劍橋 O 水平數學 (大綱 D)/函式符號

關係

簡單來說，關係是指一組輸入與一組輸出之間的聯絡方式。就像在計算機系統中，關係由輸入、處理和輸出組成。以下是一個例子

$2+3=5$

這裡的數字“2”是輸入，處理過程是加上 3 (“+3”)。因此，輸出是“5”。

${\begin{aligned}&2\times 2=4\\&3\times 2=6\\&4\times 2=8\\&5\times 2=10\end{aligned}}$

這裡，處理過程是乘以 2，輸入是 2、3、4 和 5。這些資訊可以用下面的圖表表示。

<圖表佔位符>

一般來說，有四種關係

1. 一對一關係（一個輸入對應一個輸出，例如上面的簡單算術）
2. 一對多關係（一個輸入對應多個輸出，例如二次方程）
3. 多對一關係（多個輸入對應同一個輸出，例如平方負數）
4. 多對多關係（多個輸入對應多個輸出，有些相似）

函式

函式是一種關係，對於每個輸入都有**唯一的輸出**。這意味著只有**一對一**和**多對一**關係才是函式。函式的表示方式如下

$f(x)=3x+5\ {\mbox{or}}~f:x\mapsto 3x+5$

在考試中，他們可能會使用兩種符號中的任何一種，所以最好熟悉兩種符號。這裡，‘x’是表示輸入的變數，函式‘f’是處理過程（即 3x+5）。所以，如果我們輸入 x=3，那麼

$f(3)=3(3)+5=9+5=14$

因此，當輸入為 3 時，輸出為 14。

更多函式示例

${\begin{aligned}&f(x)=2x+3\\&h(p)=9p-12\\&d(r)\mapsto 8-12r\end{aligned}}$

反函式

先修知識：在開始本節之前，請確保您瞭解主題 22 和 23 中概述的概念。這些內容可能已在初中課程中教授過您。

以下是一個例子

${\begin{aligned}f(x)&=4x-3\\f(2)&=4(2)-3\\&=8-3\\&=5\end{aligned}}$

當我們將 2 輸入函式時，我們得到輸出 5。現在，讓我們將 ‘x’ 作為方程的主題。

${\begin{aligned}f(x)&=4x-3\\f(x)+3&=4x\\{\frac {f(x)+3}{4}}&=x\end{aligned}}$

假設 f(x) 是一個變數，我們輸入 f(x)=5，即之前計算的輸出

${\begin{aligned}x&={\frac {5+3}{4}}\\&={\frac {8}{4}}\\&=2\end{aligned}}$

結果是 2，也就是之前計算的輸入。基本上，所做的是，將一個值放到輸出應該出現的位置，然後對其求解‘x’，‘x’是應該放置輸入的位置

${\begin{aligned}f(x)&=4x-3\\5&=4x-3\\5+3&=4x\\{\frac {8}{4}}&=x\\x&=2\end{aligned}}$

公式

$x={\frac {f(x)+3}{4}}$

被稱為逆函式，因為函式反向執行，從輸出到輸入。這通常表示為

$f^{-1}(x)={\frac {x+3}{4}}$ 或 $f^{-1}:x\mapsto {\frac {x+3}{4}}$

求逆函式

求函式的逆函式，例如，以下函式：

$f(x)={\frac {12}{x-3}}-7,x\neq 3$

1. 寫下以下陳述

"${\mbox{Let}}~y=f(x)\Leftrightarrow f^{-1}(y)=x$"

2. 然後讓 y = f(x)

$y={\frac {12}{x-3}}-7$

3. 將 'x' 作為公式的主題

${\begin{aligned}y+7&={\frac {12}{x-3}}\\(y+7)(x-3)&=12\\x-3&={\frac {12}{y+7}}\\x&={\frac {12}{y+7}}+3\end{aligned}}$

4. 將 x 更改為 f^(-1) (y) (輸入為 y 的逆函式)

