電路理論/相量分析

相量分析

單個電路元件的數學表示可以轉換為相量表示，然後可以使用相量求解電路。

電阻、阻抗和導納

在相量表示中，電阻、電容和電感都可以歸併到一個稱為“阻抗”的單一術語中。用於阻抗的相量為$\mathbb {Z}$。阻抗的倒數稱為“導納”，用$\mathbb {Y}$ 表示。 $\mathbb {V}$ 是電壓，$\mathbb {I}$ 是電流。

$\mathbb {Z} ={\frac {1}{\mathbb {Y} }}$

歐姆定律的相量形式變為

$\mathbb {V} =\mathbb {Z} \mathbb {I} ={\frac {\mathbb {I} }{\mathbb {Y} }}$

需要注意的是，即使從時域切換到相量域，歐姆定律仍然成立。更令人驚訝的是，新的術語阻抗不再僅僅是電阻的屬性，而是涵蓋了電路中所有負載元件（包括電容器和電感器）！

阻抗仍然以歐姆為單位測量，導納（與其直流對應物電導一樣）仍然以西門子為單位測量。

讓我們仔細看一下這個方程

[相量形式的歐姆定律]

$\mathbb {V} =\mathbb {Z} \mathbb {I}$

如果我們將它分解為極座標表示，我們得到以下結果

$M_{V}\angle \phi _{V}=(M_{Z}\times M_{I})\angle (\phi _{Z}+\phi _{I})$

這很重要，因為它表明，不僅電壓和電流的大小值相互關聯，而且它們各自波形的相角也相互關聯。不同的電路元件將對給定電流的電壓的大小和相角產生不同的影響。我們將在下面探討這些關係。

電阻器

電阻器不會影響電壓或電流的相位，只會影響大小。因此，電阻為 R 的電阻器的阻抗為

[電阻器阻抗]

$\mathbb {Z} =R\angle 0$

透過電阻器，電流和電壓之間的相位差不會改變。在分析電路時，這一點很重要。

電容器

電容為 C 的電容器具有以下相量值

[電容器阻抗]

$\mathbb {Z} =C\angle \left(-{\frac {\pi }{2}}\right)$

為了用度數表示，我們可以說

$\mathbb {Z} =C\angle (-90^{\circ })$

我們現在可以接受這個作為一個公理。如果我們考慮到相量可以繪製在虛數平面上，我們可以很容易地看到，$-\pi /2$ 的角度指向正下方，沿著負虛軸。然後我們得出一個重要的結論：電容的阻抗在某種意義上說是*虛數*的。由於角度直接沿著虛軸，因此相量完全沒有實部。由於阻抗沒有實部，我們可以看到電容器沒有電阻（因為電阻是一個實數值，如上所述）。

電抗

一個電容值為 C 的電容器，在一個角速度為 $\omega$ 的交流電路中，其電抗由以下公式給出：

$\mathbb {X} ={\frac {1}{\omega C}}\angle (-90^{\circ })$

電抗是交流電路中特定於角速度為 $\omega$ 的阻抗。

電感器

電感器有一個相量值

[電感器阻抗]

$\mathbb {Z} =L\angle \left({\frac {\pi }{2}}\right)$

其中 L 是電感器的電感。我們也可以用度數表示：

$\mathbb {Z} =L\angle (90^{\circ })$

與電容器一樣，我們可以看到電感器的相量表明阻抗的值直接位於虛軸上。但是，電感的相量值與電容相量值的方向正好相反。我們在這裡也注意到，電感器沒有電阻，因為電阻是一個實數值，而電感器只有一個虛數值。

電抗

在一個交流電路中，電源角速度為 $\omega$，電感值為 L。

$\mathbb {X} =\omega L\angle (90^{\circ })$

串聯連線的阻抗

如果幾個阻抗串聯連線，則等效阻抗只是阻抗值的總和。

----[ Z1 ]----[ Z2 ]--- ... ---[ Zn ]---   ==> ---[ Zseries ]---

[串聯阻抗]

$\sum _{series}\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} _{series}$

請注意，這比必須區分串聯組合電容器、電阻器和電感器的公式要容易得多。還要注意，電阻器、電容器和電感器都可以混合使用，而不必關心它們是什麼型別的元件。這是非常有價值的，因為我們現在可以將不同的元件組合成一個阻抗值，而不是不同的電感值、電容值和電阻值。

但是請記住，相量需要轉換為直角座標才能相加。如果你知道公式，你可以編寫一個小程式，甚至在可程式設計計算器上編寫一個小應用程式來為你進行轉換。

並聯阻抗

並聯連線的阻抗可以透過稍微複雜一些的過程來組合。

[並聯阻抗]

$\mathbb {Z} _{parallel}={\frac {\prod _{N}Z_{n}}{\sum _{N}Z_{n}}}$

其中 N 是並聯連線的阻抗總數。阻抗可以在極座標表示中相乘，但必須轉換為直角座標才能求和。這種計算可能有點耗時，但當您考慮替代方法（必須分別處理每種型別的元件）時，我們可以看到這要容易得多。

用相量解電路的步驟

用相量解電路有一些通用的步驟

1. 將所有元件轉換為相量表示法
2. 如果可能，合併阻抗
3. 如果可能，合併電源
4. 用歐姆定律和基爾霍夫定律解電路
5. 轉換回時域表示法

不幸的是，相量只能用於正弦輸入函式。當研究直流電路時，我們不能使用相量，當我們的輸入函式是任何非正弦週期函式時，我們也不能使用相量。為了處理這些情況，我們將在後面的章節中研究更通用的方法。

網路函式

網路函式是一個相量，$\mathbb {H}$，它是電路輸入與輸出之比。這很重要，因為如果我們可以解出一個電路以找到網路函式，我們就可以找到對任何正弦輸入的響應，只需簡單地乘以網路函式即可。在時域分析中，我們必須為每個新的輸入解出電路，這確實非常耗時。

網路函式定義如下

[網路函式]

$\mathbb {H} ={\frac {\mathbb {Y} }{\mathbb {X} }}$

其中 $\mathbb {Y}$ 是電路輸出的相量表示，$\mathbb {X}$ 是電路輸入的表示。在時域中，要找到輸出，我們需要將輸入與衝激響應進行卷積。然而，使用網路函式，只需將輸入相量乘以網路函式，即可得到輸出相量，這成為了一件簡單的事情。使用這種方法，我們將整個電路轉換為一個簡單函式，該函式改變幅度和相位角。

增益

增益是電路放大或衰減正弦波幅度的量。增益可以從網路函式中計算得出，如下所示

[增益]

$Gain=\left|\mathbb {H} (\omega )\right|={\frac {\left|\mathbb {Y} (\omega )\right|}{\left|\mathbb {X} (\omega )\right|}}$

其中相量周圍的豎線表示相量的“幅度”，而不是其他數學文字中的“絕對值”。同樣，增益可能是電流或電壓幅度變化的量度。然而，最常見的是，它用於描述電壓。

相移

函式的相移是輸入訊號與輸出訊號之間的相位變化量。這可以從網路函式中計算得出，如下所示

[相移]

$\angle \mathbb {H} (\omega )=\angle \mathbb {Y} (\omega )-\angle \mathbb {X} (\omega )$

其中 $\angle$ 表示相量的相位。

同樣，相位變化可能代表電流或電壓。