(k)&=\sum _{i=1}^{k}\left[(i)\cdot \left(58-3(i-1)\right)\right]\\&=\sum _{i=1}^{k}\left[58i-3i(i-1)\right]\\&=\sum _{i=1}^{k}\left(58i-3i^{2}-3i\right)\\&=\sum _{i=1}^{k}\left(55i-3i^{2}\right)\end{aligned}}$

$A(20)=2940{\text{ units}}^{2}\blacksquare$

無限等比級數

有一個古老而著名的悖論，讓許多聽到它的人都感到困惑。這個問題起源於希臘思想家芝諾。這個古老的格言是歸謬法（透過證明陳述的應用會導致矛盾來反駁一個陳述，因此原始陳述不能成立）的第一個例子。然而，今天，一個版本不再是一個悖論，它需要微積分的發明來證明這個謎團不是一個謎團^{[參見腳註 3]}。

證明並展示了證明這個謎團的版本如下。

注意：悖論很快就會出現。

大多數數學學生的古老問題出現了：“我們什麼時候需要這個？”接下來的探索給出一個問題，你學到的所有東西都將被測試。這絕對比許多 CLEP 考試問題更難；然而，問題是讓你在數學上變得更好。你邊做邊學，所以你必須做。

探索 2-3：鑑於每個表示式收斂到一個有限的值，評估專案 (a) - (c) 中的每個表示式。使用無限等比級數求和恆等式來解決這些問題。

(a) $10{\sqrt {10{\sqrt {10{\sqrt {10{\sqrt {10{\sqrt {10{\sqrt {\ldots }}}}}}}}}}}}$
(b) $10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{\ldots }}}}}}}}}}}}$

(i) 給定表示式 (b) 的一般形式 $a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{\ldots }}}}}}}}}}}}$，找到至少兩個整數，$a$ 和 $n$，使得該一般表示式等於一個完全立方數。如果不可能，請證明其不可能。

(c) $3{\sqrt {5{\sqrt {3{\sqrt {5{\sqrt {3{\sqrt {5{\sqrt {3{\sqrt {\ldots }}}}}}}}}}}}}}$

(i) 給定表示式 (c) 的一般形式 $a{\sqrt {b{\sqrt {a{\sqrt {b{\sqrt {a{\sqrt {b{\sqrt {a{\sqrt {\ldots }}}}}}}}}}}}}}$，證明存在無窮多個不同的整數 $a$ 和 $b$，使得該一般表示式等於一個完全平方數。給出至少一個例子。

請注意，這些問題是按順序排列的，從一個具體的例子開始，然後在問題首次提出後以某種方式進行概括。如果個人點選這裡以獲得求解問題的提示，請檢視第一個專案的解決方案。在你理解這個華夏公益教科書是如何得出結論後，關閉它並嘗試其他問題。

(a)

由於每一項都必須收斂到某個有限值，並且由於序列中的每一項都乘以 ${\sqrt {10}}$，最好將這個問題看作序列中的一項。找出規律，你就可以計算出每個級數的值。令 $x_{1}=10$。注意

${\begin{aligned}x_{2}&=10{\sqrt {x_{1}}}\\&=10{\sqrt {10}}\\&=10\cdot 10^{1 \over 2}\\&=10^{1+{1 \over 2}}\end{aligned}}$

如果我們繼續按照每個項的模式，我們發現 $x_{n}=10{\sqrt {x_{n-1}}}=10^{1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+\ldots +{1 \over 2^{n}}}$。這只是一個遞迴幾何序列，所以實際上，當我們在指數中不斷地新增項到無窮時，$10^{1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+\ldots +{1 \over 2^{n}}+\ldots }$。請注意，$1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+\ldots$ 是一個無限幾何級數，因此我們可以使用求和公式

$\sum _{i=1}^{\infty }\left(ar^{i-1}\right)={a \over 1-r}$。因此，因為 ${1 \over 1-{1 \over 2}}=2$，以下也是正確的：$10^{2}=100$。因此，

$$10{\sqrt {10{\sqrt {10{\sqrt {10{\sqrt {10{\sqrt {10{\sqrt {\ldots }}}}}}}}}}}}=100$$

