細胞自動機/可激介質

可激介質簡介

可激介質是非線性動態系統，以表現出複雜的行為而聞名，這些行為可以被觀察到為模式形成。它們通常由反應-擴散微分方程定義。

$u_{t}(\mathbf {r} ,t)=D\nabla ^{2}u(\mathbf {r} ,t)+f(u(\mathbf {r} ,t))$

擴散部分提供穩定性和資訊傳播，反應部分提供有趣的區域性動力學。

可激介質的常見例子是捕食者-獵物系統。這種系統由微分方程組來描述，每個觀察到的主角對應一個函式。

$u_{t}(\mathbf {r} ,t)=D_{u}\nabla ^{2}u(\mathbf {r} ,t)+f(u,v)$

$v_{t}(\mathbf {r} ,t)=D_{v}\nabla ^{2}v(\mathbf {r} ,t)+g(u,v)$

我們將討論兩種不同的建模可激介質的方法。微分方程離散化和使用細胞自動機建模。

邊界條件

有不同的方法來定義反應-擴散方程的邊界條件。

狄利克雷邊界條件

邊界上函式的值是顯式給出的 $u(\mathbf {r_{0}} ,t)$.

迴圈邊界

如果初始條件 $u(x,0)$ 假設在空間上是週期性的，則可以使用迴圈邊界條件。

零通量邊界條件

如果邊界處預計為零通量，則函式一階導數在邊界處垂直於邊界的分量為零 ${\vec {n}}\cdot \nabla {u}=0$。這可以透過將函式值從內部反射到邊界之外來實現。

使用顯式 FTCS 方法對微分方程進行離散化

模擬可激介質的傳統方法是離散化和對控制偏微分方程進行數值計算。首先介紹 FTCS（前向時間中心空間方法）離散化方法。顯式方法是最簡單的，方程類似於細胞自動機，但由於穩定性和收斂性問題而不足。

單個偏微分方程

我們首先觀察一個描述單個函式的單個偏微分方程。

$u_{t}(\mathbf {r} ,t)=D\nabla ^{2}u(\mathbf {r} ,t)+f(u(\mathbf {r} ,t))$

一維問題

在一維情況下，空間向量變為單個變數 $\mathbf {r} =x$。nabla 運算元變為 $\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial {x^{2}}}}$.

${\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}+f(u(x,t))$

該偏微分方程被離散化。

${\frac {u(x,t+\Delta {t})-u(x,t)}{\Delta {t}}}=$

$\quad D{\frac {u(x+\Delta {x},t)-2u(x,t)+u(x-\Delta {x},t)}{\Delta {x}^{2}}}$

$\quad +f(u(x,t))$

前向時間中心空間法

時間為 $t+\Delta {t}$ 的每個有限元都是根據時間為 $t$ 的三個相鄰元計算出來的（參見右側的圖）。

$u(x,t+\Delta {t})=u(x,t)+\,$

$\quad +d(u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t))$

$\quad +\Delta {t}f(u(x,t))$

其中， *擴散數* 為

$d=D{\frac {\Delta {t}}{\Delta {x}^{2}}}$

穩定性

當以下條件滿足時，FTCS 方法是穩定的：

$d\leq 1/2$

邊界條件

對於週期性邊界條件，左側邊界上的值 $x=0$ 可以用來計算右側邊界上的未來值 $x=L_{x}$，反之亦然。

$u(0,t+\Delta {t})=u(0,t)+d(u(0+\Delta x,t)-2u(0,t)+u(L_{x},t))+\Delta {t}f(u(0,t))\,$

$u(L_{x},t+\Delta {t})=u(L_{x},t)+d(u(0,t)-2u(L_{x},t)+u(L_{x}-\Delta x,t))+\Delta {t}f(u(L_{x},t))\,$

如果邊界處存在零通量 $\nabla u(0,t)=0$，則邊界外的值是邊界內值在邊界上的反射 $u(0+\Delta x,t)=u(0-\Delta x,t)$.

$u(0,t+\Delta {t})=u(0,t)+2d(u(0+\Delta x,t)-u(0,t))+\Delta {t}f(u(0,t))\,$

$u(L_{x},t+\Delta {t})=u(L_{x},t)+2d(u(L_{x},t)+u(L_{x}-\Delta x,t))+\Delta {t}f(u(L_{x},t))\,$

二維問題

在二維情況下，空間向量變為一個變數對 $\mathbf {r} =[x,y]$。nabla 運算元變為 $\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial {x^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial {y^{2}}}}$.

${\frac {\partial u(x,y,t)}{\partial t}}=D\left({\frac {\partial ^{2}u(x,y,t)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u(x,y,t)}{\partial y^{2}}}\right)+f(u(x,y,t))$

該偏微分方程使用前向時間中心空間方法進行離散化。

${\frac {u(x,y,t+\Delta {t})-u(x,y,t)}{\Delta {t}}}=$

$\quad =D{\frac {u(x+\Delta {x},y,t)-2u(x,y,t)+u(x-\Delta {x},y,t)}{\Delta {x}^{2}}}+$

$\quad +D{\frac {u(x,y+\Delta {y},t)-2u(x,y,t)+u(x,y-\Delta {y},t)}{\Delta {y}^{2}}}+$

$\quad +f(u(x,y,t))$

前向時間中心空間法

每個時間為 $t+\Delta {t}$ 的有限元，都是由時間為 $t$ 的五個相鄰元素計算得到（見右側圖）。

$u(x,y,t+\Delta {t})=u(x,t)+\,$

$\quad +d_{x}(u(x+\Delta {x},y,t)-2u(x,y,t)+u(x-\Delta {x},y,t))+$

$\quad +d_{y}(u(x,y+\Delta {y},t)-2u(x,y,t)+u(x,y-\Delta {y},t))+$

$\quad +\Delta {t}f(u(x,y,t))$

其中，擴散數為

$d_{x}=D{\frac {\Delta {t}}{\Delta {x}^{2}}}\quad d_{y}=D{\frac {\Delta {t}}{\Delta {y}^{2}}}$

穩定性

當以下條件滿足時，FTCS 方法是穩定的：

$d_{x}\leq 1/2$ 以及 $d_{y}\leq 1/2$

邊界條件

一維情況下的相同思想可以用於二維情況。

偏微分方程組

偏微分方程組描述了兩個相互作用的函式（捕食者-獵物）。

$u_{t}(\mathbf {r} ,t)=D_{u}\nabla ^{2}u(\mathbf {r} ,t)+f(u,v)$

$v_{t}(\mathbf {r} ,t)=D_{v}\nabla ^{2}v(\mathbf {r} ,t)+g(u,v)$

相互作用是區域性的，這意味著，可以分別計算每個方程的色散部分，然後將反應部分新增到結果中。

參考文獻

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  • 研究論文
  • 格林伯格-黑斯廷斯模型
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