電路理論/相量運算

相量運算

本頁將回顧相量和相量運算主題。

形式

相量有兩個組成部分，幅值 (M) 和相位角 (φ)。相量透過我們的餘弦約定與正弦曲線相關聯

$\mathbb {C} =|M|\angle \phi =|M|\cos(t\omega +\phi )$

記住，相量有 **3 種形式**

相量形式

• $\mathbb {C} =|M|\angle \phi$

直角座標形式

• $\mathbb {C} =A+jB$

指數形式

• $\mathbb {C} =|M|e^{j\phi }$

相量和指數形式是相同的，也稱為極座標形式。

形式之間轉換

使用相量時，通常需要在直角座標形式和極座標形式之間轉換。要從直角座標形式轉換為極座標形式

$|M|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$

$\phi =\arctan \left({\frac {B}{A}}\right)$

要從極座標形式轉換為直角座標形式

A 是相量沿實軸的部分

$A=|M|\cos \left(\phi \right)$

B 是相量沿虛軸的部分

$B=|M|\sin \left(\phi \right)$

加法

要將兩個相量加在一起，我們必須將它們轉換為直角座標形式

$\mathbb {C} _{1}=A_{1}+jB_{1}$

$\mathbb {C} _{2}=A_{2}+jB_{2}$

$\mathbb {C} _{1}+\mathbb {C} _{2}=(A_{1}+A_{2})+j(B_{1}+B_{2})$

這是一個眾所周知的複數運算性質。

減法

減法類似於加法，只是我們現在減去

$\mathbb {C} _{1}=A_{1}+jB_{1}$

$\mathbb {C} _{2}=A_{2}+jB_{2}$

$\mathbb {C} _{1}-\mathbb {C} _{2}=(A_{1}-A_{2})+j(B_{1}-B_{2})$

乘法

為了乘以兩個相量，我們應該首先將它們轉換為極座標形式，以使操作更簡單。極座標形式的乘積就是其幅值的乘積，而相位是其相位的總和。

$\mathbb {C} _{1}=M_{1}\angle \phi _{1}$

$\mathbb {C} _{2}=M_{2}\angle \phi _{2}$

$\mathbb {C} _{1}\times \mathbb {C} _{2}=M_{1}\times M_{2}\angle {\phi _{1}+\phi _{2}}$

請記住，在極座標形式中，相量是具有幅值 (M) 和輻角 (φ) 的指數量。將兩個指數量相乘會導致我們乘以幅值並新增指數。

除法

除法類似於乘法，只是我們現在除以幅值並減去相位。

$\mathbb {C} _{1}=|M_{1}|\angle \phi _{1}$

$\mathbb {C} _{2}=|M_{2}|\angle \phi _{2}$

${\mathbb {C} _{1} \over \mathbb {C} _{2}}={|M_{1}| \over |M_{2}|}\angle {\phi _{1}-\phi _{2}}$

反轉

一個值得理解的重要關係是相量的反轉性質

$\mathbb {C} =M_{C}\angle 0=-M_{C}\angle \pi$

或者，用度表示為：

$\mathbb {C} =M_{C}\angle 0^{\circ }=-M_{C}\angle 180^{\circ }$

例如，在正常的笛卡爾座標系中，負X軸與正X軸相差180度。利用這個事實，我們可以看到負實軸與正實軸方向完全相反，因此它們相差180度。

複共軛

類似於反轉特性，相量還具有複共軛特性。複共軛用相量上方的星號表示。由於相量可以在實部-虛部平面中繪製，所以90度的相量是純虛數，而-90度的相量是它的複共軛。

$\mathbb {C} =M\angle 90^{\circ }$

$\mathbb {C} ^{*}=M\angle -90^{\circ }=M\angle 270^{\circ }$

本質上，這對於所有角度的相量都適用：角度的符號被反轉，以在極座標表示中產生相量的複共軛。一般來說，對於極座標表示，我們有

$\mathbb {C} =M\angle \phi$

$\mathbb {C} ^{*}=M\angle -\phi$

在直角座標系中，我們可以將複共軛表示為

$\mathbb {C} =A+jB$

$\mathbb {C} ^{*}=A-jB$

注意，C的複共軛中唯一的區別是虛部的符號變化。