電路理論/二次方程再探

二次方程

二次多項式的根

$y=ax^{2}+bx+c$

很容易推匯出，許多人在高中就背會了

${\begin{aligned}x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.\end{aligned}}$

二次方程的推導

要推匯出這個公式，將 $y=0$，並完成平方

${\begin{aligned}0&=ax^{2}+bx+c\\0&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)\\0&=x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\\0&=\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{a}}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right).\end{aligned}}$

求解 $x$ 得到

${\begin{aligned}0&=\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{a}}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&=-\left({\frac {c}{a}}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)\\&={\frac {b^{2}-4ac}{\left(2a\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

對兩邊開平方，並使所有項具有相同的公分母得到

${\begin{aligned}x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{\left(2a\right)^{2}}}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.\end{aligned}}$

二次方程常用公式的數值不穩定性

Middlebrook 指出，對於某些 $a$、$b$ 和 $c$ 的值，這種表示式從數值角度來看並不好。

[這裡給出一個例子]

Middlebrook 展示瞭如何獲得更好的表示式。首先，將 $-{\frac {b}{2a}}$ 從表示式中分解出來

${\begin{aligned}x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\&=\left(-{\frac {b}{2a}}\right)\left(1\pm {\sqrt {1-{\frac {4ac}{b^{2}}}}}\right).\end{aligned}}$

現在令

$Q^{2}={\frac {ac}{b^{2}}}.$

那麼

${\begin{aligned}x&=\left(-{\frac {b}{2a}}\right)\left(1\pm {\sqrt {1-4Q^{2}}}\right)\end{aligned}}$

二次方程負根的更數值穩定的公式

只考慮負平方根，我們有

${\begin{aligned}x_{1}&=\left(-{\frac {b}{2a}}\right)\left(1-{\sqrt {1-4Q^{2}}}\right).\end{aligned}}$

將分子和分母乘以 $1+{\sqrt {1-4Q^{2}}}$ 得到

${\begin{aligned}x_{1}&=\left(-{\frac {b}{2a}}\right)\left(1-{\sqrt {1-4Q^{2}}}\right)\left({\frac {1+{\sqrt {1-4Q^{2}}}}{1+{\sqrt {1-4Q^{2}}}}}\right)\\&=\left(-{\frac {b}{2a}}\right)\left({\frac {1-1+4Q^{2}}{1+{\sqrt {1-4Q^{2}}}}}\right)\\&=-{\frac {2bQ^{2}}{a}}\left({\frac {1}{1+{\sqrt {1-4Q^{2}}}}}\right)\\&=-{\frac {2b\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)}{a}}\left({\frac {1}{1+{\sqrt {1-4Q^{2}}}}}\right)\\&=-{\frac {2c}{b}}\left({\frac {1}{1+{\sqrt {1-4Q^{2}}}}}\right)\\&=-{\frac {c}{b}}\left({\frac {1}{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-4Q^{2}}}}}\right).\end{aligned}}$

定義

$F={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-4Q^{2}}}$

我們可以寫成

${\begin{aligned}x_{1}&=-{\frac {c}{bF}}.\end{aligned}}$

請注意，當 $Q\to 0$，$F\to 1$。

使用相同方法求正根

現在我們來看看正平方根

${\begin{aligned}x_{2}&=\left(-{\frac {b}{2a}}\right)\left(1+{\sqrt {1-4Q^{2}}}\right)\\&=\left(-{\frac {b}{a}}\right)\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-4Q^{2}}}\right)\\&=-{\frac {bF}{a}}.\end{aligned}}$

使用兩個根$x_{1}$ 和 $x_{2}$，我們可以將二次方程分解為

${\begin{aligned}y&=ax^{2}+bx+c\\&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}+{\frac {c}{a}}\right)\\&=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\\&=a\left(x+{\frac {c}{bF}}\right)\left(x+{\frac {bF}{a}}\right).\end{aligned}}$

低$Q$時的精度

對於$Q\leq 0.3$ 的值，$F$ 的值在 1 的 10% 之內，我們可以忽略它。如上所述，隨著 $Q\to 0$，近似值會更好。使用這種近似值，二次方程具有非常簡單的因式分解

${\begin{aligned}y&=ax^{2}+bx+c\\&\approx a\left(x+{\frac {c}{b}}\right)\left(x+{\frac {b}{a}}\right),\end{aligned}}$

這個表示式不包含複雜的平方根，並且可以透過觀察直接寫出。當然，在使用簡化之前，有必要檢查關於 $Q$ 很小的假設。如果沒有這種簡化，$F$ 需要計算，根會稍微複雜一些。

[探索 $Q>0.5$ 的結果。]