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二階微分方程

二階微分方程具有以下一般形式：

$a{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)+b{\frac {d}{dx}}f(x)+c=0$

特徵方程

以上二階微分方程可以改寫為：

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)+{\frac {b}{a}}{\frac {d}{dx}}f(x)+{\frac {c}{a}}=0$

令

$s={\frac {d}{dx}}$

那麼

$s^{2}+{\frac {b}{a}}s+{\frac {c}{a}}=0$

$s=(-\alpha \pm {\sqrt {\lambda }}$) t

$\alpha ={\frac {b}{2a}}$

$\beta ={\frac {c}{a}}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

情況 1

當

$\lambda =0$

那麼

$\alpha ^{2}=\beta ^{2}$

$s=e^{(}-\alpha t)$

方程有 *一個實數* 根

情況 2

當

$\lambda >0$

那麼

$\alpha ^{2}>\beta ^{2}$

$s=e^{(}-\alpha x)e^{[}\pm (\lambda x)]$

方程有 *兩個實數* 根

情況 3

當

$\lambda <0$

那麼

$\alpha ^{2}<\beta ^{2}$

$s=e^{(}-\alpha t)[e^{(}\pm j\lambda t)]$

方程有 *兩個複數* 根

特殊情況

情況 1

形式為

${\frac {d^{2}f(t)}{dt^{2}}}+\lambda =0$

$s^{2}=-\lambda$

方程的根

$s=\pm j{\sqrt {\lambda }}$

情況 2

形式為

${\frac {d^{2}f(t)}{dt^{2}}}-\lambda =0$

$s^{2}=\lambda$

方程的根

$s=\pm {\sqrt {\lambda }}$

總結

二階微分方程

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)+{\frac {b}{a}}{\frac {d}{dx}}f(x)+{\frac {c}{a}}=0$

有根取決於 $\lambda$ 的值

1. $\lambda =0.f(x)=e^{(}-\alpha x)$
2. $\lambda >0.f(x)=e^{(}-\alpha x)e^{(}\pm \lambda x)$
3. $\lambda <0.f(x)=e^{(}-\alpha x)e^{(}\pm j\lambda x)$

其中

$\alpha ={\frac {b}{a}}$

$\beta ={\frac {c}{a}}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$