注意： 還有一種方法可以“解決”這種型別的表示式；然而，這種方法並沒有“證明”一般收斂到某個數字，只是表示問題的一個可能的解。使用上述方法將證明明確的收斂，而不是其他方法。

(b)

使用與 (a) 相同的想法。唯一的區別是該序列表示一個平方根內給定項的一般模式。請注意，第一項 $a=10$ 以及第二項 $a_{2}=10{\sqrt[{n}]{10}}$。鑑於 ${\sqrt[{k}]{a^{m}}}=a^{m \over k}$，以下必須為真：$a_{2}=10^{1+{\frac {1}{n}}}$。如果我們繼續按照模式，我們發現以下為真：$a_{L}=10^{1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{n^{L-1}}}}$。當您不斷向無窮大邁進時，冪具有一個無限幾何級數，該級數具有

$\sum _{i=1}^{\infty }\left(ar^{i-1}\right)={a \over 1-r}={1 \over 1-{\frac {1}{n}}}$。注意：${1 \over 1-{\frac {1}{n}}}={1 \over {\frac {n}{n}}-{\frac {1}{n}}}={1 \over {\frac {n-1}{n}}}={\frac {n}{n-1}}$，以下也是真的：$10^{\frac {n}{n-1}}$。因此，

$$10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{10{\sqrt[{n}]{\ldots }}}}}}}}}}}}=10^{\frac {n}{n-1}}.$$

(i)

令$x\in \mathbb {Z} ^{+}$ 為一個完全立方數$u^{3}=x$ 對於$u\in \mathbb {Z} ^{+}$。如果$a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{\ldots }}}}}}}}}}}}=x=u^{3}$，那麼對於$a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{\ldots }}}}}}}}}}}}=a^{\frac {n}{n-1}}$，$a=u$。

鑑於此資訊，

${\frac {n}{n-1}}=3\Leftrightarrow 3(n-1)=n$

$\Leftrightarrow 3n-3=n\Leftrightarrow n={\frac {2}{3}}$

因為 $n$ 不屬於整數集，因此此給定問題沒有可能的解。 $\blacksquare$

(c)

同樣，與 (a) 中類似的思路用於解決表示式，儘管這一項可能是最困難的。 這裡，不同之處在於你不能簡單地使用 $3$，因為 $5$ 在平方根內。 相反，使用 $x_{1}=3{\sqrt {5}}$。 為了繼續第二個序列，$x_{2}=3{\sqrt {5{\sqrt {x_{1}}}}}$。 事實上，遞迴公式會繼續下去：$x_{n}=3{\sqrt {5{\sqrt {x_{n-1}}}}}$。 集中在 $x_{2}$

$x_{2}=3{\sqrt {5{\sqrt {3{\sqrt {5}}}}}}=3\left(5\left[3\left(5\right)^{\frac {1}{2}}\right]^{\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{2}}=3\cdot 5^{\frac {1}{8}}\cdot 3^{\frac {1}{4}}\cdot 5^{\frac {1}{2}}$

因為乘法是可交換的，所以將所有包含相同底數的項乘到一起，並將其分組如下

$3\cdot 5^{\frac {1}{8}}\cdot 3^{\frac {1}{4}}\cdot 5^{\frac {1}{2}}=\left(3\cdot 3^{\frac {1}{4}}\right)\cdot \left(5^{\frac {1}{2}}\cdot 5^{\frac {1}{8}}\right)=\left(3^{1+{\frac {1}{4}}}\right)\left(5^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}}\right)$.

