C 程式設計/高等數學

<math.h> 標頭檔案包含處理數學的幾個函式的原型。在 1990 年的 ISO 標準中，只指定了函式的 double 版本；1999 年的版本添加了 float 和 long double 版本。要使用這些數學函式，您必須將程式與數學庫連結。對於一些編譯器（包括 GCC），您必須指定額外的引數 -lm^[1]^[2]。

數學函式可能會產生兩種錯誤。域錯誤發生在函式引數無效時，例如，將負數作為引數傳遞給sqrt(平方根函式)。範圍錯誤發生在函式結果無法用特定浮點型別表示時，例如pow(1000.0, 1000.0)如果 double 的最大值約為 10³⁰⁸。

這些函式可以分為以下幾類

三角函式

acos 和 asin 函式

acos 函式返回其引數的反餘弦值（以弧度為單位），asin 函式返回其引數的反正弦值（以弧度為單位）。所有函式都期望引數在 [-1,+1] 範圍內。反餘弦返回 [0,π] 範圍內的值；反正弦返回 [-π/2,+π/2] 範圍內的值。

 #include <math.h>
 float asinf(float x); /* C99 */
 float acosf(float x); /* C99 */
 double asin(double x);
 double acos(double x);
 long double asinl(long double x); /* C99 */
 long double acosl(long double x); /* C99 */

atan 和 atan2 函式

atan 函式返回其引數的反正切值（以弧度為單位），atan2 函式返回 y/x 的反正切值（以弧度為單位）。atan 函式返回 [-π/2,+π/2] 範圍內的值（±π/2 包含在範圍內的原因是，浮點值可以表示無窮大，而 atan(±∞) = ±π/2）；atan2 函式返回 [-π,+π] 範圍內的值。對於 atan2，如果兩個引數都為零，則可能會發生域錯誤。

 #include <math.h>
 float atanf(float x); /* C99 */
 float atan2f(float y, float x); /* C99 */
 double atan(double x);
 double atan2(double y, double x);
 long double atanl(long double x); /* C99 */
 long double atan2l(long double y, long double x); /* C99 */

cos、sin 和 tan 函式

cos、sin 和 tan 函式分別返回引數的餘弦、正弦和正切值，以弧度表示。

 #include <math.h>
 float cosf(float x); /* C99 */
 float sinf(float x); /* C99 */
 float tanf(float x); /* C99 */
 double cos(double x);
 double sin(double x);
 double tan(double x);
 long double cosl(long double x); /* C99 */
 long double sinl(long double x); /* C99 */
 long double tanl(long double x); /* C99 */

雙曲函式

該cosh, sinh和tanh函式分別計算引數的雙曲餘弦、雙曲正弦和雙曲正切。對於雙曲正弦和餘弦函式，如果引數的大小太大，則會發生範圍錯誤。

該acosh函式計算引數的反雙曲餘弦。對於小於 1 的引數，會發生域錯誤。

該asinh函式計算引數的反雙曲正弦。

該atanh函式計算引數的反雙曲正切。如果引數不在 [-1, +1] 區間內，則會發生域錯誤。如果引數等於 -1 或 +1，則可能發生範圍錯誤。

 #include <math.h>
 float coshf(float x); /* C99 */
 float sinhf(float x); /* C99 */
 float tanhf(float x); /* C99 */
 double cosh(double x); 
 double sinh(double x);
 double tanh(double x);
 long double coshl(long double x); /* C99 */
 long double sinhl(long double x); /* C99 */
 long double tanhl(long double x); /* C99 */
 float acoshf(float x); /* C99 */
 float asinhf(float x); /* C99 */
 float atanhf(float x); /* C99 */
 double acosh(double x); /* C99 */
 double asinh(double x); /* C99 */
 double atanh(double x); /* C99 */
 long double acoshl(long double x); /* C99 */
 long double asinhl(long double x); /* C99 */
 long double atanhl(long double x); /* C99 */

