電路理論/複頻域示例/示例12

當電壓源連線到RC支路時會產生電流。求電阻和電容的值。

$v(t)=10e^{-t}sin(7t)$

$i(t)=0.2e^{-t}cos(7t-30^{\circ })$

已知量和未知量

已知量 $v(t)$ 和 $i(t)$

未知量 $RC$

方程

$v_{R}=i*R$

$i=C*{d \over dt}v_{C}$

$V_{s}=v_{C}+v_{R}$

轉換為複頻域符號

$\mathbb {V} _{R}=\mathbb {I} *R$

$\mathbb {I} =C*s*\mathbb {V} _{C}$

$\mathbb {V} _{s}=\mathbb {V} _{R}+\mathbb {V} _{C}$

儘可能地進行符號求解

$\mathbb {V} _{s}=\mathbb {I} *R+{\frac {\mathbb {I} }{C*s}}$

${\frac {\mathbb {V} _{s}}{\mathbb {I} }}=R+{\frac {1}{C*s}}$

$s=\phi +j\omega$

此時，用Mupad進行符號運算失敗。Mupad無法符號地分離出矩形或極座標表示式。手動操作會導致龐大的符號表達式。

直接將解保留在上述符號形式更方便。

現在看來，我們似乎有一個方程，但有兩個未知數（R、C）。實際上，我們有兩個方程。等式右側的實部必須等於左側的實部。等式右側的虛部必須等於左側的虛部。不幸的是，$\mathbb {I}$ 和 $\mathbb {V} _{s}$ 的值將決定下一步的操作。

在給定 Vs 和 Is 的情況下，求解串聯電路的 RC 值。 .. m 檔案

複數域數學

$s=-1+j7$

$\mathbb {V} _{s}=-j10$

$\mathbb {I} =0.2*cos(-30^{\circ })+j*0.2*sin(-30^{\circ })=0.1*{\sqrt {3}}-j0.1$

${\frac {\mathbb {V} _{s}}{\mathbb {I} }}=25-43.3j$

$R+{\frac {1}{C*s}}=R+{\frac {-0.14*i-0.02}{C}}$

因此，$-43.3j={\frac {-0/14j}{C}}$

$C={\frac {-0.14j}{-43.3j}}=3.233mF$

$25=R+{\frac {-0.02}{C}}$

$R=25+{\frac {0.02}{.003233}}=31.19ohms$

只有在複數域中才能找到解。

模擬

無法模擬得到答案，但可以 模擬 答案，看看是否與給定的源匹配。

$period={\frac {2*\pi }{\omega }}=0.8976sec$

很明顯，餘弦電流超前電壓。理論上應該超前 -30 + 90 = 60 度。

峰值之間的差約為 0.141 秒。這換算成角度為

相位差 = 峰值差 * 360 / 週期 = 56.55 度 .. 約為 60 度。

電流幅值小於指定的 0.2，但接近 ... 約為 0.18 安培。這裡存在很多誤差。可能可以更準確地進行。