從這裡可以很容易地看出表示式 $\left(3^{1+{\frac {1}{4}}}\right)\left(5^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}}\right)$ 在下一個模式中將是 $\left(3^{1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}}\right)\left(5^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}}\right)$。 這是因為給定平方根內的值交替出現。 當一個值的平方根交替時，每個平方根的值都會增加 ${\frac {1}{2}}$。 由於每個數字的倍數並不關心其乘法的順序（即乘法是可交換的），將公共底數的乘數放在一起，得到我們發現的結果。 因此，出現了一種可以利用的模式。
$$\left(3^{f(n)}\right)\left(5^{g(n)}\right){\text{, where }}f(n)=\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{4}}\right)^{n}{\text{ and }}g(n)=\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{4}}\right]^{n}\right).$$

令 $k$ 趨向無窮大。 評估每個函式以找到最終值。

$f(n)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{n}={\frac {1}{\frac {3}{4}}}={\frac {4}{3}}.$

$g(n)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{4}}\right]^{n}\right)={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}}={\frac {2}{3}}.$

因此，(c) 的最終值為
$$3{\sqrt {5{\sqrt {3{\sqrt {5{\sqrt {3{\sqrt {5{\sqrt {3{\sqrt {\ldots }}}}}}}}}}}}}}=\left(3^{\frac {4}{3}}\right)\left(5^{\frac {2}{3}}\right).$$

(i)

正如從專案 (c) 中很容易推斷出的那樣，$a{\sqrt {b{\sqrt {a{\sqrt {b{\sqrt {a{\sqrt {b{\sqrt {a{\sqrt {\ldots }}}}}}}}}}}}}}=a^{\frac {4}{3}}b^{\frac {2}{3}}$。為了使結果成為正整數，其中$a^{\frac {4}{3}}b^{\frac {2}{3}}\in \mathbb {Z} ^{+}$，它需要是$a=u^{3}$ 且 $b=v^{3}$，對於 $u,v\in \mathbb {Z} ^{+}$。

令 $a^{\frac {4}{3}}b^{\frac {2}{3}}=t^{2}\in \mathbb {Z} ^{+}$。將我們已知的資訊代入，

$u^{4}v^{2}=t^{2}$.

令 $u^{4}=s^{2}$。

$s^{2}v^{2}=t^{2}\Leftrightarrow (sv)^{2}=t^{2}\Rightarrow sv=t$.

存在一些$a,b\in \mathbb {Z} ^{+}$，使表示式成為平方。因為每個值只需要立方，所以存在無限多種可能性。$\blacksquare$ 一個非平凡的例子是 $(a,b)=(29\,791,887\,503\,681)$，這將得到完全平方 $8.52891037\cdot 10^{11}$，其平方根為 $923\,521$。進一步開平方得到 $961$；進一步進行這種操作得到 $31$。

無窮等比級數的證明

$\sum _{i=1}^{\infty }\left(ar^{i-1}\right)={a \over 1-r}{\text{ if }}0<\left|r\right\vert <1$。我們如何證明這是真的？同樣，這遠遠超出了大多數教科書要求的課程範圍。然而，許多數學教科書的目標是激發使用者對數學的興趣，並將其概念應用到其他興趣領域。無論一個人進入哪個領域，他們都需要解決問題：歷史專業的學生需要理解一個人的意思；英語專業的學生需要找到合適的詞語來幫助他們表達自己的想法；科學專業的學生需要運用數學概念來傳達有關科學的想法。因此，學會熱愛問題，因為征服問題會讓你變得更強大。

注意：你將要學到的東西在課程中是**不**需要的。如果你不明白這些概念，不用擔心，因為它們對 CLEP 考試無關緊要。這些證明只是為了幫助你對這些概念建立數學理解。因此，如果你願意，可以跳過這些內容。

證明的先決條件：假設我們想要找到某個函式 $f(x)$ 的值。將此函式定義為 $f(x)={x^{2}-4 \over x-2}$。如果 $x=2$，那麼 $f(2)={(2)^{2}-4 \over (2)-2}={0 \over 0}$。好吧，似乎當 $x=2$ 時，該值是未定義的，因此它似乎不等於任何東西。但是，讓我們嘗試繪製這個有理函式的影像。