指數和對數函式

exp、exp2 和 expm1 函式

exp 函式計算 x 的以 e 為底的指數函式 (e^x)。如果 x 的大小太大，則會發生範圍錯誤。

exp2 函式計算 x 的以 2 為底的指數函式 (2^x)。如果 x 的大小太大，則會發生範圍錯誤。

expm1 函式計算引數的以 e 為底的指數函式，減去 1。如果 x 的大小太大，則會發生範圍錯誤。

 #include <math.h>
 float expf(float x); /* C99 */
 double exp(double x);
 long double expl(long double x); /* C99 */
 float exp2f(float x); /* C99 */
 double exp2(double x); /* C99 */
 long double exp2l(long double x); /* C99 */
 float expm1f(float x); /* C99 */
 double expm1(double x); /* C99 */
 long double expm1l(long double x); /* C99 */

frexp、ldexp、modf、scalbn 和 scalbln 函式

這些函式在軟體浮點模擬器中被大量使用，但在其他情況下很少被直接呼叫。

在計算機內部，每個浮點數都由兩個部分表示

尾數要麼在 [1/2, 1) 範圍內，要麼等於零。
指數是一個整數。

浮點數 $v$ 的值是 $v={\rm {significand}}\times 2^{\rm {exponent}}$ .

frexp 函式將引數浮點數 value 分解為這兩個部分：指數和尾數。分解後，它將指數儲存在 ex 指向的 int 物件中，並返回尾數。換句話說，返回的值是給定浮點數的副本，但指數被替換為 0。如果 value 為零，則結果的兩個部分均為零。

ldexp 函式將浮點數乘以 2 的整數次冪，並返回結果。換句話說，它返回給定浮點數的副本，其指數增加了 ex。可能會發生範圍錯誤。

modf 函式將引數 value 分解為整數部分和小數部分，它們都與引數具有相同的符號。它們將整數部分儲存在 *iptr 指向的物件中，並返回小數部分。*iptr 是浮點型別，而不是 "int" 型別，因為它可能用於儲存像 1 000 000 000 000 000 000 000 這樣的整數，而這個整數太大，無法放入 int 中。

scalbn 和 scalbln 計算 x × FLT_RADIXⁿ。FLT_RADIX 是浮點系統的基數；如果它是 2，則這些函式等效於 ldexp。

 #include <math.h>
 float frexpf(float value, int *ex); /* C99 */
 double frexp(double value, int *ex);
 long double frexpl(long double value, int *ex); /* C99 */
 float ldexpf(float x, int ex); /* C99 */
 double ldexp(double x, int ex);
 long double ldexpl(long double x, int ex); /* C99 */
 float modff(float value, float *iptr); /* C99 */
 double modf(double value, double *iptr); 
 long double modfl(long double value, long double *iptr); /* C99 */
 float scalbnf(float x, int ex); /* C99 */
 double scalbn(double x, int ex); /* C99 */
 long double scalbnl(long double x, int ex); /* C99 */
 float scalblnf(float x, long int ex); /* C99 */
 double scalbln(double x, long int ex); /* C99 */
 long double scalblnl(long double x, long int ex); /* C99 */

大多數 C 浮點庫還實現了 IEEE754 推薦的 nextafter()、nextUp() 和 nextDown() 函式。 [3]

`log`、`log2`、`log1p` 和 `log10` 函式

log 函式計算引數的以 e 為底的自然對數，並返回結果。如果引數為負數，則會發生域錯誤。如果引數為零，則可能會發生範圍錯誤。

log1p 函式計算引數加 1 的以 e 為底的自然對數，並返回結果。如果引數小於 -1，則會發生域錯誤。如果引數為 -1，則可能會發生範圍錯誤。

log10 函式計算引數的以 10 為底的常用對數，並返回結果。如果引數為負數，則會發生域錯誤。如果引數為零，則可能會發生範圍錯誤。

log2 函式計算引數的以 2 為底的對數，並返回結果。如果引數為負數，則會發生域錯誤。如果引數為零，則可能會發生範圍錯誤。

 #include <math.h>
 float logf(float x); /* C99 */
 double log(double x);
 long double logl(long double x); /* C99 */
 float log1pf(float x); /* C99 */
 double log1p(double x); /* C99 */
 long double log1pl(long double x); /* C99 */
 float log10f(float x); /* C99 */
 double log10(double x);
 long double log10l(long double x); /* C99 */
 float log2f(float x); /* C99 */
 double log2(double x); /* C99 */
 long double log2l(long double x); /* C99 */

`ilogb` 和 `logb` 函式

ilogb 函式將 x 的指數提取為帶符號的 int 值。如果 x 為零，則它們返回 FP_ILOGB0 值；如果 x 為無窮大，則它們返回 INT_MAX 值；如果 x 為 NaN，則它們返回 FP_ILOGBNAN 值；否則，它們等效於呼叫相應的 logb 函式並將返回的值強制轉換為 int 型別。如果 x 為零，則可能會發生範圍錯誤。FP_ILOGB0 和 FP_ILOGBNAN 是在 math.h 中定義的宏；INT_MAX 是在 limits.h 中定義的宏。

logb 函式將 x 的指數提取為浮點格式的帶符號整數。如果 x 為非規格化數，則將其視為規格化數；因此，對於正有限的 x，1 ≤ x × FLT_RADIX^-logb(x) < FLT_RADIX。FLT_RADIX 是浮點數的基數，在 float.h 標頭檔案中定義。