$f^{-1}(y)={\frac {12}{y+7}}+3$

5. 將輸入變數更改回 x

$\therefore f^{-1}(x)={\frac {12}{x+7}}+3,x\neq -7$

自逆函式

當逆函式與函式本身相同時，該函式稱為自逆函式，即 f(x) = f^-1(x)。

一個簡單的自逆函式是 f(x) = x。

例外

假設你被要求找到以下多對一函式的逆函式。

$f(x)=x^{2}-1$

令 y = f(x) $\Leftrightarrow$ f^-1(y) = x

${\begin{aligned}y&=x^{2}-1\\y+1&=x^{2}\\\pm {\sqrt {y+1}}&=x\end{aligned}}$

此方程有兩個輸出，一個正數，一個負數。根據函式的定義，此方程不是一個函式。讓我們看看另一個多對一函式。

$f(x)=\sin x$

如果你用計算器求 sin 90 的值，它等於 1。然而，sin 450 也等於 1，sin 810 也等於 1，sin 1170 也等於 1，等等。實際上，所有三角函式都是多對一函式，不應有逆函式，但是你的計算器上有一個 'sin^-1' 按鈕。其背後的原因在進階數學大綱中有所解釋，所以不用擔心。只需記住**多對一函式沒有逆函式**。

捷徑

假設你在考試中遇到了以下問題。

一個函式定義為$f(x)=7x-9$.
(a) 不求$f^{-1}(x)$的值，求$f^{-1}(19)$的值。

你如何回答這個問題？

還記得當求函式的逆函式時，輸入和輸出會互換嗎？你可以利用這一知識來解決問題。逆函式的輸入本質上是函式本身的輸出，因此，如果

$x=f^{-1}(19)$

那麼，

${\begin{aligned}f(x)&=19\\7x-9&=19\\7x&=19+9\\x&={\frac {28}{7}}\\&=4\end{aligned}}$

$\therefore f^{-1}(19)=4$

這就是關係$y=f(x)\Leftrightarrow f^{-1}(y)=x$的推導過程。出題人知道很多考生不瞭解或沒有注意到這種關係，因此可以根據這一點出題。

總結

• 有 4 種關係：一對一、一對多、多對一和多對多。
• 函式是關係的一種特殊形式，對任何一個輸入只有一個輸出（即一對一和多對一）。
• 函式用$f(x)=$ 或 $f:x\mapsto$ 表示。
• 逆函式是與普通函式方向相反的函式（輸入和輸出互換）。
• 反函式用 $f^{-1}(x)=$ 或 $f^{-1}:x\mapsto$ 表示。
• 多對一函式沒有反函式（因為一對多關係不是函式）。

往年試題

1996年5/6月 第1卷

8. 設 $f:x\mapsto {\frac {2x-7}{3}}$，求

(a) f(2)

(b) f^-1 的表示式

(a) 要解決這個問題，將 'x' 替換為 2。

${\begin{aligned}f(2)&={\frac {2(2)-7}{3}}\\&={\frac {4-7}{3}}\\&={\frac {-3}{3}}\\&=-1\end{aligned}}$

(b) 使用上面描述的求反函式的方法。

"${\mbox{Let}}~y=f(x)\Leftrightarrow f^{-1}(y)=x$"

${\begin{aligned}y&={\frac {2x-7}{3}}\\3y&=2x-7\\3y+7&=2x\\{\frac {3y+7}{2}}&=x\\{\frac {3y+7}{2}}&=f^{-1}(y)\end{aligned}}$

$\therefore f^{-1}(x)={\frac {3x+7}{2}}$

1999年10/11月 第1卷

9. 設 $f(x)={\frac {3x+2}{x}}$

(a) 求 f(-4)

(b) 求 f(x) = 4 時 x 的值

(c) **寫出** f^-1(4) 的值

(a)
${\begin{aligned}f(-4)&={\frac {3(-4)+2}{-4}}\\&={\frac {-12+2}{-4}}\\&={\frac {-10}{-4}}\\&=2{\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

(b)
${\begin{aligned}f(x)&=4\\{\frac {3x+2}{x}}&=4\\3x+2&=4x\\2&=4x-3x\\x&=2\end{aligned}}$

(c) 注意到“寫下”這兩個詞。這表示不需要進行運算，只需要寫出答案，答案將被標記。前兩個問題暗示了應該使用之前答案中的一個。還記得求逆函式值的捷徑嗎？這個概念可以應用於此。

${\mbox{If}}~x=f^{-1}(4){\mbox{, then}}~f(x)=4$

$\therefore f^{-1}(4)=2$（部分（b）中的答案）