首先，讓我們進行除法：${x^{2}-4 \over x-2}={(x-2)(x+2) \over x-2}=x+2$。看起來一旦我們簡化了這個有理表示式，我們就剩下$x+2$。然而，這並不完全正確，因為我們的函式在$x=2$處仍然未定義，所以我們必須新增一個約束條件：$f(x)=x+2{\text{ if }}x\neq 2$。更正式地說

$$f(x)={\begin{cases}x+2,&{\text{if}}&-\infty <x<2\\{x^{2}-4 \over x-2},&{\text{if}}&x=2\\x+2,&{\text{if}}&2<x<\infty \end{cases}}$$

如果我們繪製關係圖，我們發現函式中在該點處有一個“洞”。讓我們使用接近 2 的值，以便我們遵守這些規則。

$${\begin{array}{|c|c|}x&f(x)\\\hline 1.9&(1.9)+2=3.9\\\hline 1.99&(1.99)+2=3.99\\\hline 1.999&(1.999)+2=3.999\\\hline 2&{\text{undefined}}\\\hline 2.001&(2.001)+2=4.001\\\hline 2.01&(2.01)+2=4.01\\\hline 2.1&(2.1)+2=4.1\end{array}}\!$$

很明顯，當值越來越“接近”$2$時，$f(2)$“接近”$4$。什麼是“接近”？你的眼睛距離螢幕有多近？我們很可能會說，“它距離螢幕 45 釐米”。在這種情況下，讓我們使用距離（即絕對值）來定義“接近”這個詞：$|2.001-2|=0.001$ 和 $|1.999-2|=0.001$。（回答這個問題：我們為什麼要使用絕對值？）

讓我們使用兩個變數 $x_{1}$ 和 $x$ 來定義這個過程：如果 $0<\left|x_{1}-x\right\vert <n$，那麼這兩個值是“接近”的或“接近於函式 $f(x)$ 的 $L$”，“其中 $n$ 可以是您想要的任何值，只要它符合我們的定義。我們可以得出以下結論：$\left|f(x)-L\right\vert$ 是“接近”的，當 $\left|x_{1}-x\right\vert$ 是接近的，前提是 $0<\left|f(x)-L\right\vert <n_{f}$。如果我們仔細思考，我們已經充分證明了“接近”的含義。讓我們把這個定義^{[見腳註 4]} 放在最前面

對於任何 $0<\left|f(x)-L\right\vert <n_{f}$，存在一個 $0<\left|x_{1}-x\right\vert <n$。

正如我們提到的，數學家喜歡“更聰明地工作，而不是更努力地工作”，因此數學家不想寫出“當 $x$ 趨近於 $2$ 時，$f(x)$ 趨近於 $4$”。相反，我們使用我們特殊的符號寫成：$\lim _{x\to 2}f(x)=4$。這個 $\lim$ 稱為“極限”。所有這些符號的意思是“當我們將 $x$ 的值限制在接近 ($\to$) $2$ 時，我們發現 $f(x)$ 趨近於 $4$”。現在，你對極限有了足夠的瞭解，可以開始證明了。

已知 $\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)={a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}$ 可以求出有限等比數列的和，證明 $\sum _{i=1}^{\infty }\left(ar^{i-1}\right)={a \over 1-r}{\text{ if }}0\leq \left|r\right\vert <1$ 是無限等比數列的和。

閱讀先決條件以理解此證明。

如果我們想知道當 $k$ 趨於無窮大 ($\infty$) 會發生什麼，我們可以這樣寫：$$\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)={a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}$$

注意：${a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}={ar^{k}-a \over r-1}$.

當 $|r|>1$ 會發生什麼？對於 $\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)={ar^{k}-a \over r-1}$，分子將會有值 $ar^{k}$ 越來越接近無窮大，當 $r$ 和 $k$ 變大，因此，它們不會收斂到一個有限的值。

當 $|r|=1$ 會發生什麼？對於 $\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)={ar^{k}-a \over r-1}$，分母將會有值 $(1)-1=0$，這將導致 ${a-a \over 0}={0 \over 0}$。它是未定的，沒有辦法找到它收斂到的值。因此，當 $|r|=1$ 時，極限是未定的。

當 $0\leq |r|<1$ 時會發生什麼？ 對於 $\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)={ar^{k}-a \over r-1}$，分子將具有值 $ar^{k}$ 接近 $0$ 因為 $r$ 和 $k$ 變大。此外，分母將永遠不會是 $0$，所以一切順利。如果 $\lim _{k\to \infty }ar^{k}=0$，考慮到 $0\leq |r|<1$，那麼 $\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)={-a \over r-1}$.

