所有電源可以是交流電 (AC) 或直流電 (DC)。
許多電源，例如電池或牆壁插座，都是電壓源。這意味著它們會改變電流以保持電壓恆定。AAA 和 AA 電池理想情況下始終輸出 1.5 伏。大多數時候它們是斷開的（未連線到任何東西）。最終它們會連線到一個從它們中汲取電流的電路。一個理想的 AAA 或 AA 電池可以提供無限的電流。一個現實世界的電池在短路時會試圖提供無限的電流，但通常會發熱、著火或爆炸 .
大多數消費者從未親身體驗過電流源。電路理論課程第一學期實驗室部分的大多數學生也不會。電流源與電壓源相反：它們透過改變電壓來保持電流恆定。這使得它們非常危險。
電流源需要一根始終短路的電線。如果短路電線被移除，理想的電流源將立即產生最大、最可怕的閃電。
從概念上來說，電流源對於理解理想電晶體和運算放大器很重要。這就是為什麼它們從一開始就是電路理論的一部分。在運算放大器和電晶體內部使用電流源幾乎沒有安全風險。
電源的電流和電壓之間沒有關係。一個 5 伏直流電源會根據連線的電路改變其電流。一個 5 安培直流電源會根據連線的電路改變其電壓。
電源是一個依賴裝置……依賴於以特定方式佈置並連線到它的獨立電阻器、電容器、電感器。
在任何給定時刻，流過一個雙端器件的功率為： p ( t ) = v ( t ) i ( t ) {\displaystyle p(t)=v(t)i(t)}
時間 t 內消耗的平均功率為： p a v g ( t ) = 1 / t ∗ ∫ 0 t τ ∗ p ( τ ) d τ {\displaystyle p_{avg}(t)=1/t*\int \limits _{0}^{t}{\tau }*p({\tau })\,d{\tau }} s i n ( w t + θ ) {\displaystyle sin(wt+{\theta })} 2 π / w {\displaystyle 2{\pi }/w}
時間 t 內消耗的能量或完成的功類似： w ( t ) = ∫ 0 t p ( τ ) d τ {\displaystyle w(t)=\int \limits _{0}^{t}p({\tau })\,d{\tau }}
所有其他功率概念都源於以上。例如
如果電壓和電流是恆定的（直流電），那麼 p ( t ) = p a v g ( t ) = i v = i 2 R = v 2 / R {\displaystyle p(t)=p_{avg}(t)=iv=i^{2}R=v^{2}/R}
如果電壓和電流是正弦的（交流電）並且已經過了足夠的時間，使電路處於穩態，那麼數學可以簡化，但首先需要了解相量。但是，需要了解峰值功率、平均功率和功率因數概念，才能對電路形成直覺，並理解虛構的 "時間旅行器 "。
如果電壓和電流呈任何模式並且處於穩態，那麼上述數學可以簡化。 電源有很多不同型別，每種型別都有不同的安全問題。如果過充，LiPo 電池會爆炸/著火 。這裡有一個影片 ，一個男人探索 244 個失效的 9 伏電池，創造了一個 2000 伏電源。如果短路，電壓電源也會發生這種情況。如果開啟，電流源（非常罕見）也會發生這種情況。
在大多數實驗室中，電源都由像家庭一樣的保險絲保護。短路會導致斷路器跳閘、保險絲燒斷、繼電器切斷電路等。但電池通常沒有保護。
大多數電源只是停止工作。
當電流 i ( t ) = 4 3 s i n ( 3 t ) {\displaystyle i(t)={\frac {4}{3}}sin(3t)}
解答
假設初始平均功率為 0。實際上，這在邏輯上說不通。但每當計算積分時，都要考慮這種可能性。
v ( t ) = i ( t ) ∗ r {\displaystyle v(t)=i(t)*r} p ( t ) = i ( t ) ∗ v ( t ) = i ( t ) ∗ i ( t ) ∗ r = i ( t ) 2 ∗ r {\displaystyle p(t)=i(t)*v(t)=i(t)*i(t)*r=i(t)^{2}*r} p a v g = 1 t ∫ 0 t τ ∗ i ( τ ) 2 ∗ r d τ {\displaystyle p_{avg}={\frac {1}{t}}\int \limits _{0}^{t}{\tau }*i({\tau })^{2}*r\,d{\tau }} t = 2 π 3 {\displaystyle t={\frac {2\pi }{3}}} p a v g = 20 ∗ 3 2 π ∫ 0 2 π 3 τ ∗ ( 4 3 s i n ( 3 τ ) ) 2 d τ = 8.36 w a t t s {\displaystyle p_{avg}={\frac {20*3}{2\pi }}\int \limits _{0}^{\frac {2\pi }{3}}{\tau }*({\frac {4}{3}}sin(3{\tau }))^{2}\,d{\tau }=8.36watts} wolfram
給定電壓和電流的兩個影像，求並繪製 t=0 到 t=8 的功率和能量圖。
使用 desmos 建立 使用 desmos 建立 使用 desmos 建立 解答
