微積分課程/積分/不定積分

不定積分

不定積分是對非線性函式在不定邊界上的數學運算。

$\int f(x)dx=Lim_{\Delta x\to 0}\Sigma \Delta x[f(x)+{\frac {f(x+\Delta x)}{2}}]$

不定積分法則

由於反微分是微分的逆運算，因此反微分定理和法則是從微分定理和法則中得到的。因此，以下定理可以從相應的微分定理中證明。

• 一般反微分法則

$\int dx=x+C$

• 常數乘以函式的一般反導數等於常數乘以該函式的一般反導數。

$\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx+C$

• 如果ƒ和g在同一區間上定義，則ƒ和g之和的一般反導數等於ƒ和g的一般反導數之和。

$\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx+C$

• 如果n是實數，

$\int x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,&{\text{if }}n\neq -1\\[6pt]\ln |x|+C,&{\text{if }}n=-1\end{cases}}$

$\int f(x)dx=f^{'}(x)+C$

$\int {\frac {f^{'}(x)}{f(x)}}{\rm {d}}x=\ln |f(x)|+c$

$\int {UV}=U\int {V}-\int {\left(U^{'}\int {V}\right)}$

$e^{x}$ 也能生成自身，並適用於相同的處理方式。

$\int {e^{-x}\sin x}~dx=(-e^{-x})\sin x-\int {(-e^{-x})\cos x}~dx$

$=-e^{-x}\sin x+\int {e^{-x}\cos x}~dx$

$=-e^{-x}(\sin x+\cos x)-\int {e^{-x}\sin x}~dx+c$

現在方程兩邊都有我們所需的積分，所以

$=-{\frac {1}{2}}e^{-x}(\sin x+\cos x)+c$

• $f(x)=m$

$\int mdx=mx+C$

• $f(x)=x^{n}$

$\int {f(x)}dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+c$

• $f(x)={\frac {1}{x}}$

$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln x$

導數積分列表

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