注意：${-a \over r-1}={-a \over -(-r+1)}={a \over -r+1}={a \over 1-r}$。因此：$$\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)={a \over 1-r}{\text{ if }}0\leq \left|r\right\vert <1.$$

請注意，透過證明極限的以下事實，我們也“證明”了求和表示^{[參見腳註 5]}。

腳註

1. WikiBooks 只是將使用的公式稱為“高斯方法”，因為這是一個著名的數學故事。有一個名叫卡爾·弗里德里希·高斯的聰明數學家，他在二年級的時候被要求求和 $1+2+3+4+\ldots +99+100$。佈置這個題目的老師只是想獲得片刻寧靜。然而，高斯能夠使用示例 1.3.1.a 中的相同方法得出答案。傳說他並沒有寫下這個方法，而是在腦子裡完成了所有的計算；他只是遞交了一張寫著答案的紙。儘管如此，老師還是不得不檢查一下他是否正確。結果證明，他確實是正確的。如果讀者需要將此公式介紹給其他數學家，只需將其稱為“算術級數求和公式”，儘管它不如之前的名稱那麼朗朗上口。
2. 許多教科書通常使用以下公式來表示等比數列：$S_{g}={a\left(1-r^{k}\right) \over 1-r}$。兩者在技術上都是正確的；然而，本華夏公益教科書決定使用 $S_{g}={a\left(r^{k}-1\right) \over r-1}$，因為更容易記住從索引 $k$的最後一項中減去第一項。
3. 儘管描述在技術上是正確的，但微積分只是解決該問題的拼圖中的一塊。描述的版本在示例中顯示，但原始問題確實涉及微積分概念，在本華夏公益教科書中不會討論，因為它不能幫助我們理解無窮等比數列。
4. 注意，形式定義在技術上是完整的；但是，提到的距離變數略有不同。而不是 $0<\left|x_{1}-x\right\vert <n$，寫成 $0<\left|x_{1}-x\right\vert <\delta$（讀作 $\delta$為“delta”）。而不是 $0<\left|f(x)-L\right\vert <n_{f}$，寫成 $0<\left|f(x)-L\right\vert <\epsilon$（讀作 $\epsilon$為“epsilon”）。因此，對“接近”的定義發生了變化：“對於任何 $0<\left|f(x)-L\right\vert <\epsilon$，存在一個 $0<\left|x_{1}-x\right\vert <\delta$。” 還要注意，定義可以略有不同，例如“對於任何 $\epsilon >0$，存在一個 $\delta >0$，使得 $\left|f(x)-L\right\vert <\epsilon$ 且 $\left|x_{1}-x\right\vert <\delta$。” 為了避免讀者混淆，我們決定使定義更易於理解。
5. 請注意，極限可以應用於任何函式。設 $L(x)=2x$。假設我們要找出 $\lim _{x\to 10}L(x)$。我們可以透過以下方法找到：當x越來越接近 $10$ 時，我們發現 $L(x)$ 越來越接近 $20$。然而，我們可以透過以下簡化過程來表示： $\lim _{x\to L}f(x)=f(L)$，前提是函式是連續的。因為在 $f(i)=\left(ar^{i-1}\right)$ 中不存在跳躍或漸近線，只要 $0\leq |r|<1$，我們可以得出結論 $\sum _{i=1}^{\infty }f(i)={a \over 1-r}{\text{ if }}0\leq \left|r\right\vert <1$。這就是為什麼我們可以使用極限並得出結論 $\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}\left(ar^{i-1}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\left(ar^{i-1}\right)={a \over 1-r}{\text{ if }}0\leq \left|r\right\vert <1$。