電路理論/一階電路

一階電路

一階電路是隻包含一個儲能元件（電容器或電感器）的電路，因此可以使用一階微分方程描述。兩種可能的一階電路型別是

1. RC（電阻和電容）
2. RL（電阻和電感）

RL 和 RC 電路是我們將用來描述具有 a) 電阻和電感（RL）或 b) 電阻和電容（RC）的電路的術語。

RL電路

一個RL並聯電路

RL電路至少包含一個電阻（R）和一個電感器（L）。它們可以並聯或串聯排列。電感器的求解最好透過考慮流過電感器的電流來進行。因此，我們將電阻元件和電源組合成一個諾頓源電路。然後，電感器將成為該電路的外部負載。我們記住電感器的方程式

$v(t)=L{\frac {di}{dt}}$

如果我們在構成電源正極的節點上應用 KCL，我們可以解出以下微分方程

$i_{source}(t)={\frac {L}{R_{n}}}{\frac {di_{inductor}(t)}{dt}}+i_{inductor}(t)$

我們將在後面的章節中展示如何解微分方程。

RC電路

一個RC並聯電路

RC電路是同時包含電阻（R）和電容器（C）的電路。與RL電路類似，我們將電阻和電源組合在電路的一側，並將它們組合成一個戴維南源。然後，如果我們在所得迴路周圍應用 KVL，我們將得到以下方程式

$v_{source}=RC{\frac {dv_{capacitor}(t)}{dt}}+v_{capacitor}(t)$

一階解

串聯RL

串聯RL電路的微分方程

$L{\frac {dI}{dt}}+IR=0$

${\frac {dI}{dt}}=-I{\frac {R}{L}}$

${\frac {1}{I}}dI=-{\frac {R}{L}}dt$

$\int {\frac {1}{I}}dI=-{\frac {R}{L}}\int dt$

$lnI=-{\frac {R}{L}}t+C$

$I=e^{-{\frac {R}{L}}t+C}$

$I=Ae^{-{\frac {R}{L}}t}\quad A=e^{C}$

t	I(t)
1 ${\frac {R}{L}}$	36% A
2 ${\frac {R}{L}}$	14% A
3 ${\frac {R}{L}}$	5% A
4 ${\frac {R}{L}}$	2% A
5 ${\frac {R}{L}}$	0.7% A

串聯 RC 電路

串聯 RC 電路的微分方程

$C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0$

${\frac {dV}{dt}}=-V{\frac {1}{RC}}$

${\frac {1}{V}}dV=-{\frac {1}{RC}}dt$

$\int {\frac {1}{V}}dV=-{\frac {1}{RC}}\int dt$

$lnV=-{\frac {1}{RC}}t+C$

$V=e^{-{\frac {1}{RC}}t+C}$

$V=Ae^{-{\frac {1}{RC}}t}\quad A=e^{C}$

t	V(t)
1 ${\frac {1}{RC}}$	36% V
2 ${\frac {1}{RC}}$	14% V
3 ${\frac {1}{RC}}$	5% V
4 ${\frac {1}{RC}}$	2% V
5 ${\frac {1}{RC}}$	0.7% V

時間常數

串聯 RL 和 RC 電路具有時間常數

$T={\frac {L}{R}}$

$T={\frac {RC}{1}}$

一般而言，從工程角度來看，我們認為系統在經過五倍時間常數的時段後，已經達到了穩態（電壓或電流幾乎處於接地電平）。