 #include <math.h>
 int ilogbf(float x); /* C99 */
 int ilogb(double x); /* C99 */
 int ilogbl(long double x); /* C99 */
 float logbf(float x); /* C99 */
 double logb(double x); /* C99 */
 long double logbl(long double x); /* C99 */

冪函式

`pow` 函式

pow 函式計算 x 的 y 次冪，並返回結果。如果 x 為負數且 y 不是整數值，則會發生域錯誤。如果 x 為零且 y 小於或等於零，則結果無法表示，也會發生域錯誤。可能會發生範圍錯誤。

 #include <math.h>
 float powf(float x, float y); /* C99 */
 double pow(double x, double y);
 long double powl(long double x, long double y); /* C99 */

`sqrt` 函式

sqrt 函式計算 x 的正平方根，並返回結果。如果引數為負數，則會發生域錯誤。

 #include <math.h>
 float sqrtf(float x); /* C99 */
 double sqrt(double x);
 long double sqrtl(long double x); /* C99 */

`cbrt` 函式

cbrt 函式計算 x 的立方根，並返回結果。

 #include <math.h>
 float cbrtf(float x); /* C99 */
 double cbrt(double x); /* C99 */
 long double cbrtl(long double x); /* C99 */

`hypot` 函式

hypot 函式計算 x 和 y 的平方和的平方根，避免溢位或下溢，並返回結果。

 #include <math.h>
 float hypotf(float x, float y); /* C99 */
 double hypot(double x, double y); /* C99 */
 long double hypotl(long double x, long double y); /* C99 */

最接近的整數、絕對值和餘數函式

`ceil` 和 `floor` 函式

ceil 函式計算不小於 x 的最小整數值，並返回結果；floor 函式計算不大於 x 的最大整數值，並返回結果。

 #include <math.h>
 float ceilf(float x); /* C99 */
 double ceil(double x);
 long double ceill(long double x); /* C99 */
 float floorf(float x); /* C99 */
 double floor(double x);
 long double floorl(long double x); /* C99 */

`fabs` 函式

fabs 函式計算浮點數 x 的絕對值，並返回結果。

 #include <math.h>
 float fabsf(float x); /* C99 */
 double fabs(double x); 
 long double fabsl(long double x); /* C99 */

`fmod` 函式

fmod 函式計算 x/y 的浮點餘數，並返回 x - i * y 的值，其中 i 是某個整數，使得如果 y 不為零，則結果與 x 具有相同的符號，並且大小小於 y 的大小。如果 y 為零，則是否發生域錯誤或 fmod 函式返回零是實現定義的。

 #include <math.h>
 float fmodf(float x, float y); /* C99 */
 double fmod(double x, double y);
 long double fmodl(long double x, long double y); /* C99 */

`nearbyint`、`rint`、`lrint` 和 `llrint` 函式

nearbyint 函式將它們的實參四捨五入到浮點格式的整數值，使用當前的舍入方向，並且不會引發“不精確”浮點異常。

rint 函式類似於 nearbyint 函式，但如果結果與實參的值不同，它們可能會引發“不精確”浮點異常。

lrint 和 llrint 函式根據當前的舍入方向將它們的實參四捨五入到最接近的整數值。如果結果超出返回型別的值範圍，則數值結果未定義，如果實參的大小過大，則可能會發生範圍錯誤。

 #include <math.h>
 float nearbyintf(float x); /* C99 */
 double nearbyint(double x); /* C99 */
 long double nearbyintl(long double x); /* C99 */
 float rintf(float x); /* C99 */
 double rint(double x); /* C99 */
 long double rintl(long double x); /* C99 */
 long int lrintf(float x); /* C99 */
 long int lrint(double x); /* C99 */
 long int lrintl(long double x); /* C99 */
 long long int llrintf(float x); /* C99 */
 long long int llrint(double x); /* C99 */
 long long int llrintl(long double x); /* C99 */

