電路理論/模擬計算機

目標

設計一個模擬計算機，用於生成以下微分方程的解

$a_{2}{d^{2}v(t) \over dt^{2}}+a_{1}{dv(t) \over dt}+a_{o}v(t)=f(t)$

f(t) 是輸入，即汽車經過的顛簸

v(t) 是輸出，即汽車對顛簸的垂直運動

a₂ 與減震器的彈簧常數有關

a₁ 與阻尼係數和油的粘度有關

a_o 根據所需的乘坐感受而變化

目標是透過電子方式改變 a₂、a₁ 和 a_o，而不是實際構建多個模型。這就像二戰前所做的建模，而不是使用 matlab 或類似軟體。

現代應用包括控制系統（工業過程中的閥門開閉、電機開閉、核電站控制）。

組織

乍一看，需要 6 個運算放大器，2 個用於微分，3 個用於縮放，1 個用於加法。

但加法器也可以進行縮放。

還需要考慮整體電路設計。期望的輸出是 v(t)。函式 f(t) 是輸入。導數是透過反饋輸出構建的臨時值。所以數學公式看起來像這樣

${\frac {a_{2}}{a_{o}}}{d^{2}v(t) \over dt^{2}}+{\frac {a_{1}}{a_{o}}}{dv(t) \over dt}-{\frac {1}{a_{o}}}f(t)=v(t)$

還需要將輸出反饋到輸入...並將先求一階導數，再求二階導數，然後與 f(t) 一起饋送到加法器。所以數學公式看起來更像這樣

$-(-{\frac {a_{1}}{a_{o}}}{dv(t) \over dt}-{\frac {a_{2}}{a_{o}}}{d^{2}v(t) \over dt^{2}}+{\frac {1}{a_{o}}}f(t))=v(t)$

• 
  這將輸入進行微分，因此輸出為 $-{dv(t) \over dt}$
• 
  這將第一個導數的輸出（為負值）變為正值，因此第二個導數也將為負值
• 
  這將生成二階導數 ${d^{2}v(t) \over dt^{2}}$，現在它與第一個導數一樣為負值
• 
  這將獲取負值 ${dv(t) \over dt}$ 和負值（因為被反轉了） $-{d^{2}v(t) \over dt^{2}}$ 項，並將它們新增到正值 f(t) 中，並進行適當的縮放以生成 $v(t)$

模擬

假設 OA4 的輸出是 v(t)。

那麼 OA1 的輸出是

$-R_{1}C_{1}{dv(t) \over dt}$

OA2 的輸出是

$-{\frac {R_{3}}{R_{2}}}(-R_{1}C_{1}{dv(t) \over dt})={\frac {R_{3}R_{1}}{R_{2}}}C_{1}{dv(t) \over dt}$

OA3 的輸出為

$-R_{4}C_{2}{d({\frac {R_{3}R_{1}}{R_{2}}}C_{1}{dv(t) \over dt}) \over dt}=-{\frac {R_{4}R_{3}R_{1}}{R_{2}}}C_{1}C_{2}{d^{2}v(t) \over dt^{2}}$

假設 V₁₄ 為 f(t)，那麼 OA4 的輸出，即加法器的輸出為

$-R_{8}({\frac {f(t)}{R_{7}}}+{\frac {-{\frac {R_{4}R_{3}R_{1}}{R_{2}}}C_{1}C_{2}{d^{2}v(t) \over dt^{2}}}{R_{5}}}+{\frac {-R_{1}C_{1}{dv(t) \over dt}}{R_{56}}})={\frac {R_{8}R_{1}}{R_{56}}}C_{1}{dv(t) \over dt}+{\frac {R_{8}R_{4}R_{3}R_{1}}{R_{5}R_{2}}}C_{1}C_{2}{d^{2}v(t) \over dt^{2}}-{\frac {R_{8}}{R_{7}}}f(t)$

將此與

${\frac {a_{1}}{a_{o}}}{dv(t) \over dt}+{\frac {a_{2}}{a_{o}}}{d^{2}v(t) \over dt^{2}}-{\frac {1}{a_{o}}}f(t)=v(t)$

可以看出

${\frac {a_{1}}{a_{0}}}={\frac {R_{8}R_{1}}{R_{56}}}C_{1}$

${\frac {a_{2}}{a_{o}}}={\frac {R_{8}R_{4}R_{3}R_{1}}{R_{5}R_{2}}}C_{1}C_{2}$

${\frac {1}{a_{0}}}={\frac {R_{8}}{R_{7}}}$

已知 a₀、a₁ 和 a₂ 三個已知數，10 個未知數和 3 個方程。因此，問題是約束不足的，這意味著可以使用其他要求來選擇電阻和電容值。