化學動力學/靜電學/傅立葉變換

傅立葉變換是一種有用的數學變換，經常被許多科學和工程領域使用。在這裡，我們提取了傅立葉變換的有用概念，並將其邏輯地排列起來，為 Ewald 求和和其他相關的靜電學方法奠定基礎。讀者可以檢視關於傅立葉變換的其他更正式的數學介紹。

定義

我們在以下約定中使用傅立葉變換，它是在 3 維笛卡爾空間 R³ 上的酉變換，傅立葉變換及其逆變換是對稱的

{\hat {f}}(\mathbf {k} )={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{3}\mathbf {r}

f(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int {\hat {f}}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{3}\mathbf {k}

給定一個固定的位置向量 R₀，如果 g(r) = ƒ(r − R₀)，那麼

${\hat {g}}(\mathbf {k} )=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{0}}{\hat {f}}(\mathbf {k} ).$

證明

{\hat {g}}(\mathbf {k} )={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int g(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{3}\mathbf {r}

={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int f(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{0})e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{3}\mathbf {r}

={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int f(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{0})e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{3}\mathbf {r}

現在，將 r 更改為一個新的變數： $\mathbf {r'} =\mathbf {r} -\mathbf {R} _{0}$

{\hat {g}}(\mathbf {k} )={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int f(\mathbf {r'} )e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r'} +\mathbf {R} _{0})}\,d^{3}\mathbf {r'}

={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{0}}\int f(\mathbf {r'} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r'} }\,d^{3}\mathbf {r'}

={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{0}}\int f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{3}\mathbf {r}

=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{0}}{\hat {f}}(\mathbf {k} ).

f 和 g 的卷積通常用 * 表示為 f*g。它定義為兩個函式的乘積的積分，其中一個函式被反轉並平移

(f*g)(t){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau

傅立葉變換的卷積定理指出

如果

h(\mathbf {r} )=(f*g)(\mathbf {r} )

那麼

{\hat {h}}(\mathbf {k} )={\hat {f}}(\mathbf {k} )\cdot {\hat {g}}(\mathbf {k} )

.

證明

{\hat {h}}(\mathbf {k} )=\int {e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }h(\mathbf {r} )}d\mathbf {r}

=\int {e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\int f(\mathbf {r} )g(\mathbf {r'} -\mathbf {r} )}d^{3}\mathbf {r'} d^{3}\mathbf {r}