電路理論/1初始激勵

電路用於給電容器和電感器充電。然後將電感器/電容器從充電電路切換到放電電路。有三個概念

• 充電電路... 假設在很長一段時間內... 假設穩態，所以電容器是開路，電感器是短路
• 切換電路（電容器和電感器的不同）
• 放電電路... 假設電容器最初是短路，電感器是開路

有兩個電路需要分析：充電和放電

• 充電電路... 假設初始條件為零，求穩態（特解）... 這些成為放電電路的初始條件。
• 放電電路求解（齊次解）。

求解放電電路有以下步驟

• 假設解是指數函式
• 找到一個指數解
• 利用初始條件和最終值條件求解常數。
• 如果能找到指數解（即存在實部），則假設有效。

電容器

• 
  由開關隔開的電容器充電和放電電路
• 
  等效充電電路
• 
  大多數開關是 BBM（斷開後再閉合），因此電容器在單極切換到兩個極之間時是開路。 超級電容 儲存大量能量，充電速度非常快，放電速度非常快，可以替代電池。
• 
  等效放電電路

充電分析

充電分析是穩態分析。假設電路已經運行了很長時間。電容器已經有了足夠的時間充電。

不同之處在於，這裡不是正弦波電源，而是直流電源。電容器上會有一個直流穩態電壓。

電容器在完全充電時看起來像一個開路，因此整個電源電壓將出現在電容器上。因此在這種情況下，電容器上的初始電壓為 1 伏。

放電分析

觀察電容器放電，標記電流方向和電壓極性，使其與華夏公益教科書電路理論的正常端子關係一致。

一個簡單的網格或迴路分析（兩者都會得出相同的方程）是

$V_{R}+V_{c}=0$

$R*i+V_{c}=0$

從電容器端子關係

$i=C{dVc \over dt}$

所以代入

$RC{dVc \over dt}+V_{c}=0$

當然，經過很長一段時間，電容器放電，電阻耗散掉所有能量，所有地方的電流和電壓都將為零。但是，描述電壓和電流如何趨於零的時域方程是什麼？

請注意，電流在充電時正在下降，但在放電時切換到上升。這可能是瞬時的。

尋找時間常數

一般技術是假設這種形式

$V_{c}=A*e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

代入上述微分方程

$-{\frac {RCA}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}+A*e^{-{\frac {t}{\tau }}}=0$

除以 A 和指數函式，得到

$-{\frac {RC}{\tau }}+1=0$

求解 tau

$\tau =RC$

尋找常數

因此，電容器兩端的電壓公式現在是

$V_{c}=A*e^{-{\frac {t}{RC}}}+C$

這包括 0 的穩態特解和來自求解微分方程的常數 C。

電容器兩端的初始電壓在 t=0₊ 時為 +1 伏。這意味著

$V_{c}(0_{+})=1=A+C$

經過很長一段時間，V_c(t) = 0。這有助於我們找到 C

$V_{c}(\infty )=A*0+C=0$

所以 C = 0 且 A = 1，並且

$V_{c}(t)=e^{-{\frac {t}{RC}}}$

查詢電流

觀察電容器放電，標記電流方向和電壓極性，使其與華夏公益教科書電路理論的正常端子關係一致。

V_c=-V_r 或者可以代入電容器端子關係

$I={\frac {V_{r}}{R}}={\frac {-Vc}{R}}=-{\frac {e^{-{\frac {x}{RC}}}}{R}}$

因此對於此電路

$V_{C}=e^{-{\frac {t}{RC}}}=e^{-{\frac {t}{10\mu s}}}$

$V_{r}=-e^{-{\frac {t}{10\mu s}}}$

並且

$I=-{\frac {e^{-{\frac {t}{10\mu s}}}}{10}}$

解釋結果

V_c 處於指示的極性。V_R 與所繪製的極性相反。電流流向與所繪製的方向相反，這在電容器充當電壓源並將能量傾倒到電阻器時是有道理的。兩者在 5 個時間常數 (50 μs) 後將基本為零。