將電壓和電流影像轉換為方程： v ( t ) , i ( t ) = { v = 0 , i = 0 , for t ≤ 0 v = 2 , i = 2 , for 0 < t ≤ 2 v = 2 − 2 ∗ ( t − 2 ) , i = − 2 , for 2 < t ≤ 4 v = − 2 , i = 2 , for 4 < t ≤ 5 v = 2 ∗ ( t − 5 ) − 2 , i = 2 , for 5 < t ≤ 6 v = 2 ∗ ( t − 5 ) − 2 , i = − 2 , for 6 < t ≤ 7 v = 2 , i = − 2 , for 7 < t ≤ 8 {\displaystyle v(t){\text{, }}i(t)={\begin{cases}v=0{\text{, }}i=0,&{\text{for }}t{\leq }0\\v=2{\text{, }}i=2,&{\text{for }}0<t{\leq }2\\v=2-2*(t-2){\text{, }}i=-2,&{\text{for }}2<t{\leq }4\\v=-2{\text{, }}i=2,&{\text{for }}4<t{\leq }5\\v=2*(t-5)-2{\text{, }}i=2,&{\text{for }}5<t{\leq }6\\v=2*(t-5)-2{\text{, }}i=-2,&{\text{for }}6<t{\leq }7\\v=2{\text{, }}i=-2,&{\text{for }}7<t{\leq }8\\\end{cases}}}
現在進行計算 p ( t ) = v ( t ) i ( t ) {\displaystyle p(t)=v(t)i(t)}
p ( t ) = { 0 , for t ≤ 0 4 , for 0 < t ≤ 2 4 ∗ ( t − 2 ) − 4 , for 2 < t ≤ 4 − 4 , for 4 < t ≤ 5 4 ∗ ( t − 5 ) − 4 , for 5 < t ≤ 6 4 − 4 ∗ ( t − 5 ) , for 6 < t ≤ 7 − 4 , for 7 < t ≤ 8 {\displaystyle p(t)={\begin{cases}0,&{\text{for }}t{\leq }0\\4,&{\text{for }}0<t{\leq }2\\4*(t-2)-4,&{\text{for }}2<t{\leq }4\\-4,&{\text{for }}4<t{\leq }5\\4*(t-5)-4,&{\text{for }}5<t{\leq }6\\4-4*(t-5),&{\text{for }}6<t{\leq }7\\-4,&{\text{for }}7<t{\leq }8\\\end{cases}}}
現在進入更困難的部分。 能量 w ( t ) = ∫ 0 t τ ∗ p ( τ ) d τ {\displaystyle w(t)=\int \limits _{0}^{t}{\tau }*p({\tau })\,d{\tau }} wolfram alpha 計算積分。
w ( t ) = { 0 , for t ≤ 0 ∫ 0 t 4 d τ = 4 t , for 0 < t ≤ 2 ∫ 2 t ( 4 ∗ ( τ − 2 ) − 4 ) d τ = 2 ( t 2 − 6 t + 8 ) , for 2 < t ≤ 4 ∫ 4 t ( − 4 ) d τ = − 4 ( t − 4 ) , for 4 < t ≤ 5 ∫ 5 t ( 4 ∗ ( τ − 5 ) − 4 ) d τ = 2 ( t 2 − 12 t + 35 ) , for 5 < t ≤ 6 ∫ 6 t ( 4 − ( τ − 5 ) ∗ 4 ) d τ = − 2 ( t − 6 ) 2 , for 6 < t ≤ 7 ∫ 7 t ( − 4 ) d τ = − 4 ( t − 7 ) , for 7 < t ≤ 8 {\displaystyle w(t)={\begin{cases}0,&{\text{for }}t{\leq }0\\\int \limits _{0}^{t}4\,d{\tau }=4t,&{\text{for }}0<t{\leq }2\\\int \limits _{2}^{t}(4*({\tau }-2)-4)\,d{\tau }=2(t^{2}-6t+8),&{\text{for }}2<t{\leq }4\\\int \limits _{4}^{t}(-4)\,d{\tau }=-4(t-4),&{\text{for }}4<t{\leq }5\\\int \limits _{5}^{t}(4*({\tau }-5)-4)\,d{\tau }=2(t^{2}-12t+35),&{\text{for }}5<t{\leq }6\\\int \limits _{6}^{t}(4-({\tau }-5)*4)\,d{\tau }=-2(t-6)^{2},&{\text{for }}6<t{\leq }7\\\int \limits _{7}^{t}(-4)\,d{\tau }=-4(t-7),&{\text{for }}7<t{\leq }8\\\end{cases}}}
