電路理論/雙源激勵/示例45

問題 L = 1H, C=1F, R=1Ω, 求 i_r

特定/穩態解

電感器短路，電容開路，V_s = 5 μ(t), 求 i_r

齊次/瞬態解

迴路方程

$V_{s}(t)=V_{L}(t)+V_{CR}(t)$

$V_{s}(t)=L{di_{t} \over dt}+V_{RC}$

$V_{CR}=i_{R}*R$

$i_{C}=C{dV_{CR} \over dt}$

$i_{t}=i_{R}+i_{C}={\frac {V_{CR}}{R}}+C{dV_{CR} \over dt}$

$V_{s}(t)=L({d({\frac {V_{CR}}{R}}) \over dt}+C{d^{2}(V_{CR}) \over dt^{2}})+V_{CR}$

需要求解的微分方程

$0=L{d({\frac {V_{CR}}{R}}) \over dt}+LC{d^{2}(V_{CR}) \over dt^{2}}+V_{CR}$

猜測

$V_{CR}=Ae^{st}$

代入以檢查是否可行

$0=L{d({\frac {Ae^{-st}}{R}}) \over dt}+LC{d^{2}(Ae^{-st}) \over dt^{2}}+Ae^{-st}$

$0=L(s{\frac {Ae^{-st}}{R}})+LC(s^{2}Ae^{-st})+Ae^{-st}$

$0=L(s{\frac {A}{R}})+LC(s^{2}A)+A$

$0={\frac {L}{R}}s+LCs^{2}+1$

所以答案將是二階的，因此猜測是錯誤的，但現在可以透過計算上述二階方程的根來更準確地猜測

$s^{2}+2s+1$

$s_{1,2}=-1,-1$

兩個根都是負數且相等，所以新的猜測是

$V_{CR}=Ae^{-t}+Bte^{-t}$

再次透過代入 s² + 2s + 1 = 0 進行檢查

$(Ae^{-t}+Bte^{-t}-Be^{-t}-Be^{-t})+2(-Ae^{-t}-Bte^{-t}+Be^{-t})+Ae^{-t}+Bte^{-t}=0$

是的，現在它等於零！所以可以繼續。必須在微分方程解中新增一個常數，所以 V_cr 是

$V_{CR}=Ae^{-t}+Bte^{-t}+C_{1}$

沒有初始條件 .. 尋找常數

有初始條件：V_CR(0₊) = 0，因為最初電容是短路，並且阻抗乘以電感器電流 i_t(0₊) 的導數 = 5。將其轉換為一個方程

$V_{CR}(0_{+})=0=A+C_{1}$

並聯 RC 組合上的最終電壓將是 5 伏特（經過很長時間），因為電容器斷開，電感器短路。

$V_{CR}(\infty )=C_{1}=5\Rightarrow A=-5$

這是計算極限的 matlab 程式碼

syms A B C1 t
f = A*exp(-t) + B*t*exp(-t) + C1;
limit(f,t,inf)

現在只有 B 是未知的

$V_{CR}=-5e^{-t}+Bte^{-t}+5$

電感器上的初始電壓將是 5 伏特。但這不會導致 B 的值。另一個初始條件是電容器上的初始電流（即使它最初是短路）為零，因為電感器最初是開路。這會導致 B

$i_{c}=C{dV_{CR} \over dt}=5e^{-t}+Be^{-t}-Bte^{-t}$

$i_{c}(0_{+})=5+B=0\Rightarrow B=-5$

現在 V_CR 是

$V_{CR}=5(1-e^{-t}-te^{-t})$

這意味著i_r 是

$i_{R}={\frac {V_{CR}}{R}}=10(1-e^{-t}-te^{-t})$

沒有 C_1 常數

嘗試在沒有 C_1 常數的情況下解決這個問題，最終會得到類似這樣的結果

$V_{L}(0_{+})=5=B(2-2)$

這沒有解。或者會導致 5=5，其中常數在沒有找到它的數值的情況下從方程式中消失。或者會導致 A 或 B 等於無窮大。任何這些非答案都意味著某個地方出現了錯誤。