齊次解很容易找到，因為使用直流電源來為電路充電。放電電路的特解為 0，因為沒有激勵函式。

電感器

• 
  此電路顯示了一個電感器置於充電電路和放電電路之間。因為大多數開關都是 BBM，所以添加了一個按鈕來在投擲 SPDT 開關之前短路電感器。兩個開關都可以用單個 SPDT MBB 開關替換。但是模擬軟體通常只有 BBM 開關。
• 
  等效電感器充電電路
• 
  按下按鈕開關後但投擲 SPDT BBM 開關之前，等效電路。
• 
  投擲 SPDT BBM 開關時，按鈕開關保持接觸，等效電路。 超導體 可以像超級電容器一樣充當儲能裝置。電流以光速透過充當連續電感器的圓形導線移動。
• 
  釋放按鈕開關後，等效電感器放電電路。

充電分析

當電感器具有與電流源相同的初始電流時，就不會有電流流過短路。疊加原理表明電流將在短路中抵消。

充電分析是穩態分析。假設電路已經運行了很長時間。電感器有足夠的時間建立其磁場。

不同之處在於，使用直流電流源代替正弦波源。電感器中將會有一個直流穩態電流。

電感器在完全充電時看起來像一個短路，因此整個源電流都流過電感器。因此，在這種情況下，初始電流為 1 安培。

短路電源和電感分析

電感將能量儲存在磁場中，電流必須持續流動以防止磁場崩潰...... 這是超導體的基礎。

具有初始電流的電感透過電阻放電，用於華夏公益教科書電路理論。

透過按下 SW1 的按鈕，將電感和電流源短路是安全的。（開啟連線到電感或電流源的導線是危險的）。對於理想元件，短路將沒有電流。然而，透過電感的電流保持不變，電感保持充電狀態。

短路電感的能量儲存

當 SPDT 開關切斷電流源時，電感的電流出現在短路中。電感和短路線不會長時間儲存能量（除非凍結，因為導線充當電阻）。

放電分析

在 SW2 完成切換到第二個極點並釋放按鈕開關後，1 安培的電流仍然流過電感。電壓瞬間出現在電感和電阻之間。一個簡單的網格或迴路分析（兩者都產生相同的方程式）將是

$V_{R}-V_{L}=0$

觀察電路標記，電流和電壓沒有正號約定關係，因此電感的端子關係有一個負號

$V_{L}=-L{\frac {di}{dt}}$

所以

$R*i+L{\frac {di}{dt}}=0$

當然，經過很長時間，電感放電，電阻耗散所有能量，並且處處電流和電壓都將為零。但是，描述電壓和電流如何變為零的時間域方程式是什麼？

請注意，電壓在電感頂部為正，但在放電時會改變極性。這可以是瞬間的。

尋找時間常數

一般技術是假設這種形式

$i=A*e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

代入上述微分方程

$R*A*e^{-{\frac {t}{\tau }}}+L*{\frac {d(A*e^{-{\frac {t}{\tau }}})}{dt}}=0$

除以 A，然後計算導數，得到

$R*e^{-{\frac {t}{\tau }}}-{\frac {L*e^{-{\frac {t}{\tau }}}}{\tau }}=0$

除以指數

$R-{\frac {L}{\tau }}=0$

求解 tau

$\tau ={\frac {L}{R}}$

尋找常數

因此，電流的公式現在是

$i=A*e^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}}+C$

穩態特解為 0，常數 C 來自求解微分方程。

初始電流為 1 安培，時間為 t=0₊。這意味著

$1=A+C$

經過很長時間，電路中沒有任何活動，因此

$i(\infty )=A*0+C$

所以 A=1 且 C=0，因此

$i(t)=e^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}}$

求電感器/電阻上的電壓

V_L=V_r 或者可以代入電感器端子關係式

$V_{R}=R*i=R*e^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}}$

或者代入端子關係式

$V_{L}=-L*{\frac {d(e^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}})}{dt}}=-L*({\frac {-R}{L}})e^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}}=Re^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}}$

所以總結一下

$V_{R}=V_{L}=10*e^{-{\frac {t}{0.1\mu s}}}$

$i=e^{-{\frac {t}{0.1\mu s}}}$

解釋結果

為了保持電感器的電流和磁場能量，需要在電路之間切換時將其短路。這與電容的切換一樣簡單，但需要不同型別的開關：…閉合前斷開開關…這樣兩個電路就可以同時連線。

放電電路用最終方向和極性標記。但電感器的端子關係式必須有一個負號，因為電壓和電流方向不符合正號慣例。

同樣，齊次解很容易找到，因為使用直流電源為電路充電。放電電路的特解為0，因為沒有強迫函式。