劍橋 O 水平數學（大綱 D）/矩陣

如何乘以矩陣

矩陣是一個數字陣列

矩陣 矩陣（這個矩陣有 2 行 3 列）

用一個單個數乘以矩陣很簡單

矩陣乘以常數

這些是計算：2×4=8 2×0=0 2×1=2 2×-9=-18 我們把這個數字（本例中為“2”）稱為標量，所以這被稱為“標量乘法”。

用另一個矩陣乘以矩陣 但是要用另一個矩陣乘以矩陣，你需要進行行和列的“點積”......這是什麼意思？讓我舉個例子給你看

要計算第一行第一列的答案

矩陣乘法

“點積”是指將匹配的成員相乘，然後加起來

(1, 2, 3) • (7, 9, 11) = 1×7 + 2×9 + 3×11 = 58

我們將第一個成員 (1 和 7) 匹配，相乘，對於第二個成員 (2 和 9) 和第三個成員 (3 和 11) 也一樣，最後將它們加起來。

想要看另一個例子嗎？這是第一行第二列的例子

矩陣乘法

(1, 2, 3) • (8, 10, 12) = 1×8 + 2×10 + 3×12 = 64

我們可以對第二行第一列做同樣的事情

(4, 5, 6) • (7, 9, 11) = 4×7 + 5×9 + 6×11 = 139

還有第二行第二列

(4, 5, 6) • (8, 10, 12) = 4×8 + 5×10 + 6×12 = 154

然後我們就得到了

矩陣乘法

完成了！

為什麼要這樣算？這可能看起來是一種奇怪而複雜的方式，但這是必要的！

我可以給你一個現實生活中的例子來說明我們為什麼要用這種方式乘以矩陣。

示例：當地商店出售 3 種餡餅。牛肉餡餅每個 3 美元 雞肉餡餅每個 4 美元 蔬菜餡餅每個 2 美元 以下是他們 4 天賣出的數量： 矩陣乘以常數 現在想想... 星期一的銷售額是這樣計算的： 牛肉餡餅價值 + 雞肉餡餅價值 + 蔬菜餡餅價值 3 美元×13 + 4 美元×8 + 2 美元×6 = 83 美元 所以它實際上是價格和銷量之和的“點積”： (3 美元, 4 美元, 2 美元) • (13, 8, 6) = 3 美元×13 + 4 美元×8 + 2 美元×6 = 83 美元 我們將價格與銷量相匹配，分別相乘，然後將結果加起來。

換句話說： 星期一的銷售額為： 牛肉餡餅：3 美元×13 = 39 美元，雞肉餡餅：4 美元×8 = 32 美元，蔬菜餡餅：2 美元×6 = 12 美元。加起來是 39 美元 + 32 美元 + 12 美元 = 83 美元 還有星期二：3 美元×9 + 4 美元×7 + 2 美元×4 = 63 美元 還有星期三：3 美元×7 + 4 美元×4 + 2 美元×0 = 37 美元 還有星期四：3 美元×15 + 4 美元×6 + 2 美元×3 = 75 美元 所以將每個價格與每個數量相匹配很重要。

現在你知道我們為什麼要使用“點積”了。

以下是矩陣形式的完整結果： 矩陣乘法 他們在星期一賣出了 83 美元的餡餅，星期二賣出了 63 美元等等。（你可以將這些值輸入矩陣計算器，看看它們是否有效。） 行和列 要表示矩陣有多少行和列，我們通常寫成 行×列。

示例：這個矩陣是 2×3（2 行 3 列）： 矩陣 當我們進行乘法時

第一個矩陣的列數必須等於第二個矩陣的行數。結果將與第一個矩陣有相同數量的行，與第二個矩陣有相同數量的列。 示例： 矩陣乘法 在那個例子中，我們用一個 1×3 的矩陣乘以一個 3×4 的矩陣（注意 3 相同），結果是一個 1×4 的矩陣。 總之

要將一個 m×n 的矩陣乘以一個 n×p 的矩陣，n 必須相同，結果是一個 m×p 的矩陣。

乘法順序 在算術中，我們習慣了

3 × 5 = 5 × 3（乘法的交換律）

但對於矩陣來說，這通常不成立（矩陣乘法不滿足交換律）

AB ≠ BA

當您改變乘法的順序時，答案（通常）會不同。

示例：看看改變順序如何影響這個乘法： 矩陣乘法順序 單位矩陣 “單位矩陣” 是數字“1”的矩陣等價物

單位矩陣 一個 3x3 的單位矩陣 它是“正方形”（行數和列數相同）， 對角線上是 1，其他地方是 0。它的符號是大寫字母 I。它是一個特殊的矩陣，因為當您用它乘以另一個矩陣時，原始矩陣不會改變

A × I = A

I × A = A