元胞自動機/偏微分方程

我們通常用微分方程來描述現象，但我們希望使用數值方法來模擬並最終預測其行為。這可以透過傳統的自上而下的方法或不太常見的自下而上的方法來實現。

一種反向方法是從自下而上構建一個元胞自動機，它與觀察到的現象微分方程具有相同的特性。

自上而下的方法

將微分方程轉換為可在計算機上模擬的離散系統被稱為自上而下的方法。讓我們嘗試一個簡單的例子。一維擴散方程

{\frac {\partial C}{\partial t}}=\kappa {\frac {\partial ^{2}C}{\partial x^{2}}}

在時間上向前離散，在空間上對稱

c_{x}^{t}=c_{x}^{t-1}+k\left(c_{x+1}^{t-1}-2c_{x}^{t-1}+c_{x-1}^{t-1}\right)=c_{x}^{t}=k\,c_{x+1}^{t-1}+\left(1-2k\right)c_{x}^{t-1}+k\,c_{x-1}^{t-1}

其中 $k:=\kappa \,{\Delta t}\,({\Delta x})^{-2}$ . 生成的離散方程可以看作是元胞自動機區域性轉移函式

c_{x}^{t}=f\left(c_{x+1}^{t-1}c_{x}^{t-1}c_{x-1}^{t-1}\right)

時間和空間離散化對這兩個系統都是相同的，但在變數離散化方面存在關鍵差異。在普通計算機上，變數使用 64 位浮點數表示，而元胞自動機則具有 2 到 8 位的變數。

由於數值近似誤差是使用浮點數的一個重要問題，並且僅使用幾位數字將難以忍受。我們看到，沒有直接的方法將微分方程轉換為元胞自動機，必須使用不同的方法。

這種方法從選擇一個離散系統開始，該系統固有地擁有原始問題簡化模型所需的一些基本特性。這些基本特性的一個例子是可逆性和儲存數量，例如質量、動量和能量。然後修改和修剪模型，直到它足夠接近原始問題。

基本模型通常儘可能簡單。如果元胞自動機用於基本模型，它們的鄰域