`round`、`lround` 和 `llround` 函式

round 函式將實參四捨五入到浮點格式的最接近的整數值，無論當前的舍入方向如何，都將半途而廢的情況四捨五入到遠離零的方向。

lround 和 llround 函式將實參四捨五入到最接近的整數值，無論當前的舍入方向如何，都將半途而廢的情況四捨五入到遠離零的方向。如果結果超出返回型別的值範圍，則數值結果未定義，如果實參的大小過大，則可能會發生範圍錯誤。

 #include <math.h>
 float roundf(float x); /* C99 */
 double round(double x); /* C99 */
 long double roundl(long double x); /* C99 */
 long int lroundf(float x); /* C99 */
 long int lround(double x); /* C99 */
 long int lroundl(long double x); /* C99 */
 long long int llroundf(float x); /* C99 */
 long long int llround(double x); /* C99 */
 long long int llroundl(long double x); /* C99 */

`trunc` 函式

trunc 函式將它們的實參四捨五入到浮點格式的整數值，該整數值最接近實參，但大小不超過實參。

 #include <math.h>
 float truncf(float x); /* C99 */
 double trunc(double x); /* C99 */
 long double truncl(long double x); /* C99 */

`remainder` 函式

remainder 函式計算由 IEC 60559 定義的餘數 x REM y。定義如下：“當 y ≠ 0 時，餘數 r = x REM y 的定義與舍入模式無關，由數學歸納法 r = x - ny 定義，其中 n 是最接近 x/y 的精確值的整數；當 |n - x/y| = ½ 時，則 n 為偶數。因此，餘數總是精確的。如果 r = 0，則它的符號應與 x 的符號相同。”此定義適用於所有實現。

 #include <math.h>
 float remainderf(float x, float y); /* C99 */
 double remainder(double x, double y); /* C99 */
 long double remainderl(long double x, long double y); /* C99 */

`remquo` 函式

remquo 函式返回與 remainder 函式相同的餘數。在由 quo 指向的物件中，它們儲存一個值，該值的符號是 x/y 的符號，並且該值的幅度對 2ⁿ 取模與 x/y 的整數商的幅度一致，其中 n 是大於或等於 3 的實現定義的整數。

 #include <math.h>
 float remquof(float x, float y, int *quo); /* C99 */
 double remquo(double x, double y, int *quo); /* C99 */
 long double remquol(long double x, long double y, int *quo); /* C99 */

誤差函式和伽馬函式

erf 函式計算實參 ${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t$ 的誤差函式。

erfc 函式計算實參的補誤差函式（即 1 - erf x）。對於 erfc 函式，如果實參過大，則可能會發生範圍錯誤。

lgamma 函式計算實參的伽馬函式的絕對值的自然對數（即 log_e|Γ(x)|）。如果實參為負整數或零，則可能會發生範圍錯誤。

tgamma 函式計算實參的伽馬函式（即 Γ(x)）。如果實參為負整數，或者如果實參為零時結果無法表示，則會發生域錯誤。可能會發生範圍錯誤。

 #include <math.h>
 float erff(float x); /* C99 */
 double erf(double x); /* C99 */
 long double erfl(long double x); /* C99 */
 float erfcf(float x); /* C99 */
 double erfc(double x); /* C99 */
 long double erfcl(long double x); /* C99 */
 float lgammaf(float x); /* C99 */
 double lgamma(double x); /* C99 */
 long double lgammal(long double x); /* C99 */
 float tgammaf(float x); /* C99 */
 double tgamma(double x); /* C99 */
 long double tgammal(long double x); /* C99 */

參考資料

維基百科在 迴圈移位 上有相關資訊。

↑ [1] 為什麼必須在 C 中連結數學庫？
↑ [2] 為什麼我必須顯式地連結 libm？

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C 程式設計

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[Why-lm-is-needed-1] [1] 為什麼必須在 C 中連結數學庫？

[Why-math-library-link-needed-2] [2] 為什麼我必須顯式地連結 libm？

[1]

[2]

三角函式

acos 和 asin 函式

atan 和 atan2 函式

cos、sin 和 tan 函式

雙曲函式

指數和對數函式

exp、exp2 和 expm1 函式

frexp、ldexp、modf、scalbn 和 scalbln 函式

log、log2、log1p 和 log10 函式

ilogb 和 logb 函式

冪函式

pow 函式

sqrt 函式

cbrt 函式

hypot 函式

最接近的整數、絕對值和餘數函式

ceil 和 floor 函式

fabs 函式

fmod 函式

nearbyint、rint、lrint 和 llrint 函式

round、lround 和 llround 函式

trunc 函式

remainder 函式

remquo 函式