從問題陳述中找到第一個初始條件。將起始時間 t 設定為初始條件，並找到積分常數。將 t 設定為定義段的結束值，找到下一個初始條件。
目標是找到累積能量，而不是每段能量的變化。這是透過確保前一段的終點值與下一段的起點值相匹配來實現的。在繪製圖形時，不應該出現垂直跳躍。
w ( t ) = { 0 the assumed initial condition , for t ≤ 0 2 ( 0 ) 2 + C = 0 ⇒ C = 0 and 4 ∗ 2 + 0 = 8 , for 0 < t ≤ 2 2 ( 2 2 − 6 ∗ 2 + 8 ) + C = 8 ⇒ C = 8 and 2 ( 4 2 − 6 ∗ 4 + 8 ) + 8 = 8 , for 2 < t ≤ 4 − 4 ∗ ( 4 − 4 ) + C = 8 ⇒ C = 8 and − 4 ∗ ( 5 − 4 ) + 8 = 4 , for 4 < t ≤ 5 2 ∗ ( 5 2 − 12 ∗ 5 + 35 ) + C = 4 ⇒ C = 4 and 2 ( 6 2 − 12 ∗ 6 + 35 ) + 4 = 2 , for 5 < t ≤ 6 − 2 ( 6 − 6 ) 2 + C = 2 ⇒ C = 2 and − 2 ( 7 − 6 ) 2 + 2 = 0 , for 6 < t ≤ 7 − 4 ( 7 − 7 ) + C = 0 ⇒ C = 0 and − 4 ( 8 − 7 ) + 0 = − 4 , for 7 < t ≤ 8 {\displaystyle w(t)={\begin{cases}0{\text{ the assumed initial condition}},&{\text{for }}t{\leq }0\\2(0)^{2}+C=0\Rightarrow C=0{\text{ and }}4*2+0=8,&{\text{for }}0<t{\leq }2\\2(2^{2}-6*2+8)+C=8\Rightarrow C=8{\text{ and }}2(4^{2}-6*4+8)+8=8,&{\text{for }}2<t{\leq }4\\-4*(4-4)+C=8\Rightarrow C=8{\text{ and }}-4*(5-4)+8=4,&{\text{for }}4<t{\leq }5\\2*(5^{2}-12*5+35)+C=4\Rightarrow C=4{\text{ and }}2(6^{2}-12*6+35)+4=2,&{\text{for }}5<t{\leq }6\\-2(6-6)^{2}+C=2\Rightarrow C=2{\text{ and }}-2(7-6)^{2}+2=0,&{\text{for }}6<t{\leq }7\\-4(7-7)+C=0\Rightarrow C=0{\text{ and }}-4(8-7)+0=-4,&{\text{for }}7<t{\leq }8\\\end{cases}}}
能量（焦耳）與時間（秒）的關係 desmos 繪製圖形是檢查工作的一種方式。沒有圖形，直觀的分析過程就無法啟動。
w ( t ) = { 0 , for t ≤ 0 4 t , for 0 < t ≤ 2 2 ( t 2 − 6 t + 8 ) + 8 , for 2 < t ≤ 4 − 4 ( t − 4 ) + 8 , for 4 < t ≤ 5 2 ( t 2 − 12 t + 35 ) + 4 , for 5 < t ≤ 6 − 2 ( t − 6 ) 2 + 2 , for 6 < t ≤ 7 − 4 ( t − 7 ) , for 7 < t ≤ 8 {\displaystyle w(t)={\begin{cases}0,&{\text{for }}t{\leq }0\\4t,&{\text{for }}0<t{\leq }2\\2(t^{2}-6t+8)+8,&{\text{for }}2<t{\leq }4\\-4(t-4)+8,&{\text{for }}4<t{\leq }5\\2(t^{2}-12t+35)+4,&{\text{for }}5<t{\leq }6\\-2(t-6)^{2}+2,&{\text{for }}6<t{\leq }7\\-4(t-7),&{\text{for }}7<t{\leq }8\\\end{cases}}}
在解決像這樣長的問題時，建立直觀理解很重要。 有兩種基本方法可以做到這一點
思考電源的經驗，並問“這意味著什麼？”
新增預期感受和情緒。 思考經驗、情緒、發生的事情，而不是你喜歡的最終結果。 將與它們相關的情緒與手頭的問題聯絡起來。 將做這些事情與解決問題混合在一起。
講一個故事，然後根據圖表檢查故事。 我們正在看什麼型別的裝置？ 它必須是一個既消耗又產生電能的元件。 電流每兩秒鐘來回切換，因此它很可能是一個驅動某種來回運動的電機。 電機本質上是一個電感器。 電感器會改變電壓，以試圖保持電流恆定……就像一個電流源。 電機在最初的四秒鐘內按計劃工作（消耗能量）。 在接下來的四秒鐘內，發生了其他事情。 看起來一個兩歲的孩子抓住了試圖來回振動的風扇，並迫使它朝相反的方向移動。 這會導致電機變成發電機，因此電壓變化，負能量和功率。
